CHAPITRE XII

DKS QUESTIONS DE MAXIMIS ET MIMMIS QUI SE RAPPORTENT A LA MÉTHODE DES VAP.IATIONS. DE l'ÉQUATION COMMUNE AU MAXIMUM ET AU MINIMUM, ET DES CARACTÈRES PROPRES A DISTINGUER LES MAXIMA DES MINIMA.

Cl. Si le maxinuim ou minimum, au lieu d'être une fonction donnée de ^,j, y', j", ....devait être la fonction primitive de celle-ci, regardée comme une fonction prime, alors il ne serait plus permis de traiter les quantités j', j', j", ... comme indépendantes et isolées, parce que la fonction primitive d'une fonction de ces quantités dépend elle-même de la relation (|u'elles peuvent avoir entre elles. Les problèmes de ce genre sont ceux qui se rapportent au calcul connu sous le nom de calcul des variafions; ils ne demandent pas une analyse nouvelle, mais une application spéciale de l'analyse des fonctions que nous croyons devoir exposer ici, à cause de l'importance de la matière.

Soit donnée la fonction f[œ, y, y', y", . . .), dans laquelle/ est supposé une fonction (\e x; il est évident qu'on ne peut, généralement parlant, avoir la fonction primitive de cette fonction donnée, sans connaître la valeur de y en x. Mais on peut chercher quelle devrait être cette valeur, pour (jiic la fonction primitive dey'(.r, y, y', y", . . .) fût un maximum ou un minimum, en supposant que cette fonction soit nulle lors(jue x aura une valeur donnée a, et qu'elle devienne un maximum ou un minimum lors(îue x aura une autre valeur donnée h. Il est évident (jue, en prenant y pour la valeur cherchée, il faudra, par la nature du maximum ou minimum, que la fonction primitive de la fonction

f{x, r 4- m; y' -f- a', y" + to", . . . ),

SECONDE PxillTlE. - CHAPITRE XII. 297

qui résulte de la fonction donnée, en mettant ->--!- co à la place de y, soit toujours, entre les mêmes limites de or, moindre dans le cas du maximum et plus grande dans le cas du minimum (jue la fonction primitive de /{se, y, y', y", ...), quelle que soit la valeur de m, (lu'on pourra regarder comme une fonction quelconque de x, et quelque petite que celte valeur puisse être.

La fonction

étant développée suivant les puissances et les produits de w, œ', o/, .... d'une manière semblable à celle du n° 78 (I'*^ Partie), deviendra

f{x,r,r',)"> ■■■) + co/'( j) + (,//'(/) + </'( j") + . . .

où les quantités /'(j), /'(y), /'(j"), ... dénotent les fonctions primes de /'(.r, r, y', y", . . .) prises suivant j, y', y", ..., et les quantités /"{y)' /"{y^ y')' /"{y')' • • • dénotent les fonctions secondes de la fonction/(a?, y H-7.co,y'+').to',j'-+->^oj", ...) prises relativement à r seul, a y et y', à y' seul, et ainsi de suite; le nombre 1 est indéterminé ou plutôt inconnu, et peut être différent dans les différentes fonctions; mais il doit être le même dans la même fonction, et il doit toujours être renfermé entre les limites o et i .

Donc il faudra que la fonction primitive de la quantité

+ '^/"ir) + "«'/"(r, /) + Çf "{}•') + • • •

ait toujours une valeur négative pour le maximum et une valeur positive pour le minimum, quelque valeur qu'on donne à la fonction oj et aussi petite que cette valeur puisse être, en prenant cette fonction primitive de manière qu'elle soit nulle lorsque x = a et y faisant ensuite x=^ b.

Or, sans connaître la quantité oj, on peut prouver qu'il est toujours possible de la prendre assez petite pour que la fonction primitive de la IX. 38

partie qui ne contient que les premières dimensions de o>, w', w", ... ait une valeur plus grande, positive ou négative, que la fonction primitive de l'autre partie. Car, on substituant ix à la place de w, a, étant une quantité variable quelconque et i un coefficient constant, la première partie se trouvera toute multipliée par i et la seconde le sera pari"-, et leurs fonctions primitives seront aussi multipliées par i et par i- ; et il est visible qu'on pourra toujours donner à / une valeur assez petite pour que la première de ces fonctions surpasse la seconde, du moius tant qu'elle ne sera pas nulle. D'où l'on conclura qu'on pourra toujours prendre la quantité w assez petite pour que la valeur totale de la fonction primitive dont il s'agit soit nécessairement positive ou négative, suivant que celle de la première partie de cette fonction le sera. Mais il est visible que celle-ci doit changer de signe en changeant le signe de la quantité w. Donc il sera impossible que la fonction totale soit constamment positive ou négative, indépendamment de la valeur de w, à moins que la fonction primitive de la partie qui ne contient que les premières dimensions de <o, o/, o/', ... ne soit nulle, quelle que soit la valeur de w. Donc le maximum ou minimum ne pourra avoir lieu, ii moins que la fonction primitive de ia fonction

ne soit nulle, quelle que soit la valeur de co.

Cette fonction étant nulle, il faudra alors que la fonction primitive de l'autre partie

soit positive pour le minimum et négative pour le maximum, en donnant à co une valeur quelconque aussi petite (ju'on voudra.

62. Pour satisfaire à la première de ces conditions de la manière la plus générale, nous remarquerons que, puisque la quantité w doit demeurer indéterminée, la fonction primitive de la fonction

SECONDE PARTIE. - CnAPlTIlE XII. 299

ne peut être que de la forme

où la plus haute des fonctions dérivées w', co", ... sera d'un ordre moindre que dans la fonction proposée; c'est de quoi il est facile de se convaincre avec un peu de réflexion sur la forme des fonctions dérivées. Prenant donc la fonction prime de cette quantité, en regardant a, [i, y, . . . comme des fonctions de x, y étant supposé aussi fonction de ,r,

on aura

OL + ui'p! + w'( ;3 + y') + &)"( y + ô') -f- . . . ,

et, comparant avec la fonction proposée, on aura

a'-o, fî'==/';r', |3 + /:=/'(/), y + ô'-/'(r"), ....

La première équation donne a égal à une constante arbitraire; les autres équations serviront à déterminer p, y, <5, ..., et, comme il est facile de voir que le nombre de ces quantités est nécessairement moindi'e d'une unité que celui des équations, il en résultera une équation de condition qui devra être satisfaite pour que le maximum ou minimum ait lieu.

Pour cela, il n'y a qu'à mettre ces équations sous cette forme

en prenant les fonctions primes de la seconde, les fonctions deuxièmes de la troisième, et ainsi de suite; retranchant ensuite alternativement l'une de l'autre, on aura

où les traits appliqués aux parenthèses dénotent les fonctions primes, secondes, etc. des quantités renfermées entre ces parenthèses.

Cette équation sera donc commune au maximum et au minimum, cl servira à déterminer la valeur de y en fonction de x\ elle sera, comme il est aisé de le voir, d'un ordre double de celui de la fonction

300 THÉOIIIE DES FONCTIONS.