C={1 + Z'^]Z;-ZZ,Z

et la résolution de cette équation donnera

équation du premier ordre en oc, y et y', puisque z étant, par la nature de la surface, une fonction donnée de a; ci y, les quantités A, B, C seront aussi des fonctions données de a; et j. Donc l'équation primitive en ce et y renfermera une constante arbitraire et représentera une infinité de courbes qui seront les projections des lignes de plus grande et de moindre courbure de la surface proposée.

Si l'on combine les deux équations ci-dessus de manière à faire disparaître les termes où y et :; — c se trouvent ensemble, on en tirera

„ ( I -hz'^-)z„-z'z,z:- \y'

zr-z"z„

Donc, substituant la valeur de / et faisant de plus

E = 2 z'z,z', -[,-^z'--]z„-[i-^z?] z", on aura

et de là

E±v/B^-h4AC

, (E=bv/l}--l-4AC)v'i +s'- + 2,a = — ■ — 17 TT\ '■

d'où l'on voit que les deux valeurs du radical donnent l'une le maximum et l'autre le minimum du rayon d.

Il y a donc, à chaque point de la surface, doux branches qui se coui)en( et (|ui répondent l'une à une ligne de plus grande et l'autre à une ligne de moindre courbure, et l'angle sous lequel elles se coupent dépend de la double valeur de la quantité y, qui est égale à la tangente de l'angle Ibrnié par la tangente de la courbe de projection sur le [)lan des o^ et y avec l'axe fixe des oc. Or, comme la position de ce plan est arbitraire, on peut la prendre de manière qu'il coïncide avec le plan tangent de la surface; alors la projection de la courbe se confondra avec la courbe même, et les deux valeurs de y' deviendront les tangentes des angles que les tangentes des deux branches de plus grande et de moindre courbure feront avec une même ligne; par conséquent, la différence de ces angles sera l'angle cherché sous lequel ces branches se coupent; donc, nommant x et p les deux valeurs dey, la tangente de cet angle sera, par les formules connues,

!Mais il est facile de voir, par les formules du n° 38, que, pour que le plan tangent d'une surface coïncide avec le plan des oc et y, il faut que les valeurs de z' et z^ soient nulles. Faisant donc, dans les expressions de A, B, C,

on aura

ce qui donne

A = 2;, ïi = Z„-z", C:

A-C=rO.

Ainsi la tangente de l'angle dont il s'agit sera infinie, et, par consé- ({uent, l'angle sera droit, d'où l'on doit conclure, en général, que les lignes de plus grande et de moindre courbure d'une surface quelconque se coupent toujours à angle droit.

46. La propriété du maximum et du minimum n'est pas la seule (jui caractérise ces lignes: elles sont encore distinguées par rapport à leurs

développées. En elTet, si l'on cherche les conditions nécessaires pour que le rayon de courbure soit partout tangent à la courbe des centres, on trouvera, par des considérations semblables à celles du n° 35, appliquées aux expressions des coordonnées a, h, c de cette courbe (n° 42), que ces conditions se réduisent à ce,que les valeurs des fonctions primes à , b' , c soient les mêmes, soit que la quantité d soit seule variable ou que les quantités x, y, 5, varient en même temps que d. Ainsi, si l'on prend les équations primes des trois équations (u°42)

d'où résultent les valeurs de a, b, c, il faudra que la partie due à la seule variation de oc, y, z soit nulle. Or il est visible que la seconde et la troisième équation rendent nulle cette partie dans l'équation prime de la première équation ; donc il suffira de prendre les équations primes des équations

X — rt -t- s'(z — c) = O, J — 6 -I- s, (z — c) = o,

en regardant a, b et c comme constantes. Ces équations seront donc, en regardant, comme ci-dessus (n° 44), 7 comme fonction de x, et ;; comme fonction de x et y,

et, si on les compare aux deux équations du numéro précédent, qui déterminent le maximum et le minimum de d, on voit qu'elles sont identiquement les mêmes, d'où il suit que les lignes suivant lesquelles le rayon de courbure sera tangent de la courbe des centres sont les mêmes que celles de la plus grande ou de la moindre courbure. Mais les expressions de a, b, c du n°42 donnent, en ne faisant va-

rier (jiie d.

V'i -4- z'--\- zr d

d'oîi l'on tire

rt"- +

et par eonséqueiit

J'= v'rt'--f- b'- H- c-,

d'où l'on conclura (n" 37) que la quantité d sera égale à l'arc de la courbe dont a, h, c sont les coordonnées. Ainsi cette courbe sera la véritable développée des lignes de plus grande et de moindre courbure, et réciproquement il n'y aura, sur une surface quelconque, que ces lignes qui puissent avoir une développée formée par les rayons de courbure.

Ces pi'opriétés des surfaces sont très-curieuses et méritent toute l'attention des géomètres; elles donnent lieu surtout à des applications importantes pour les arts. FoiVles Mémoires de Berlin pour l'année 1 7G0, les Tomes IX et X des Mémoires présentés à V Académie des Sciences, et V Application de l'Analyse à la Géométrie, par M. Monge.

Au reste, pour traduire ces formules en Calcul différentiel, il n'y

,. , , „ dy d'^r ^ , ,, , dz dz d'-z

aura qu a changer ^ , j en ^, ^^ et = , r„ . , .-„ .„ en ^, ^^, ^^,

d^. (Pz, dx dy dy-