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et en déduire des résultats semblables. Ainsi, pour le contact du premier ordre, on aura l'équation

avec ses deux équations primes suivant ce et y; pour le contact du second ordre, on aura, outre les trois équations précédentes, les trois équations secondes de

suivante;, suivant j, et suivant x et j; et ainsi de suite.

42. Prenons, pour la surface donnée, la sphère dont l'équation la plus générale est

[p-ay-+[q-bY+{r~cy^ = d^

p, q, r étant les trois coordonnées d'un point quelconque de sa surface, a, h, c les trois coordonnées qui déterminent la position du centre, et d le demi-diamètre ou le rayon.

En changeant dans cette équation p, q, r en a;, y, z, et prenant ensuite les deux équations primes suivant x et j, on aura ces trois

équations,

X ■ — rt+z'(s — c) = o, y—b-hzXz — c]z=o,

par lesquelles on pourra déterminer d'abord les trois constantes a, b,c;

on trouvera ainsi

dz'

^/i+ z'--^ zr

et le rayon d sera encore arbitraire.

La sphère déterminée par ces éléments sera donc tangente de la

dz

+ zr

SECONDE PARTIE.- CHAPITRE Mil. 267

surface, et, par conséquent, son rayon sera perpendiculaire à la niênie surface. Ainsi, en regardant la valeur de ce rayon comme indéterminée, les trois quantités a, b, c seront les coordonnées do la perpendiculaire à la surface, </ étant variable et x, y, z constantes.

Si l'on veut avoir ces éléments a, h, c, ainsi que les angles a et p du n° 39, exprimés en dilTérentielles, il n'y aura qu'à représenter les fonctions dérivées z' , z^ par les différences partielles —-■> -j~-

43. Pour que la sphère devienne osculatrice de la surface, on aur» encore trois autres équations, qui seront les trois équations secondes de la première équation ci-dessus; mais, comme il ne reste plus qu'une arbitraire d, il est clair qu'on ne pourra pas satisfaire à toutes ces équations, d'où il suit qu'il est impossible de trouver en général une sphère osculatrice d'une surface comme on trouve le cercle osculateur d'une courbe.

Si, au lieu d'une sphère, on voulait employer la surface formée par la rotation d'un arc de cercle autour de sa corde, comme on aurait dans l'équation de cette surface six constantes arbitraires, on pourrait alors déterminer ces éléments de manière que le contact du second ordre eût lieu en général avec une surface quelconque. Il en serait de même pour toute autre surface dont l'équation renfermerait au moins six constantes arbitraires.