IX

290 THEOHIli; DES FONCTIONS.

Los condilions que nous vcMions do trouvor deviendroiil donc colles (lu niaxinnini ou iDÏnimum de la fonction/!^ a;, i', :;, ii, . . .) on faisant, pour le minimum

k = ^J"[x), Ji=f"[x,r], C = ^f"[y), ... ot pour lo niaxinuim

Il est facile de voir l'accord do ces résultats avec ceux du n" 52; mais la méthode précédente a l'avantage de fournir un moyen simple d'étendre ces résultats à un nombre quelconque de variables.

57. Les principes exposés jusqu'i(^i sur la théorie de mnximis et minimis conduisent à cette conclusion générale : Si, dans une fonction quelconque des variables x, y, z, . .., on substitue à la place de ces variables les quantités x+p, y + rj, z-\-r, ,.., et qu'on développe la fonction suivant les puissances et les produits dos (juantités /?, </, /•, ..., les termes où ces quantités ne se trouveront qu'à la première dimension, étant égalés chacun séparément à zéro, donneront les équations nécessaires pour que la fonction proposée devienne un maximum ou minimum; ensuite on considérera la quantité composée de tous les termes où/?, q,r, ... formeront deux dimensions, et il faudra pour le minimum que cotte quantité soit toujours positive, et pour le maximum toujours négative, quelles que puissent être les valeurs de p, q, r, ....

Si tous ces termes s'évanouissaient à la fois, il faudrait alors, pour l'existence du maximum ou minimum, que tous les termes oii p, q, r, ... formoi'aioiit trois dimensions disparussent aussi à la fois, ot (jue la quantité composée des termes oii /;, q, r, ... formeraient quatre dimensions fût toujours positive \m)uv h^ minimum et toujours négative pour lo maximum, p, q, r, ... ayant dos valeurs quelcon(|ues; et ainsi <](' suite : ce qui répond, comme l'on voit, au théorème du n" 25.

Nous avons donné ci-dessus un moyen simple pour trouver les conditions (pii rendent une (juantité de la forme

SECONDE PARTIE. - CHAPITRE XI. 2!)l

toujours positive ou uégativo. On pourrait, do la uioino manière, chercher celles qui rendraient toujours positives ou négatives des (luanlités

de la forme

A/»' -hhp^(j -+-...;

mais l'application de la méthode générale à ce cas serait sujette à des dilllcultés de calcul qui pourraient la rendre impraticahle, et c'est lit un problème d'Algèbre dont il serait à désirer qu'on [)ùt avoir une solution complète.

5S. Nous avons supposé juscju'ici (jue les variables qui entrent dans la fonction sont indépendantes les unes des autres; mais, s'il y avait entre elles une ou plusieurs équations, il faudrait commencer par éliminer, au moyen de ces équations, autant de variables dans la fonction proposée; on chercherait ensuite la condition du maximum ou minimum })ar rapport aux variables qui seraient restées dans la fonction, (l'est la méthode qui se présente naturellement; mais on peut la simplitier beaucoup en conservant toutes les variables et réduisant l'élimination aux seules quantités j», </, r,

Vax effet, supposons qu'on ait entre les variables oc, y, z, . . . ré(iua-

tion de condition

comme cette équation doit avoir lieu quelles ({ue soient les valeurs de ce, y, z, ..., elle aura donc lieu aussi en mettant a; +/>,r + <y, ::-!-/■, ... à la place de x, y, z, . ..; par conséquent, on aura, par un développement semblable à celui du n° 78 (I™ Partie), l'équation

p o' [x] -i- q o' [y] + r z>' [z] -h . ■ --h^p- o"[x] +p(j '/,x, y) + Uj- (^"{r) -h- .. — o,

d'où l'on pourra tirer la valeur de p en série, qu'on substituera dans le développement de la fonction qui doit être un maximum ou un minimum; ou bien on ajoutera simplement à ce développement la quantité qui forme le premier membre de l'équation précédente, multipliée par une quantité quelconcjue indéterminée qui pourra même être de la

forme

a-h ùp -h cq + dr -^ . . .+ Ip- -+- nipq + . . . ,

292 TIIÉOiUE DES FONCTIONS.

les coefficients a, h, c, ... étant indéterminés, et l'on égalera à zéro tous les termes qui contiendront la quantité /;, ce qui servira à déterminer les inconnues a, h, c, —

Comme les équations du maximum ou minimum résultent de l'évanouissement des termes où les (juantités p, q, r, ... ne sont qu'à la première dimension, il suffira d'égaler à zéro chacun de ces ternies, ce qui donnera sur-le-champ les équations

f'{x] + ac^'(x)-=o, /'(r) + rt9'(r) = o, f'[z)-hn(f'[z] = o

qu'on réduira ensuite à une de moins par l'élimination de l'inconnue a. A l'égard des termes où les quantités/?, g, r, ... formeront deux dimensions, on déterminera, par les méthodes exposées ci-dessiis, les conditions (jui doivent avoir lieu entre les coefficients de ces termes, et l'on cherchera à satisfaire à ces conditions de la manière la plus générale, au moyen des quantités arbitraires b, c, d, —

Nous ne faisons ici qu'indiquer ces procédés, dont il sera facile de faire rap})lication; mais on peut les réduire à ce principe général : Lorsqu'une fonction de plusieurs variables doit être un maximum ou minimum, et qu'il y a entre ces variables une ou plusieurs équations, il suffira d'ajouter à la fonction proposée les fonctions qui doivent être nulles, multipliées chacune par une quantité indéterminée, et de chercher ensuite le maximum ou minimum comme si les variables étaient indépendantes; les équations qu'on trouvera, combinées avec les équations données, serviront à déterminer toutes les inconnues.

59. On peut résoudre, par les mêmes principes, les questions où il s'agit de trouver des courbes qui jouissent, dans chacun de leurs points, de quehjue propriété donnée de maximum ou minimum.

Supposons, par exemple, qu'on demande la courbe dans laquelle la quantité que nous avons nommée K dans le problème du n" 15 soit un maximum ou minimum à chaque point de la courbe. Cette quantité est exprimée par la fonction

SECONDE PARTIE. - CHAPITRE XI. 0!)n

cl la (juostioii consiste à trouvcM' la Yalciir do r en x (jiii rciulra celle fonction un maximum ou minimum. Si les deux quantités j et j' étaient indépendantes l'une de l'autre, on pourrait déterminer le maximum ou minimum relativement à chacune de ces variables; mais, comme ces quantités dérivent l'une de l'autre et que leur relation demeure inconnue tant (jue l'une d'elles n'est pas une fonction déterminée de ce, on ne peut chercher le maximum ou minimum (jue par rapport à l'une de ces quantités, et il est naturel de prendre pour variable la quantité j' qui détermine la position de la tangente, en regardant les coordonnées ce et y comme données pour chaque point de la courbe.

On prendra donc les fonctions primes et secondes de la fonction proposée relativement à la quantité y', regardée comme seule variable, et, égalant à zéro la fonction prime, on aura sur-le-champ l'équation

[ r -h [n — x] y ~\{ni — .T]-\-[y -h [m — x)}'-'][n — j;) = o, laquelle donne, comme dans le numéro cité,

pour l'équation de la courbe cherchée.

Ensuite on aura la fonction seconde

laquelle fait voir que le maximum aura lieu dans toute la partie de la courbe pour laquelle les deux quantités m — .r et n — x seront de signes différents, et que le minimum aura lieu pour la partie où m — x et n—,T seront de même signe; de sorte que le maximum aura lieu pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites m et n, et le minimum pour les valeurs de x qui tomberont hors de ces limites.

L'équation trouvée pour la courbe étant du premier ordre, elle est susceptible d'une équation primitive avec une constante arbitraire, et, si on la met sous la forme

294 TIIÉOIUE DES FONCTIONS.

on en déduira sur-le-champ cette équation primitive,

1 logj=: \oi^[x — m] -h \og[x — n) -h logA, et, passant des logarithmes aux nomhres,

r-= /t[x — ni)[x — n],

oii h csl une constante arbitraire. Cette é(|ualion est de la niênie forme <jue celle (jue nous avons trouvée dans l'endroit cité, ce (|ui doit être, puisqu'elles viennent l'une et l'aulre de la même éijuation du premier oidre. En efiet, l'équation trouvée ci-dessus pour le maximum ou minimum, étant multipliée par v", a pour équation primitive

K étant une constante arbitraire, et celle-ci, combinée avec la même équation pour en éliminer y', donnera le résultat trouvé dans le même endroit.

Donc, rapprochant cette solution de celle du n" 15, on en conclura, en général, que les sections coniques ont non-seulement la pi'opriété, déjà trouvée, que chaque tangente coupe sur les perpendiculaires élevées aux deux extrémités de l'axe des parties dont le produit est constant, mais encore celle-ci, que la position de la tangente à chaque point de la courbe, regardé comme donné, est telle (jue ce même produit est un maximum pour l'ellipse et un minimum ou plutôt un maxiinum négatif pour l'hyperbole.

GO. En général, si l'on demande la courbe dans laquelle une fonclion donnée de a-, j, j', j", ... sera un maximum ou minimum, on pourra cherchcsr le maximum ou minimum relativement à chacune des (juantités j, j', r", . .., ce qui donnera autant de solutions différentes, et l'on aura toujours, généralement parlant, pour la courbe cherchée, une équation du même oi'dre que la fonction proposée.

Si cette fonction était une simple fonction des éléments a, l>,c, ... du contact (n" 10), en cherchant le maximum ou minimum relative-

SECONDE PARTIE. - CHAPITRE XI. Oî).,

iiKMil à la (liM'iiiî'i'C (les (juanlités )', j', j'", ..., on Irouverait néc.cssaii-iMiKMit la inrino éqiialion que l'on aurait pour le problème dans le(]ucl on supposerait cette même fonction égale à une constante; c'est il(^ <|uoi il est facile de se convaincre par l'analyse des n"* 20 et 18. lin elVet, en égalant à zéro la fonction prime (le/(a, h, c, ...), prise relativement à la plus haute des fonctions dérivées y', y", ..., on aura la même équation que si l'on prenait, en général, la fonction prime de

l'équation

f[a, b,c, . . .) =const.

relativement à x, y, y', . . . , d'oîi l'on voit que ces deux genres de problèmes, quoi({ue fort différents dans le fond, conduisent néanmoins an\ mêmes résultats et sont, par conséquent, susceptibles des mêmes solutions. Ainsi, on pourra appliquer ici tout ce qui a été dit dans les endroits cités. L'exemple du numéro précédent est, comme l'on voit. un cas particulier de ces mêmes prol)l('mes.