IX. 3ç

pour l'équation du maximum ou minimum. Cette équation est susceptible de la méthode du n° 55 (I'*" Partie) et donne sur-le-champ

g et h étant deux constantes arbitraires; si n était une quantité négative = — k-, alors on aurait, en prenant d'autres constantes arbitraires

g et h,

y=: ffs'm[kx-i- h).

Supposons, pour plus de simplicité, que les valeurs de j soient données pour les deux valeurs extrêmes a et b do ce; les quantités A et B seront nulles d'elles-mêmes, et l'équation B =A sera satisfaite (n° 63); on déterminera donc les constantes a et b de manière que y ait les valeurs données lorsque cc=ia et cc=b.

Maintenant, nous aurons, par les formules du n" 65,

d'où l'on voit que, puisque P est > o, il n'y a que le minimum qui puisse avoir lieu. Mais cette condition ne suffit pas pour assurer l'existence du minimum; il faudra de plus que l'on ait

M — 7-p > o ou =0.

Soit : i" M— 7-n > o; on aura

en prenant pour v une quantité qui ne devienne point infinie entre les limites « et 6 de x. Si la valeur de ii est positive, il est clair qu'on peut satisfaire à cette condition en faisant v =:/72 ; ainsi on sera assuré, dans ce cas, de l'existence du minimum, puisque les deux quantités (A) et (B) sont d'ailleurs nulles par l'hypothèse que les valeurs de y sont données pour x = a et =6 (n" 67). Mais, si ii est négative et =~Jc-, on aura alors la condition

- v'>A-2h- im — v)*,

SECONDE PARTIE.— ClIAPITRE WV. 307

et il n'est pas aisé de trouver une valeur satisfaisante de v, ni inèn)e de s'assurer qu'on pourra la trouver.

Soit : 2" M— 7-îi=(); ou aura 4P

Je suppose j'aurai

ce qui donne

m — V ^^ kp;

et, prenant les fonctions primitives des deux membres,

angle tangp = kx -+- ci,

savoir

p = tang{/i Jt -t- (^),

d étant une constante arbitraire. Cette valeur devient infinie lorsque kx-hd~ à l'angle droit, ou à trois angles droits, ou etc. Donc on ne sera pas assuré de l'existence du minimum si la quantité {b — a)/c est plus grande que la valeur de deux angles droits.

En effet, pour que le minimum ait lieu en général, il faut (n" 64) que la fonction primitive de la quantité

soit positive, quelle que puisse être la valeur de w. Supposons co = /sin^; cette quantité deviendra

i- [n sm' X -\' 2m sinjrcos:r + cos-x) = <- 1 1 cos2:i-4- m sinix I ,

dont la fonction primitive est

i-[ X -\ -. — smi^c C0S2:r' -i-r,

c étant la constante arbitraire qu'on déterminera de manière que la

fonction primitive soit nulle lorsque a- = r/; ensuite on fera .r~b. Donc, si l'on suppose a — o et h égal h deux angles droits, afin que la valeur de w soit nulle lorsque a- = a et =b suivant riiypothèse , on

aura c::^— ? et la valeur complète de la fonction primitive dont il

s agit s^=n'a

D représentant l'angle droit; et il est visible que cette valeur pourra devenir négative lorsque «= — /--, en prenant X>-i.

69. Supposons maintenant que la quantité qui renferme les secondes dimensions de co, w', ... contienne aussi w", en sorte qu'elle soit de la forme (n" 61)

nous prendrons

«2 M + Mw' N + &)'^ P + wm"Q + w'&)"R + c./'2 s

pour la partie de cette (|uantité qui doit être assujettie aux conditions de la formule du n" 56, et il faudra que la différence de ces deux quantités soit susceptible d'une fonction primitive indépendamment de la quantité co. Cette fonction ne pourra donc être que de la forme

U + fi)-V -i- WW'CJ -r- 'li'^p,

et l'on trouvera, par la comparaison des termes, les équations

lJ.' = o,

^ +p'-ir(r') -P.

lesquelles donnent u. égale à une constante arbitraire, ensuite

N =/"(r>r') -^v-ct', P=^/"{r') -^ ~p\ Q=f"{r,y')-^,

où les trois quantités v, n, p demeurent indéterminées; mais il faudra les prendre telles qu'elles satisfassent aux conditions auxquelles doivent être assujetties les quantités M, N, P, ..., et qu'on peut déduire du n" 56, en prenant les quantités w", o/, to à la place des quantités/;, q, r. Ainsi, si l'on fait

X = M — y-5 5 1 :^ X — T-TT, 5

les conditions pour le minimum seront S>>o,T>o etY>>o, et, po iule maximum, S<o, T-<o, Y<o; et ces conditions devront avoir lieu pour toutes les valeurs de x, depuis .r = a jusqu'à x = h. La valeur de S indiquera le maximum ou minimum; mais on n'en pourra être assuré (jue par le concours des deux autres conditions. De plus, il faudra que les quantités M, N, P, Q, R, S ne deviennent jamais infinies entre les mêmes limites, par les raisons exposées plus haut (n° 66). Enfin il faudra que, en supposant

et prenant (A) et (B) pour les valeurs de (i2) qui répondent à o-^^a et

x^=b, la quantité (B) — (A) soit positive pour le minimum et négative

pour le maximum, indépendamment des valeurs de m et de 0/ (n° 67).

On suivra les mêmes procédés pour les fonctions plus compliquées.

70. Si les valeurs dey, y', . . . n'étaient pas données pour les valeurs a et /; de a-, mais qu'il y eût seuleftient, par la nature du problème, une relation entre ces quantités, représentée par l'équation

alors, suivant les principes du n" 58, il n'y aurait qu'à ajouter à la fonction, qui doit être positive pour le minimum et négative pour le maximum, la quantité

multipliée par un coefficient indéterminé r, et traiter ensuite les quantités «0, w' comme indépendantes. Ainsi, si la condition dont il s'agit doit avoir lieu pour la valeur de .r=:a, on ajoutera aux deux quantités A et (A) (n*' 63, 67) les quantités

r[«cp'(r)+co>'(/)+...] et

rapportées à la même valeur de a-; et, si cette condition devait avoir lieu pour la valeur .r^b, on ajouterait aux valeurs de B et de (B) les mêmes quantités rapportées a a = b.

On suivrait le même procédé pour chacune des conditions données, s'il y eu avait plusieurs.