CHAPITRE XI
DRS l'MS GRANDES ET DES MOINDRES ORDONNEES DES SURFACES COURBES. SOLUTION GÉNÉRALE DES QUESTIONS DE MAXIMIS ET MLMMIS. MANIÈRE DE DISTINGUER LES MAXIMA DES MINIMA DANS LES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES.
51. Si l'on demande les plus grandes et les moindres ordonnées d'une surface donnée, il est aisé de concevoir qu'elles ne peuvent répondre qu'aux points où le plan tangent devient parallèle au plan des a; et j'; donc on aura, dans ces points, tanga=ro, et, par conséquent (n° 39),
ce qui ne peut avoir lieu qu'en faisant à la fois
z'= o ei 2,= o.
Ce sont là les conditions nécessaires pour que l'ordonnée :; devienne un maximum ou un minimum.
Puisque z peut représenter une fonction quelconque de x et r, on en conclura, en général, que, pour qu'une fonction de deux variables devienne un maximum ou un minimum, il faut que ses deux fonctions primes relatives à chacune de ces variables soient nulles.
Mais on peut parvenir directement à cette conclusion par la considération des fonctions d'une seule variable, suivant la théorie du n" 24, et trouver en même temps les conditions nécessaires pour que le maximum ou minimum ait lieu. En effet, :; étant fonction de x et y, on peut supposer d'abord x donné et chercher le maximum ou minimum de z relativement aj; on aura pour cela l'équation
et ensuite ^„<o pour le maximum et > o pour le minimum. Si (ionc on substitue dans s la valeur de y tirée de l'équation z^ — o, cette quantité z deviendra une simple fonction de a; et sera déjà un maximum ou minimum relativement à r. Il n'y aura donc qu'à la rendre encore un maximum ou minimum relativement à la quantité x, qui avait été supposée constante; or, j devant maintenant être regardée comme une fonction de a- donnée par l'équation :;,= o, il est clair <{ue la fonction prime de z relativement à ce ne sera pas simplement :;', mais z'-\-y'z^, et sa fonction seconde, relative aussi à .r, sera z'-h 9.y'z,-^y'^z^^+y"z^, en désignant toujours par j' ci y" les fonctions primes et secondes de y relativement à x. On aura donc
et, comme on a déjà ^,= o, cette seconde équation se réduira à z'^o, de sorte qu'on aura, pour la détermination de x et y, les deux conditions
comme plus haut.
Maintenant il faudra, de plus, que l'on ait r."+2j'r' + y'^:;^^-{-j"^,<() pour le maximum, et >(> pour le minimum; mais, comme j doit être déterminée par l'équation z= o, y' le sera par son équation prime
z:-\-y'z„^o, laquelle donne
Ainsi l'on aura, pour le maximum,
et, pour le minimum.
ou bien, j)uisque -,^ doit être aussi <o dans le picmicrcas et >• o dans IX. 36
le second, il faudra que l'on ait, tant pour le maximum que pour le
minimum.
D'où l'on peut conclure que les valeurs de jc et y tirées des équations z'—o et ^, — o donneront un maximum ou un minimum suivant que l'on aura i;,^< ou > o, pourvu que l'on ait en même temps
ce qui emporte, comme l'on voit, la condition que z" et z^^ soient de même signe.
Donc, si z"z^^ — ^7— ou -^o, il n'y aura ni maximum ni minimum, à moins que les fonctions tierces ne disparaissent aussi, auquel cas le jugement dépendra des fonctions quartes, et ainsi de suite.
Il ne suffit donc pas, pour l'existence du maximum ou minimum, que l'on ait z"<^o et z^^<^o ou z"'^o et s,,>o, comme on pourrait le conclure du Chapitre XI de la seconde Partie du Calcul différentiel d'Euler.
52. Il est facile d'appliquer la méthode précédente aux fonctions de trois variables. Supposons que u soit fonction des variables x, y, z; regardant d'abord x et x comme constantes et z seul comme variable, on aura, suivant la notation déjà adoptée (n" 92, I'* Partie),
lU = o
pour la condition du maximum ou minimum, et ensuite ji<io pour le maximum et ji~^ o pour le minimum. L'équation // = o donnera la valeur de z en x et j, qu'on substituera ou qu'on supposera substituée dans la fonction u, moyennant quoi cette fonction, ne contenant plus que les deux variables x et y, retombera dans le cas qu€ nous venons de résoudre.
Pour construire des formules générales, on remarquera que, si u n'était qu'une fonction de x et y, on aurait pour le maximum et le minimum les conditions
««' = 0 cl «, = o;
ensuite pour le maximum n„<i^ <'t pour le minimum u^^'^o, et enfin
pour les deux cas. Mais, puisque u contient de plus 3, qui est elle-même une fonction de ce et y, les valeurs des fonctions désignées par a, w,, u\ ... ne seront pas simplement exprimées par ces quantités, mais il faudra y ajouter les termes qui doivent provenir de la quantité z, regardée comme fonction de se çt y. Ainsi, en prenant les fonctions primes et secondes de u, on trouvera que la quantité u devient u'-huz', que la quantité u^ devient u^-h ,uz^, (|ue la quantité «"devient u"-+- 2^u'z'-^^uz"-i-jtz'-, que la quantité i^^^devient u^+2/f^z^-h^uz^^-hjiz'f et que la quantité u, devient u',-h,u^z'-\-yz^-{-^uz',-hjiz'z^.
Donc on aura d'abord, pour le maximum ou minimum, les deux conditions
II' + ,uz' = O, l/,~\- ^uz,= o,
de sorte qu'à cause de u = o on aura ces trois équations
c'est-à-dire les trois fonctions primes do u relatives à x, j-, :;, chacune éarale à zéro.
Ensuite, à cause de // = o, on aura
pour le maximum, et > o pour le minimum; et pour l'un et l'autre
( u" -+- ■?. n'z'-^„uz'-^] ( i(„ + 7.^11, z, + ,^u ;,-)>( u, + ,11, z' -+- ,u'z, + „uz'z,Y-.
Mais, comme la valeur de g en a? et y dépend de l'équation ,m =^ o, on prendra ses deux équations primes suivant x et j, pour avoir les valeurs de z' et de z^\ on aura donc
,n'-hjiz' = o et ^u,^„uz,= o, d'où l'on tire
Ji
On substituera donc ces valeurs, et, comme on a déjà trouvé //<o pour le maximum, et >o pour le minimum, en multipliant la première condition par ji, on aura une quantité qui devra toujours être >>o. Donc les conditions pour le maximum ou minimum se réduiront à ces trois-ci :
/,«<[o pour le maximum cl >o pour le minimum, jiu„ - ,iir > o
On voit, par la marche de cette méthode, comment elle peut s'étendre à un plus grand nombre de variables, et l'on en peut d'abord conclure, en général, que l'on aura les équations du maximum ou minimum d'une fonction quelconque de plusieurs variables, en égalant à zéro les fonctions primes de cette fonction, prises relativement à chacune de ces variables, ce qui donnera autant d'équations que de variables. A l'égard des autres conditions nécessaires pour l'existence du maximum ou minimum, on les trouvera successivement par les principes et les formules que nous venons d'exposer.
53. Pour donner un exemple de la méthode de maxirnis et minimis, supposons qu'on demande la plus courte distance entre deux lignes droites données de position dans l'espace. Soit pour l'une des droites l'abscisse œ\ ses deux ordonnées seront de la forme a-[-hx Qic -\- da\ Soit pareillement pour l'autre droite l'abscisse y, prise sur le même axe; les deux ordonnées, rapportées aussi aux mêmes axes que celles de la première droite, seront de la forme A + Bj et C-\-Dy. Donc le carré de la distance entre les deux points qui répondent aux abscisses ic et j sera exprimé par cette formule,
[x —xY^ + (a — A 4- bx — Bx)- + {c — C-{-dx — Dx)-,
que nous ferons, pour plus de simplicité, égale à 2s.
SECONDE PARTIE. - CHAPITRE XI. 28o
En prenant les fonctions dérivées, on aura
s' ■= {x —)•] -+■ b{a — \ -h- bx — Br) + J(c — C + dx — Dj), z, =z — {x—x]— B(rt — A-f-frA---Bj) ^ D(c — C-f- 6?:c -Dj), 3" = I -;- b^ -\~ d^,
::; ^-j-bB-dD.
Donc : i" On aura, pour la détermination des deux inconnues x et y, les équations
X — y -i- b[a — S. -{-bx — Bj) + d[C — C -f- dx — Dj) = o, .r — j- + B [ rt — A + 6 a- — Bj) + D ( c — C H- (/j;- ~ D j) = o.
2° Puisque la valeur de z" est nécessairement positive, il ne pourra y avoir que le minimum, mais il faudra de plus que l'on ait la condition
z"z,-zr>o,
savoir
Or c'est ce qui a lieu quelles que soient les valeurs de b, d, B, D, car la condition précédente peut se mettre sous cette forme :
(6-B)2 + (c/-Dj2 4-(6D- JR)^>o.
Comme les équations en x et y sont linéaires, la détermination do ces quantités n'a aucune difficulté; nous ne nous y arrêterons pas, d'autant que ce problème est susceptible d'une solution géométrique fort élégante.
54. On peut encore, dans la recherche des maxima et minima des fonctions de plusieurs indéterminées, considérer toutes les variables à la fois, ce qui est plus direct et plus lumineux. Soit, en effet,
la fonction proposée; si l'on suppose que les (juantités x, y, :, ii, ...
;(ient déjà les valeurs convenables pour le maximum ou minimum, il faudra que, en substituant x-\-p, y-\- q, z +r, u-\-s, ... à la place de x,y,z,u, ... dans la fonction dont il s'agit, sa valeur devienne toujours plus petite dans le cas du maximum et toujours plus grande dans le cas du minimum, quelles que soient les valeurs de p, </, /', ,s, ... et quelque petites qu'elles soient : c'est ce qui résulte de la nature même du maximum ou minimum.
Développons la fonction
suivant les puissances et les produits des quantités p, cj, /•, s, . . . par les formules du théorème général (n°78, P* Partie), et arrêtons-nous aux premiers termes de ce développement.
Si l'on désigne simplement (ainsi que nous l'avons pratiqué jusqu'ici) par/'(a:),/'(j),/'(2),/'(a), ... les fonctions primes de la fonction f{oc, y, z. II, . . .), prises relativement à ac, y, z, u, ... considérés séparément, et qu'on désigne de plus par f'\oc), f"[x,y), /"{y), /"{ce, z), /"{y, z), /"{z), ... les fonctions secondes de la fonction
f{x-h Ip, y + Ifj, z + Ir, a -+- Is, ...],
prises relativement h x seul, à oc et y, à y seul, à or et z, à y et z, et ainsi de suite, on aura
^--f{x,y, z, u, . . .) + p f [x] + q f [y] -\- rf [z] + s f [a] -h . . .
+ lp'^j"[x]+pqf"[x,y] + ! q-^f"[r] +prf"[x, z] -^h''f"[z) -+- qrf'ir, z] -^ .
Le coefficient 1 désigne un nombre indéterminé compris entre o et 1, et qui sera le même dans la même fonction, mais pourra être différent dans les différentes fonctions.
Donc il faudra (|ue la quantité
soit toujours positive pour le iniuimuni et négative pour le maximum, ou (lonuaut à p, q, r, . . . des valeurs quelconques aussi petites qu'on voudra. D'où l'on conclura d'ahord, par un raisonnement analogue à celui du n" 25, (jue cette condition ne pourra être remplie, à ujoiiis que les termes multipliés par les premières puissances de /;, q, r, . . . ne soient nuls chacun en particulier, ce qui donnera les équations
(jui sont communes au maximum et au minimum, et qui, étant en même nombre que les indéterminées x, v, z, u, . . ., serviront à déterminer leurs valeurs.
55. Mais, pour que ces valeurs donnent, en effet, un maximum ou un minimum, il faudra encore que la quantité restante
soit toujours positive pour le minimum et négative pour le maximum, quelles que soient les valeurs de p, q, r, .. . et quelque petites qu'elles puissent être.
Comme les fonctions /"(j?),/"(.r,j), ... qui multiplient les carrés et les produits des quantités/?, q, r, ... renferment elles-mêmes ces quantités, il pourrait être diftîcilo, et peut-être impossible, de déterminer les caractères nécessaires pour que la condition dont il s'agit ait lieu rigoureusement; mais j'observe que, si l'on suppose >.^^o, ces fonctions deviennent indépendantes de p, q, r, . . .' et ont des valeurs déterminées, et l'on trouve alors, comme on le verra dans un moment, des conditions entre ces mêmes fonctions qui ne consistent que dans des inégalités entre des quantités composées de ces fonctions. Ces inégalités, étant supposées avoir lieu pour des valeurs déterminées de .%•, y, z, ..., auront lieu encore pour les valeurs peu différentes sc-^lp, y-^'hq, z + \r, .. . tant que les quantités ).y>, \q, 1?; ... ne passeront pas certaines limites, qui pourront être aussi peu étendues (|u'on voudra. Donc, puisque la condition exigée pour le maximum ou minimum
n'a besoin d'être remplie que pour des valeurs quelconques de p, q, r, . . . aussi petites qu'on voudra, il s'ensuit qu'il suffira de satfsfaire à cette condition dans le cas de l = o; par conséquent, on pourra supposer tout de suite X=o, ce qui réduira les fonctions /"(a?), /"(a7,r), /"{y), ... qui entrent dans la quantité cï-dvssus ^ip-f" [or) -\-pq/"{x, y) -h... à n'être que les fonctions secondes de la fonction donnéey(jr, y,:;, «, ..., prises relativement à x seul, à .r et j, etc.
56. Tout se réduit donc à trouver les conditions pour qu'une (juantité
de la forme
Ap--i- Bpq + C(7-4- Dpr-\- Eqr-h F r- -{-...,
dans laquelle A, B, C, . . . sont des quantités données et/», </, /•, ... dénotent des quantités indéterminées, soit toujours nécessairement positive ou négative, quelles que soient les valeurs de/?, q, r
Supposons qu'elle doive être toujours positive; il est évident (jue, pour le cas contraire, il suffira de prendre négativement les coefficients
A, B, (], Puisque cette quantité ne doit jamais devenir négative,
il s'ensuit qu'elle doit avoir un minimum positif; et, réciproquement, si elle n'a que des minima positifs, elle ne pourra jamais devenir négative. Il n'y a donc qu'à chercher les conditions nécessaires pour (jue la quantité dont il s'agit ait des minima tous positifs.
Suivant l'esprit de la méthode exposée ci-dessus (n° 52), on prendra les fonctions primes et secondes de la quantité proposée relativement à une seule variable, comme p, et l'on supposera la fonction prime égale à zéro et la fonction seconde positive. On aura ainsi l'équation
2A/^ + B</-+-D;'+...= o et la condition A>o.
On substituera la valeur de/j tirée de l'éijuation précédente dans la (juantité proposée, laquelle deviendra ainsi de la forme
Lq- -h Mqr + N/'- + Vqs + . . . , en faisant
On prendra de la niènic inaiii»'i'e los fonctions jn'iines et seeoiules de eelle transformée relativement à une seule variable y, et, faisant la fonction prime égale à zéro et la fonction seconde positive, on aura de nouveau lÏMjuation
et la condition Ii>-o,
On substituera pareillement dans la transformée précédente la valeur de q tirée de cette équation; on aura la nouvelle transformée
T/"- + \rs + Xs- + . . . = o,
dans laquelle les coefficients T, V, X, . . . seront donnés en L, M, N, . . ., comme ceux-ci le sont en A, B, C, . . . , et, continuant le môme procédé,
on aura l'équation
■îT r -+- \s + . . . = o
et la condition T > o; et ainsi de suite.
Maintenant il est aisé de voir que la dernière de ces transformées, celle qui ne contiendra plus qu'une seule des indéterminées/?, q, /•,... et qui sera par conséquent de la forme Z.s-, sera elle-même le minimum de la quantité proposée, d'où il s'ensuit que les conditions pour que cette quantité ait un minimum positif seront
et, comme les équations qui déterminent les valeurs de p, rj, r, ... sont toutes linéaires, on en conclura que ce minimum sera le seul qui puisse avoir lieu. Ainsi, le problème est résolu rigoureusement.
Au reste, il est facile de voir que par ces différentes transformations la (juantité proposée deviendra de la forme
laquelle sera évidemment toujours positive ou négative, suivant que les coefficients A, L, T, ... le seront tous à la fois, et l'on voit en même temps par cette forme (juc les quantités A, L, T, ... pourront être nulles, pourvu qu'elles ne le soient pas toutes à la fois.
