Puisque l'équation

renferme les trois arbitraires a, h, c qui doivent être déterminées par la combinaison de cette équation avec ses deux équations primes prises relativement à x et r, en regardant a, b, c comme constantes (n° 47 1, si l'on regarde maintenant ces quantités comme des fonctions de x et y, il est clair qu'on aura aussi séparément les deux équations primes

de la même équation relativement à ces quantités. Ainsi, en désignant par F'(rt), f'{b), F'(c) les fonctions primes de la fonction ¥{x,y,z) prises relativement aux seules quantités a, b, c considérées séparément, on aura encore ces deux équations primes :

n,F'[a)-hb,V'[b) + c,¥'{c] = n.

Soit

l'équation qui exprime la relation donnée entre les quantités a, b, c, en prenant de même les deux équations primes, on aura

/'{n) cl/'(b) étant les deux fonctions primes dey(a, b) prises relativ(>ment h a et b isolées. Substituant ces valeurs de c' et c dans les deux équations précédentes, on aura

a [Fia] +f'[a) F'(c)] + b'{V[b) +/'(&) F'(^)] :=: o, ",[F'(«]+/'(a)F'(c)] + i,[F'(6) +/'(*) F'(c)] = o,

d'où l'on tire cette équation

a'bi — b'a,=: o,

où la fonction désignée par la caractéristique / n'entre plus.

Si donc on substitue dans cette équation «7^, — i'«, = o les valeurs de a, b en .r, y, z, z' et z^, on aura une équation du second ordre, dont l'équation primitive du premier ordre sera

la fonction désignée par / étant arbitraire; et l'équation primitive de celle-ci entre x, y, z sera le système de l'équation

et de son équation prime, prise relativement à a, après y avoir siibsti-

lue /{a, b) pour c et o{a) pour b, la fonctiou ç{a) étaul la seconde fonction arbitraire. Ainsi on pourra, de cette manière, trouver l'équation primitive de toute équation du second ordre réductible à la forme

a'b,— b'ai=^ o,

les quantités a, b étant déduites d'une équation quelconque

entre les quantités x, y, s, a, b, c et de ses deux équations primes prises dans l'hypothèse de a, b, c constantes, ce qui fournit une méthode importante pour les progrès de l'analyse inverse des fonctions de deux variables.

50. Appliquons la théorie précédente aux plans tangents. Nous avons trouvé plus haut que les éléments a, b, c du contact d'un plan représenté par l'équation

r=:a -T- bp -h cq, sont exprimés ainsi :

a=^z — xz' — yz,, b = z', c = z,.

Donc, si l'on a une équation quelconque entre ces trois quantités, laquelle donne, par exemple,

l'équation primitive de cette équation du premier ordre sera représentée par le système de ces deux équations,

i + xo'{a)-hxf'{a]=^o,

en dénotant par 9'(a) et /'(a) les fonctions primes de ^(a) et de /[a, (p(«)] relatives à a. La quantité a devra être éliminée pour avoir une équation en x, y, z, ef la fonction o{a) sera la fonction arbitraire.

SECONDE PAIITIE. - CHAPITllE X. 279

Cette équation sera donc celle de la surface formée par l'intersection continuelle de tous les plans représentés par l'équation

on faisant varier successivement le paramètre a; ce sera, par conséquent, une surface développable, puisqu'on peut concevoir que le même plan tangent, supposé flexible et inextensible, s'applique et se plie sur la surface, sans duplicature ni solution de continuité, et, réciproquement, que la surAice s'applique et se développe sur le même plan sans se briser ou se replier.

Puisque a= z.-ccz'-yz^ et b = z', on aura

a'=-xz"~j-z:, a,=.~xz:~xz„, b'^z", b-z',;

donc l'équation (n°49)

deviendra

[xz" H- yz',) z, — [xz, -f- r2„) z" = o ,

savoir

zr~z"z„^o.

Ce sera l'équation générale des surfaces développables, dont, par conséquent, l'équation primitive sera le système de ces deux-ci,

2z=fi-+-^9(a)4-j/(a) et \ -\- a^'[a] +yf'[a)=io,

?(«) et f{a) dénotant deux fonctions arbitraires de a. Voir le Tojne X des Noii Commentarii de Pétersbourg et les Ouvrages déjà cités à la tin du Chapitre précédent.