CHAPITRE X

SOLUTION DES QUESTIONS DANS LESQUELLES ON PROPOSE UNE RELATION ENTRE LES ÉLÉMENTS DU CONTACT DU PREMIER ORDRE DES SURFACES COURBES. CONSTRUCTION DE CETTE SOLUTION. ÉQUATION DES SURFACES DÉVELOPPABLES.

47. On peut proposer, sur les différents contacts des surfaces, des problèmes analogues à ceux qui nous ont occupés, relativement aux lignes courbes (Chap. III), et les, résoudre par des principes semblables. Nous nous contenterons ici de considérer les contacts du premier ordre.

Suivant les formules du n° 41, si l'équation

l'ip, q, /•] — o

(le la surface donnée contient trois constantes arbitraires a, h, c, pour que cette surface ait un contact du premier ordre avec une surface quelconque rapportée aux coordonnées x, r, :;, il faut déterminer a, b, c en oc, r, :; par les trois équations

dont les deux dernières se réduisent à la forme

F'{^-) + -F'(.)==o ei F'(j) + .-,F'(.) = o.

Donc, si la question est de trouver la surface pour laquelle les trois éléments du contact a, h, c auront entre eux une relation déterminée, il faudra substituer, dans l'écjualion qui exprime cette relation, les valeurs de a, h, c, et, si cette équation est entre les quantités a, h, c et X, y, z, on aura une équation du premier ordre en x,y, z, z' et z^.

qu'on pourra traiter par la méthode générale du n" 92 de la première Partie.

Mais, si l'écjuation dont il s'agit n'était qu'entre les trois quantités a, b, c, la solution du problème serait beaucoup plus simple. En effet, il est clair qu'on peut alors supposer que les quantités a, b, c soient constantes, et, dans ce cas, l'équation

sera l'équation primitive de l'équation du premier ordre donnée par les conditions du problème, en y substituant, pour une des trois constantes a, b, c, sa valeur tirée de l'équation donnée; on aura ainsi une équation primitive qui ne sera que particulière; mais, comme elle renferme deux constantes arbitraires, on pourra, par la méthode du n" 83 de la première Partie, trouver l'équation primitive générale qui donnera la solution complète du problème.

On fera donc, suivant cette méthode, Z» = o(a), si a et 6 sont les deux constantes arbitraires, et l'on éliminera a au moyen de l'équation

et de son équation prime, prise relativement à la seule quantité a, équation représentée par

en dénotant par F'(a) et Y'{b) les fonctions primes de Y[x,y,z) relativement aux variables isolées a et b.

48. Pour voir comment le système de ces deux équations satisfait au problème, on observera d'abord que l'équation

représente la courbe donnée avec laquelle la proposée doit avoir un contact du premier ordre; ainsi cette équation résout le problème, (juelles que soient les constantes arbitraires a et b. Mais, coiiune le

contact demandé par le problème exige seulement que les valeurs de z et de ses deux fonctions primes z et z^ soient les mêmes pour les deux courbes, il s'ensuit qu'il aura également lieu en supposant a et 6 variables, pourvu que ces fonctions primes soient encore les mêmes. Or, c'est précisément ce qui résulte du système des deux équations dont il s'agit, comme on peut s'en convaincre par le numéro cité.

Nous observerons ensuite que la surface représentée par le système de ces équations ne sera autre cbose que la surface formée par l'intersection continuelle des surfaces représentées par la même équation

en y faisant varier le paramètre a, de manière que cette surface toucbera ou enveloppera à la fois toutes ces différentes surfaces particulières. En effet, si l'on représente, ce qui est permis, cette surface enveloppante par l'équation

dans laquelle a soit une quantité variable quelconque, et qu'on cherche à déterminer cette quantité de manière que la même surface touche successivement toutes les surfaces données, il faudra satisfaire à

l'équation

po'ur que les valeurs de z' et z^ soient les mêmes que celles des surfaces enveloppées. Ceci répond à ce qu'on a trouvé plus haut (n° 19), relativement aux lignes courbes.