Les mêmes équations

donneront, pai* un procédé semblable,

Soit, pour abréger,

il = w[3 + co'y + fjo"o -f- . . . ;

la fonction primitive de la quantité co/'( y) h- w'/'( y') -+- . . . sera y.-\-il, et, comme cette fonction doit être nulle lorsque ôc — a, si l'on dénote par A la valeur de £2 qui répondra à a: = a, on aura, puisque a est une constante arbitraire, a + A=o, et par conséquent a == — A. On aura donc ^ — A pour la fonction primitive, qui doit être nulle, en vertu du maximum ou minimum, lorsque x=zb. Si donc on dénote encore par B la valeur de 12 qui répondra à x = b, on aura l'équation

à laquelle il faudra satisfaire par le moyen des constantes arbitraires qui entreront dans l'expression de y qu'on déduira de l'équation trouvée ci-dessus, en ayant égard d'ailleurs aux conditions spéciales du problème.

Ainsi, par exemple, si la valeur de y est donnée pour les valeurs a, h de X, alors la valeur de m sera nulle dans les deux quantités A et li; si, de plus, la valeur de y' était aussi donnée pour les mêmes valeurs de X, les valeurs de w' seraient aussi nulles dans A et B; et ainsi de suite.

Les quantités m, m , o/, . . . étant réduites au plus petit nombre possible tant dans l'expression de A que dans celle de B, on égalera à zéro le coefficient de cbacune de celles qui resteront pour satisfaire à l'équation B — A = o, indépendamment de ces quantités.

SECONDE PARTIE. - CIIAPITllE XII. 301

6i. Ayant ainsi satisfait à la première condition, il ne restera plus (jn'à remplir l'autre condition, qui consiste en ce que la fonction primitive de la quantité

doit être, entre les mêmes limites a et b de x, toujours positive pour le minimum et négative pour le maximum, en supposant que la valeur de t) soit quelconque et aussi petite qu'on voudra.

Je remarquerai d'abord ici que, quoique les fonctions /"(/), /"{y, y), ••• renferment essentiellement les quantités w, o/, ... (n" 61), on peut prouver, par un raisonnement semblable à celui du n" 55, qu'il suffira, pour le maximum ou minimum, que la condition dont il s'agit soit remplie en supposant le coefficient 1 égal à zéro, ce qui fait disparaître ces quantités des fonctions dont il s'agit, en sorte que ces fonctions ne seront plus alors que les fonctions secondes de la fonction /'(j;, j, y, y", ...), prises relativement à j seul, ày etj', à j' seul, etc., et auront, par conséquent, des valeurs déterminées en .r, y, y', —

Cela posé, si l'on rappelle ici le théorème que nous avons démontré dans la première Partie (n° 38), on en conclura que la condition dont il s'agit serait satisfaite si la proposée

était telle qu'elle fût constamment positive ou négative pour toutes les valeurs de .r, depuis j:^^ a jusqu'à x — b, indépendamment des quantités co, (.')', w", . . ., et, comme nous avons donné plus haut (n° 56) les conditions les plus générales pour qu'une quantité de la forme dont il s'agit soit nécessairement positive ou négative, il n'y aura qu'à examiner si ces conditions ont lieu dans la quantité dont il s'agit. Si elles n'avaient pas lieu ou si elles n'avaient lieu que dans une partie de cette (juantité) il faudrait alors chercher la fonction primitive de l'autre partie et la rendre nulle, ou au moins positive pour le minimum et négative pour le maximum, indépendamment des quantités co, w', w", —

302 ÏUÉORIE DES FONCTIONS.

65. Pour simplifier la solution de cette question, nous supposerons (l'ahord que la quantité proposée ne renferme que les carrés et les produits des deux quantités m, w'; on verra aisément que la même méthode s'étend aux cas plus compliqués, et nous représenterons par cette

formule

w^M-l-ow'N + w'^P

la partie de la même quantité qui est toujours positive ou négative entre les limites x^=a, x=^h; l'autre partie sera

dont il faudra chercher la fonction primitive, et il est facile de s'assurer d'avance que, pour que la quantité o> demeure indéterminée, cette fonction ne pourra être que de la forme p. -i-ca-v; prenant donc sa fonction prime et comparant terme à terme avec la précédente, on aura

^'=0, v'-^.HrJ-M, ^,=f"[y,y')-^, 0^.y-.(y).p.

La première de ces équations donne \l égale à une constante arhifraire, et les trois autres serviront à déterminer les valeurs de M, N, P, qui seront

et il faudra que ces valeurs satisfassent aux conditions qui résultent des formules du n° 56. Or, en prenant les quantités w' et co à la place des quantités p et q, et par conséquent P, N, M à la place de A, B, C,

et faisant T = M— -Tp' on aura pour le minimum les deux conditions P > o et T > o, et pour le maximum les conditions opposées P < o et T<<), ou bien l'une des deux quantités P, T égale à zéro, tant pour le minimum que pour le maximum, et ces conditions devront avoir lieu pour toutes les valeurs de x, depuis-.r = « jusqu'à x^=^b, pour que la quantité w'-P + cow'N -h oj-M soit constamment positive dans le premier cas et négative dans le second entre ces mêmes limites. Comme la quantité P est donnée, elle indiquera tout de suite le maxi-

imini ou niinimuiii; mais on n'en sera assuré que par l'autre condition T> ou <o, ou bien —o pour les deux cas.

60. De plus, et c'est ici une condition bien essentielle, il l'audra que les quantités M, N, P ne deviennent point infinies entre les mêmes limites, pour qu'on puisse être assuré que la fonction primitive de la quantité dont il s'agit sera nécessairement positive ou négative, d'après le théorème du n" 38 de la première Partie; car ce théorème, étant fondé sur la nature du développement des fonctions en séries des puissances positives de la quantité ajoutée à la variable, est nécessairement sujet aux exceptions attachées à la forme de ce développement, qu(^ nous avons examinées n° 30 (F^ Partie) et n° 13 ci-dessus; il pourra donc être en défaut si les fonctions dérivées de la fonction pi'imitive deviennent infinies, parce qu'alors le développement n'aura plus la même forme; c'est ce qui arrivera nécessairement lorsque la fonction primitive passera du positif au négatif par l'infini, comme les tangentes des angles; alors, pour la valeur de a- répondant à ce passage, le développement de la fonction de oc-i-i aura son premier terme de la forme Ai"', m étant un nombre impair négatif, et la fonction prime ainsi que toutes les suivantes seront infinies. Dans ce cas, la fonction primitive pourra changer de signe, quoique sa fonction prime conserve toujours le même signe.

Pour en voir un exemple bien simple, il n'y a qu'à considérer la

fonction — '- — ? qui est =i lorsque ^ = ^ et = — ?, lorsque ce = 2;

cependant sa fonction prime , r^ est toujours positive tant que a

A une valeur réelle. Ici la fonction primitive et toutes ses dérivées deviennent infinies lorsque .z = i.

C'est une modification à apporter au théorème dont il s'agit, mais (jui n'influe point sur la conclusion qu'on en a tirée dans le n" 39.

07. Ayant satisfait à ces conditions, on aura la fonction primitiv(}

|Ul -f- w-v,

dans laquelle [/. est une constante arbitraire qu'on déterminera en sorte que la fonction soit nulle lorsque x — a. Supposons w-vr=(£î), et soit (A) la valeur de (i2) lorsque a^- — «; on aura jx == — (A). Ainsi la fonction primitive dont il s'agit sera

(il) -(A),

laquelle devra être nulle ou positive pour le minimum et négative pour le maximum, en faisant ûr = b. Soit donc (B) la valeur de (i2) lorsque .v=^b; il faudra que l'on ait (B)— (A)>ou<o pour le minimum ou le maximum, ou =o pour les deux cas, indépendamment de la valeur de 0^, qui doit demeurer indéterminée.

Si la valeur de y est donnée pour les valeurs a et b de <r, la valeur correspondante de w étant alors nulle, on aura (A) = o, (B) = o, et la condition précédente sera remplie tant pour le maximum que pour le minimum. Mais si les valeurs de y ne sont pas données, alors il faudra que l'on ait, pour le minimum, v= ou >o lorsque ar — bel V = ou <^o lorsque ûc = a; et, pour le maximum, v= ou <o dans le premier cas et v= ou >>o dans le second.

A l'égard de la valeur de la quantité v, elle dépend simplement de la

condition T ou M— ^>>o pour le minimum et <;o pour le maximum. Cette condition sera donc, en substituant les valeurs de M, N, P,

et l'on pourra prendre pour v une fonction quelconque de .r qui y satisfasse.

Ce qu'il y aurait de plus simple, ce serait de supposer la quantité T nulle (n" 65), ce qui donnerait l'équation

4MP-N2z=o,

par laquelle on pourrait déterminer la valeur de v, et le maximum ou minimum dépendrait simplement du signe de la quantité P ou ^/"{v')-

SECONDE PARTIE. — CHAPITRE XIT. SO.i

On aurait de oetto inaiiièro le même résultat que donne la métiiodc proposée, dans les Mémoires de l' Académie des Sciences Ac 1780, pour distiniïuer les maxima des minima dans le Calcul des variations. I\[ais. d'après ce que nous avons dit ci-dessus, il faudrait, pour l'exactitude de ce résultat, (ju'on pût s'assurer que la valeur de v ne deviendra point infinie pour une valeur de x comprise entre les valeurs données a et b, ce qui sera le plus souvent impossible, par la difficulté de trouver l'équation primitive en v et x. Sans cette condition, quoique la quantité

0)2 M + mm'N + cu"-P

devienne alors de la forme

et qu'elle soit, par conséquent, toujours positive ou négative, suivant (|ue la valeur de P le sera, on ne sera jamais certain de l'état positif on négatif de sa fonction primitive.

68. Pour en donner un exemple qui pourra servir en même temps d'application de la méthode que nous venons d'exposer, supposons (juc la fonctiony"(.3:', j, r', . . .), dont la fonction primitive doit être un maximum ou minimum, soit

en prenant les fonctions primes et secondes, on aura

/'(r) = ^l'«/^- nr], f'ir') == 2(/ -i- my),

f'\y)='in, f"[y,y') = ..m, /"(/) = :.;

substituant ces valeurs dans l'équation générale du n° 62, qui, dans ce cas, se réduit à

on aura

■2.[my -r- ny) — "^iy — '"J") ^^ '^>

savoir

y"- ny — o