CHAPITRE Xllï

EXTENSION DE LA MÉTHODE PRÉCÉDENTE AUX FONCTIONS D UN NOMBRE QUELCONQUE DE VARIABLES. PROBLÈME DE LA BRACHISTOCHRONE. CARACTÈRES POUR DISTINGUER SI UNE FONCTION PROPOSÉE EST OU NON UNE FONCTION PRIME, OU EN GÉNÉRAL UNE FONCTION DÉRIVÉE d'uN CERTAIN ORDRE.

71. La fonction proposée, dont la fonction primitive doit être un maximum ou un minimum, pourrait contenir, outre les variables a:' et r, une troisième variable z, indépendante des deux autres; on opérerait alors, relativement à cette variable, comme on a fait relativement à y. Ainsi, en désignant la fonction proposée par

on y substituera à la fois les quantités y -t-w et z-\-K à la place dey et 5, et il faudra, après le développement, que la fonction primitive de la partie qui ne contiendra que les premières dimensions de (o, o/, oj", . . ., 'Ç, 'C, C", . . . soit nulle, et que la fonction primitive de la partie qui contiendra les secondes dimensions de ces mêmes quantités soit positive pour le minimum et négative pour le maximum, indépendamment des quantités oj et C.

De là, par une analyse semblable à celle du n° 62 et en conservant aussi pour les fonctions primes relatives à z, z', z", . . . une notation semblable à celle que nous avons employée relativement à y, y', y", . . ., on aura ces deux équations,

(jui stM'vii'ont à déterminer les quantités j et z en fonction de x. Ensuite il faudra, relativement aux quantités z et X, satisfaire à des conditions semblables à celles qu'on a trouvées par rapport à j et w; c'est un détail qui nous mènerait trop loin et que le lecteur peut suppléer.

On voit par là que, s'il y avait une quatrième variable u, on aurait, relativement à cette variable, une équation semblable à celles qui répondent aux variables j et :;; et ainsi de suite.

72. Mais si, dans la fonction /(a;, y, r, ...,:;,:;',. ..), la quantité:; dépendait des quantités a: et j d'une manière quelconque donnée par l'équation —

alors, suivant les mêmes principes du n" 58, on ajouterait simplement la fonction ç(.r, ->-,>'', ..., z, z', . . .), multipliée par un coefficient indéterminé et variable A, à la fonction proposée/(.r, y, j', ...,:;, z', . . .), (^t l'on chercherait, par les méthodes exposées, le maximum ou minimum de la fonction primitive de cette fonction composée, en regardant les quantités jet s comme indépendantes. Ainsi, on trouvera d'abord, pour le maximum ou minimum, les deux équations

d'où, éliminant la quantité A, on aura une équation qui, combinée avec l'équation donnée (i^{x, y,Y\ . . ., z, z', . . .) = o, servira à déterminer les valeurs de y et :; en fonction de x.

Enfin, si la fonction primitive de la fonction/(a% y, j', . . .) ne devait être un maximum ou un minimum qu'autant que la fonction primitive d'une autre fonction <p(j:', y, y', . . .) serait donnée entre les mêmes valeurs a et b de .r, il n'y aurait qu'à chercher le maximum ou minimum de la somme des deux fonctions primitives, après avoir multiplié

la seconde par un coefTicient indéterminé indépendant de^, c'est-à-dire le maximum ou minimum de la fonction primitive de

en regardant A comme une quantité constante. De cette manière, on aura d'abord l'éijuation

/'(.>•) - [/'(/)]'+ [/'(/')]"-•••+ ^ 9'(r) - A[9'(/)]'+ A[cp'(/')]"-.-- o,

et l'on déterminera la constante A de manière que la fonction primitive

de (p(.r, >', v', ...), prise depuis ar = a jusqu'à x = b, soit donnée; cl ainsi du reste.

73. Les problèmes de la brachistochrone et des isopérimêlres, proposés et résolus d'abord par les deux frères BernouUi, ont ouvert la route pour traiter ce nouveau genre de questions de maximis et minifuis. On a trouvé ensuite successivement des méthodes plus générales et plus simples, et l'on est parvenu enfin au Calcul des variations, qui paraît ne rien laisser à désirer sur ce sujet. Comme les équations trouvées plus haut (n°* 62, 70) sont les mêmes, à la notation près, que celles qui résultent de ce Calcul, nous pourrions nous dispenser de les appliquer à des exemples; mais il ne sera pas inutile de montrer encore, pai' un exemple connu, l'usage des règles pour distinguer les maxima el minima, et s'assurer de leur existence.

Nous reprendrons pour cela le problème de la brachistochrone, ou ligne de la plus vite descente, à cause de sa célébrité; il consiste, comme l'on sait, à trouver la courbe le long de laquelle un corps pesant descendrait dans le moindre temps d'un point donné à un autre point donné et placé dans une verticale différente. Comme, par les principes de la Mécanique, la fonction prime du temps est égale à la fonction prime de l'espace divisée par la vitesse, et que, dans les corps qui tombent par la pesanteur, la vitesse est toujours proportionnelle à la racine carrée de la hauteur d'où ils sont censés être descendus, si l'on rapporte aux trois coordonnées rectangulaires x, y, z la courbe décrite IX. 4o

31i THÉORIE DES FONCTIONS.

par le corps, et qu'on prenne les abscisses a: verticales, la vitesse sera proportionnelle à \7i-hx, Qt sjin-y'- -\-z'- sera la fonction prime de

l'arc de la courbe (n" 37); ainsi — — -^ sera proportionnelle à la

fonction prime du temps, dont la fonction primitive devra être un minimum. On aura donc

donc, prenant les fonctions primes, on aura

\lh + X sji +y"- + z"-

s/h + ^v^i -hx- + z-

et l'on aura (n° 70) les deux équations

)Jll-^ X \Jl -+-j'2+ z"^

lesquelles donnent d'abord ces deux-ci du premier ordre,

>Jli -^ X \J\ +y'--[-z"-

m et n étant deux constantes arbitraires.

En divisant ces deux équations l'une par l'antre, on a ^ — —, donc

«'=— ) et, prenant l'équation primitive, on aura

SECONDE PARTIE.- CHAPITRE XIII. 31o

/ étant une nouvelle constante arbitraire. Cette équation étant à un plan vertical, puisque l'abscisse verticale x ne s'y trouve pas, fait voir que la courbe cherchée est toute dans ce plan; ainsi, en prenant l'axe des y dans ce même plan, on pourra supposer z = o, en faisant / et n r=o, et l'on aura pour la courbe cette équation unique entre les coordonnées X et V,

\j i — in'^[li + x)

équation à la cycloïdc, les abscisses x étant prises sur le diamètre du cercle générateur et les ordonnées y perpendiculairement à ce diamètre.

Puisqu'on suppose que les deux points extrêmes de la courbe sont donnés, les quantités w et "C répondant à ces points seront nulles, et les valeurs des quantités A et B seront nulles aussi en prenant a et b pour les valeurs de x qui répondent à ces points; ainsi la condition B — A = o sera remplie. Si l'on faisait d'autres hypothèses relativement à ces points, on trouverait d'autres résultats; nous ne nous y arrêterons pas, parce que ces différentes questions ont été déjà discutées et résolues par les principes du Calcul des variations. Mais il faut voir ce que donnent les termes où les quantités w et 'C monteront à la seconde dimension et dont la fonction primitive doit être positive pour que le minimum ait effectivement lieu.

Comme la fonction proposée /"(.r, y, y', . . ., s, s', . . .) ne contient point, dans le cas présent, les variables j et z, mais seulement leurs fonctions primes j' et z' , il est facile de voir que les termes dont il s'agit seront simplement de la forme

et l'on trouve, en prenant les fonctions primes des quantités /'(j) et

/'(s') relativement à y' et z'.

(le sorte (juo la quantité dont il s'agit deviendra

r,/2(,4.-'2)ac,/i:S-'y + ^'2(i+y2) ± '■

laquelle peut se mettre sous cette forme,

où l'on voit que cette quantité a d'elle-niênie la propriété d'èlre toujours nécessairement positive, quellers que soient les valeurs de to et "C,; et, comme d'ailleurs elle ne saurait jamais devenir infinie tant que/' et z' ne seront pas infinies, il s'ensuit que le minimum aura nécessairement lieu dans la cycloïde.

Nous n'entrerons pas dans d'autres détails sur ce problème, (jui offre différents cas à examiner, suivant les conditions qu'on peut deinander relativement au premier et au dernier point de la courbe, et par rapport à la courbe même, qu'on peut supposer devoir être tracée sur une surface donnée. La solution de tous ces cas peut se tirer aisément des principes établis ci-dessus. VoirX-A fin de la Leçon XXII du Calcul des fonctions ( * ) .

74. L'analyse que nous avons employée pour trouver les maxima et minima des fonctions primitives donne lieu à une observation impor-

(*) OEui'res de Lagrangc, t. X.

tante. Nous avons trouvé (n'' 62) que, pour que la quantité

ait une fonction primitive, quelle que soit la valeur de w, il faut satisfaire à ré([uation

Donc, si cette quantité était d'elle- même la fonction prime d'une fonction de jc, y, y', ..., co, o/, ..., l'équation précédente aurait aussi lieu d'elle-même et serait par conséquent identique.

Or on voit, par le n" 61, que la quantité dont il s'agit n'est autre chose que la partie du développement de la fonction

qui ne contient que les premières dimensions de co, oj', co", ..., et je vais prouver que cette quantité sera nécessairement une fonction prime si f{^iy,y\y'\ •••) est elle-même une fonction prime d'un(> fonction de x,y,y\ ....

En effet, si cette fonction est une fonction prime, quelle que soit la valeur de y en x, elle le sera encore en mettant j + co au lieu de y, quelle que soit la quantité oj; donc la fonction

sera aussi nécessairement une fonction prime, en prenant pour co une fonction quelconque de x. Supposons que cette fonction soit développée suivant les puissances et les produits de co, co', co", . . ., et dénotons respectivement par P, Q, R, . . . les parties de ce développement qui contiendront les premières dimensions, les deuxièmes dimensions, les troisièmes, etc. des mêmes quantités; on aura

Ainsi, il faudra que la quantité P + Q-i-R + . . . soit la fonction prime d'une fonction de x, j, y', ... et de oj, oj', co", .. ., et il est facile de

voir que chacune des quantités P, Q, R, ... devra être en particulier une fonction prime, puisque, ces quantités renfermant des dimensions différentes de l'indéterminée w et de ses fonctions dérivées w', co", .... il est impossible, par la nature des fonctions dérivées, que les fonctions primitives de P, Q, R, . . . dépendent les unes des autres. Or on a, dans le numéro cité,

donc cette quantité sera d'elle-même une fonction prime. Donc enfin, si la fonction f{^,y,y\y'\ • • •) est une fonction prime, l'équation

sera nécessairement identique.

Réciproquement, on peut démontrer que, si cette équation est identique, la fonction f{>^,y,y',j", • • •) sera nécessairement une fonction prime, car nous avons vu que, si cette équation est vraie, la quantité P est une fonction prime, quelles que soient les valeurs de j et de a>; donc elle sera encore une fonction prime si à la place de y on met j+oj. Supposons que, par cette substitution et par le développement suivant les dimensions de m, w', w", . . ., la quantité P devienne P+/7 + . . .; la quantité /; contenant les premiers termes du développement dans lesquels co, o/, oj", ... ne formeront que deux dimensions, on en conclura, comme plus haut, que la quantité p sera en particulier la fonction prime d'une fonction de x, y, y', . . ., w, w', . . .; mais, par les formules générales que nous avons données dans le n° 76 de la première Partie, il est facile de voir qu'on a /; = aQ : donc la quantité Q sera une fonction prime, y et m étant quelconques; donc elle sera encore une fonction prime en y substituant r + w pour j. Et, si l'on suppose que, par cette substitution et par le développement suivant les puissances et les produits de oj, <.,/, ..., cette fonction devienne Q + ^H-. . ., la quantité q renfermant les premiers termes du développement où les w, w', Ci", ... ne formeront que trois dimensions, on en conclura aussi, comme ci-dessus, que la quantité ^ sera elle-même une fonction prime; mais

par les formules du même numéro on trouve ^ = 3R : donc la quantité R sera elle-même aussi une fonction prime, et ainsi de suite. En effet, si /•, s, . . . sont les premiers termes du développement des quantités R, S, . . ., on aura (numéro cité), après la substitution de j+ w à la place de co, 7'— 4S, s= 51, . . ., d'où l'on conclura, en suivant le même raisonnement, que les quantités S, T, ... seront aussi, chacune en particulier, des fonctions primes.

Donc toute la série P4-Q-f-R + . . . sera nécessairement la fonction prime d'une fonction de cr,Y,y', . . ., w, w', . . ., quelles que soient les valeurs de j et w en x. Donc la quantité

/(JT, J + O), J'+W', ...) -/(^,J, /, ...),

qui est égale à cette série, sera une fonction prime en donnant à w une valeur quelconque, et, par conséquent aussi, en faisant co = — y; or, dans ce cas, la fonction /(^, j'4-cù,j''+o/, .. .) ne sera plus qu'une simple fonction de a: sans y ni w, qui pourra être censée la fonction prime d'une fonction de a:. Donc la fonction/(^, j, j', j", ...) sera elle-même nécessairement la fonction prime d'une fonction de ce, y, y', ....