La condition

in'{y—b) + n'[z — c)=zo,

(jue nous venons de trouver pour que la courbe ait une développée, a évidemment lieu lorsque m ai n sont constantes, et, dans ce cas, la courbe sera toute dans un plan déterminé par ces constantes. Si ces ([uantités ne sont pas constantes, elles détermineront le plan tangent de la courbe, et, lorsque l'équation précédente aura lieu, les rayons osculateurs formeront une surface courbe développable. Car, en ajoutant à cette équation l'équation

I + m y' -\- nz' —- o,

qui est une de celles du n" 34, on aura celle-ci,

I + iny' + nz' -f- m' [y — 6)4-«'(- — c) = o, <jui n'est autre chose que l'équation prime de l'équation du plan

en regardant les coordonnées a, h, c du plan comme constantes et la quantité x, qui sert ici de paramètre et dont les autres quantités y, z, m, n sont supposées fonctions, comme seule variable, ce qui constitue le principe des surfaces développables, comme on le verra plus bas.

Au reste, il y a une manière plus générale de concevoir les développées des courbes, laquelle consiste à prendre le rayon de la développée dans une position inclinée au plan tangent, et qui donne lieu à plusieurs belles propriétés des courbes et des surfaces. Comme les bornes que nous nous sommes prescrites ne nous permettent pas d'entrer

dans ce détail, nous no pouvons qu'inviter nos lecteurs à voir cette nouvelle théorie dans le Tome X des Mémoires présentés à l'Académie des Sciences.

37. Si l'on trace la projection d'une courbe à double courbure sur le plan des oc et v, on peut regarder cette courbe de projection comme l'axe curviligne de la courbe à double courbure, de sorte qu'en nommant s l'arc de la courbe de projection dont les coordonnées sont x, V, et supposant que cet arc soit étendu en ligne droite, on aura s et :; pour les coordonnées rectangulaires de la courbe à double courbure supposée appliquée sur un plan.

(xHte considération nous offre le moyen d'appliquer immédiatement aux courbes à double courbure les formules de la quadrature et de la rectification des courbes planes (n°^ 27, 29). Pour cela, il «'y aura qu'à substituer s au lieu de a* et s au lieu de y dans les expressions de yœ' et v.r'^+y^; on aura zs' et \s'--\-z''\ et, comme l'arc s est déterminé par l'équation

en faisant cette substitution, on aura les deux formules

2 Y'jc'- H-j'"- et \,l x"- -h y - -\- z' - ,

dont la première sera la fonction prime de l'aire ou de la surface du cylindre droit qui a pour base la projection de la courbe à double courbure et qui est terminé par le contour de cette courbe, et dont la seconde sera la fonction prime de l'arc de la même courbe.