PROPRIÉTÉS DE CES LIGNES

44. Nous venons de voir que, parmi toutes les sphères touchantes, il ne peut y en avoir aucune qui devienne proprement osculatrice de la surface; mais on peut toujours déterminer celle qui sera osculatrice d'une courbe quelconque tracée sur la même surfoce. Pour cela, il n'y aura qu'à supposer j fonction de x, comme dans les courbes à double courbure, et prendre, dans cette hypothèse, les équations primes et secondes de l'équation de la sphère

{x — a]--+- [y — hY-{' [z — c]- — d-—o. L'équation prime sera

en regardant toujours z comme fonction de x et j, dont les deux fonctions primes sont z et z^, et ensuite y comme fonction de x, dont j' est la fonction prime. On trouvera, de la même manière, cette équation seconde :

« +y^+r"{r- ^) + [z' + r'z,Y-+[z"-r'y.y'z:+f^z„ + fz,][z - c) = «.

L'équation prime est déjà remplie parles deux équations primes du

.r — « + z'(z — c) = o, y ~ b + z,[z — c] zzz o.

Ainsi, il ne reste qu'à satisfaire à l'équation précédente, laquelle, à

SECONDE PARTIE. - CHAPlïKE IX. 209

cause (le j— h -\- z^{z — c) := o, so réduit à celle-ci

I ^-y-+{z'-i-yz,)-+ (2"+ ■2;-';;+ r'-r,J(z — c] = o.

Si donc on substitue dans cette équation la valeur de c trouvée; cidessus (numéro cité), on en pourra tirer la valeur de d, et l'on aura

[i +,)•'-+ [z'-hr'z,]-] yi -f- z'-^-h zr ^

Connaissant ainsi le rayon d de la sphère oscnlatrice, on aura, par les formules du même numéro, les valeurs d(>s coordonnées a, h, a du centre.

45. La quantité y' qui entre dans les expressions précédentes dépend de la courbe qui est la projection de celle qu'on suppose tracée sur la surface. Cette courbe étant arbitraire, on peut chercher celle dans laquelle le rayon de courbure «f sera un maximum ou un* minimum , et, pour cela, il n'y aura qu'à égaler à zéro la fonction prime de l'expression de d, regardée comme fonction de j-' (n° 26). Mais, pour simplifier le calcul, nous observerons que, puisque

le maximum ou minimum de d relativement à /'répondra au maximum ou minimum de c; ainsi, il n'y aura qu'à prendre l'équation prime de la dernière équation ci-dessus entre c et y, en supposant nulle la fonction prime de c, c'est-à-dire en ne regardant que j' comme variable. On aura de cette manière l'équation

/ + Z,{z'+yz,) 4- (z;+/2j(s - c) = o,

qui, étant combinée avec la même équation, servira à déterminer/' et c. Si l'on multiplie cette équation par y', et qu'on la retranche de l'équation dont il s'agit, on aura celle-ci, plus simple,

I + z'--{-yz'z^+ {z"-+-yz',){z — c) = o, que l'on combinera avec la précédente.

Par l'élimination de s — c, on aura une équation en y de cette forme,

en faisant, pour abréger,