CHAPITRE Yin

DKS SUIU'ACKS COURBES ET DE LEURS PLANS TANGENTS. THÉORIE DU CONTACT DES SURFACES COURBES. DES CONTACTS DES DIFFÉRENTS ORDRES.

38. Les surfaces courbes se déterminent aussi par trois coordonnées rectangulaires, comme les lignes à double courbure, mais avec cette (lifTérence que, pour les surfaces, deux des coordonnées sont indépendantes outre elles et la troisième est fonction de ces deux, de sorte (ju'une surface n'est représentée que par une seule équation entre les trois coordonnées. Ainsi, les deux équations qui déterminent une courbe à double courbure représentent cbacune en particulier une surface courbe, et la courbe représentée par le système de ces deux équations est formée par l'intersection des deux surfoces. La tbéorie des surfaces dépend donc de l'analyse des fonctions de deux variables, et peut être traitée comme la tbéorie des courbes et par les mêmes principes. Ainsi , de même qu'une ligne droite peut être tangente d'une courbe, un plan peut être tangent d'une surface, et l'on déterminera le plan tangent par la condition qu'aucun autre plan ne puisse être mené par le point de contact entre celui-là et la surface.

Soient se, y, :; les trois coordonnées de la surface donnée et p, q, / les coordonnées du plan tangent rapportées aux mêmes axes rectangulaires; on aura, par la nature de la surface,

et, par la nature du plan,

r= a -\- hp -f- cq,

a, b, c étant les trois constantes qui déterminent la position du plan.

D'abord, pour que le plan ait avec la surface un point conimuii, il faut que son équation subsiste, en supposant que les coordonnées p, cj. r deviennent x, y, z, ce qui donnera cette première équation :

Considérons maintenant un autre point de la surface répondant aux coordonnées x-\-i, j + o; l'ordonnée perpendiculaire z deviendra

/(^.r + i, r-ho). Faisons aussi, dans l'équation du plan,

p = X -{- i, (j z=y~ -i- o; l'ordonnée perpendiculaire r deviendra

efla distance entre les points correspondants de la surface et du plan sera exprimée par

f[sc-h i, y-\-o] — a — b[x + i) — c(/+ o).

La fonction /(a; + /,j' + o) peut se développer dans cette série (n° 73, P'= Partie) :

f[x, y) + if{x, y) +of,[x, y] + -f"[x, y) + iof;[x, j)4- -f,[x, y) + . . . .

Donc, à cause de

f[x, r)^^i=rt-4-6:r + cy,

la distance dont il s'agit, que nous désignerons par D, sera exprimée ainsi :

1) = /[/'(^,r) - b-] + o[f,[x,y) - r] + '^f"{x,y] + iof;[x, y) -t- ^/„(:r, j)+. .

oii l'on voit d'abord que, les quantités i et o demeurant indéterminées, la valeur de D deviendra la plus petite si l'on détermine les quantités 6 et c de manière que les termes multipliés par i et o disparaissent, ce

qui donnera (n° 77, I'^ Partie)

et, comme on a déjà trouvé

a -;- bx -f- cy = z,

on aura les valeurs des trois constantes a, b, c de l'équation du plan en fonction de x,y, z. Ces valeurs seront donc

a = z — xz' ~yz„ b = z' , c = z,,

et la position du plan sera entièrement déterminée.

Par l'évanouissement des termes multipliés par les quantités i et o, l'expression de la distance D ne contiendra plus que des termes multipliés par des puissances ou des produits de ces mêmes quantités. Si l'on faisait passer un autre plan par le même point qui répond aux coordonnées a? et j, on trouverait, pour la distance, que je nojumerai A, entre les points de la surface et du nouveau plan correspondants aux coordonnées .r H-/et j-f-o, une expression semblable à celle de D, mais où les termes multipliés par /et par o ne se détruiraient plus. Or il est facile de voir qu'on peut prendre les quantités i et o assez petites pour que les termes multipliés par les premières puissances de i ou de o deviennent plus grands que les autres termes multipliés par des puissances ou des produits de plusieurs dimensions, ce qui porterait d'abord à conclure que l'on peut toujours donner à i et o des valeurs assez petites pour que la distance A surpasse la distance D, en sorte qu'il soit impossible que le dernier plan passe entre le premier et la surface.

39. Mais cette conséquence, qui serait légitime si les expressions de D et A n'étaient composées (juc d'un nombre déterminé de termes, pourrait souffrir des difficultés à raison des suites infinies qui entrent dans ces expressions. On peut néanmoins les éviter en employant le développement que nous avons donné dans le Chapitre XIII de la pre-

mière Partie et en s'arrètant aux termes du premier ordre. On aura ainsi

f^x -^ /, j + o) =^f[x, y) 4- if'[x, y] -h of,[x, y)

+ ^/"(-^ + ^'.r + '-<>] + iof;[x + l{,y + lo)

et la valeur de la distance D se réduira à I) = -/"(-^ + 'fiy y + '>o) + iof;{x + li, y + lo] -h ^ fA^ + ^'' J + ><>)■ Pour tout autre plan représente par l'équation

et ayant le même point commun avec le premier plan et la surface, cette distance, que j'appellerai A, contiendrait, outre les termes précédents, encore ceux-ci du premier ordre

'[/'(^. r) - P] + olf,[x, y) - y] ,

d'où il est facile de conclure qu'on pourra toujours prendre / et o assez petits pour que cette distance A surpasse la distance D. Donc il sera impossible que ce dernier plan puisse passer entre la surface et le plan représenté par l-'équation

r :^ a -h bp -h cq ;

par conséquent, celui-ci sera tangent de la surface donnée, en faisant, comme ci-dessus,

az=z — xz' — yz,, b=zz', c=^z,,

d'où l'on voit que la position du plan tangent dépend des deux fonctions primes z' et z,.

En effet, il est facile de trouver, d'après l'équation

r =z a -h bp -{- cq ,

que, si l'on nomme a l'inclinaison du plan représenté par cette équation sur le plan des coordonnées p et q, et ^ l'inclinaison de la ligne d'intersection de ces deux plans à l'axe des abscisses/?, on aura

Z) z= sin^langa, c = cosptanga,

d'où l'on tire

tanga = v6- + <?2, lang(3^

Donc, puisque les axes des coordonnées x, y, z sont les mêmes que ceux. des coordonnées p, q, r, les angles a et p, relativement au plan tangent, seront pareillement déterminés par ces formules :

langa = v'z'2 + 2,^, tangP = — • 40. En général,

étant l'équation de la surface proposée et

celle d'une surface donnée, si l'on veut que ces deux surfaces aient un point commun qui réponde aux coordonnées x, y, z, il faudra que

l'écjuation

ait lieu aussi en faisant /> = ic, q=^y, r — z, ce qui donnera

Ensuite, si l'on considère les points des deux surfaces qui répondent aux mêmes coordonnées x-{-i et r-i-o, et qu'on nomme D la distance entre l'un et l'autre, c'est-à-dire la partie de l'ordonnée qui se trouvera comprise entre les deux surfaces, il est visible qu'on aura

J)=f[x-^i,y-i-o) — F{x-h i,y-ho).

Développons ces deux fonctions par les formules du n° 78 (T*' Partie), en nous arrêtant d'abord aux termes du premier ordre; nous au-

rons, on mettant z, z' et g, à la place àe/{x, y),/'{x, y), //i^x,y),

H [f"[^ + /^/, X -hlo) — V"{x -h li, X H- ^0 )]

+ io [/,' [x + >,/, )• + Xo) — F; (.r + li, j- + )>o)]

Supposons que les termes multipliés par i et par o disparaissent, oc qui a lieu en faisant z' = F'{x,y) et z, = F,(^, j); l'expression de D ne contiendra plus que des termes d'un ordre supérieur, et il est facile de prouver qu'on pourra toujours prendre i et o assez petits pour (jiic cette valeur de D devienne moindre que la valeur d'une pareille quantité pour une autre surface donnée, dans laquelle les termes multipliés par i et par o ne se détruiraient pas. Donc, si l'équation

de la surface donnée contient trois constantes arbitraires a, b, c, el qu'on les détermine de manière à satisfaire aux trois équations

il sera impossible qu'aucune autre surface qui ne satisferait pas aux mêmes conditions puisse passer entre cette même surface et la surface proposée dont les coordonnées sont x, y, z.

Il est visible que les trois équations précédentes ne sont autre chose que l'équation même de la surface donnée, en y changeant les coordonnées/^, q, r en x, y, z et les deux équations primes de celle-ci, prises suivant x et suivant/, d'où l'on peut conclure, en général,

(}ue, si

est l'équation de la surface donnée, les trois équations dont il s'ai^il seront renfermées dans celles-ci,

en regardant z comme fonction de ^ et j; de sorte que, si l'on désigne simplement par F'(a;), F'(j), F'(-) les fonctions primes de F(a7, r, z) prises relativement \ix,y,z seuls, les deux dernières équations devien-

(li'ont

Donc, si la surface proposée est représentée par l'équation

et que la surface donnée, qui doit avoir un point de contact avec celhî-là, soit représentée par l'équation

la première donnera, en prenant les fonctions primes relatives à x et r, ces deux-ci :

Ces deux équations combinées avec les deux précédentes, de manière à en chasser les dérivées z' et z^, on aura ces deux-ci :

d'où il s'ensuit que les trois fonctions dérivées f\x), f'{y), /'{z) doivent être respectivement proportionnelles aux fonctions dérivées

41 . Si, dans l'expression générale de la distance D, on développe les deux fonctions qu'elle contient, en poussant le développement jusqu'aux secondes dimensions de i et o, et qu'on suppose que les trois équations ci-dessus aient déjà lieu, on aura simplement

, i^ ./« , i-o „ io- o3

on faisant, [)our al)i"t'gei',

A'" --f"'[x -h li, y+lo]- F"'(:c + }./, J + ?.o),

a;' — f:[x -\- li, y + >,o) - F';(:c -i- //, r + ^o).

Donc, si l'équation

de la surface donnée est telle qu'on puisse encore satisfaire aux trois

équations

les termes du second ordre disparaîtront aussi dans l'expression de D, et l'on prouvera aisément qu'il sera toujours possible de prendre les quantités i et o assez petites pour que la distance D soit plus petite que la distance A pour toute autre surface donnée qui ne satisferait pas aux mêmes conditions, d'où il suit qu'il sera impossible que cette surface passe entre la surface donnée, dont l'équation est

et la proposée, dont l'équation est

et ainsi de suite.

Si l'on représente en général par

l'équation de la surface donnée, qui doit avoir un point de contact avec une autre surface dont les coordonnées sont ^, j, s, les trois dernières équations seront renfermées dans celles-ci,

Y"[x,y, z]=zo, F',{x,y, z) = o, V^,[x, y, z) = o,

en regardant :; comme fonction de a; et y; et ainsi des autres.

On pourra donc étendre aux surfaces la théorie des contacts de différents ordres que nous avons exposée relativement aux lignes courbes