Il suit de là que l'équation

contient le caractère par lequel on peut reconnaître si la fonction

/{^,y,y\ y", .••) est ou non une fonction prime.

On trouvera de la même manière que les deux équations

f'[r)-[f'ir'i]' + [f'[y")r--.- = o, /'(^)-[/'(^')]' + [/'(^"i]"---=o

renferment le caractère par lequel on pourra reconnaître si la fonction

f{oc,y,y', ...,z,z', . . .) est ou non une fonction prime, les quantités Y et :; étant indépendantes.

Mais, si la quantité z dépendait de l'équation

on aurait, comme au n" 71,

/Hr)-[/t>-1]'+[/V0]''----+Aç'(j)--[A(p'(/)]' + [A9'(/';]''-...= o,

et l'équation résultante de l'élimination de l'indéterminée A contiendrait le caractère qui ferait reconnaître si la fonction f{oc,y,y , . . ., g, c', . . .) est d'elle-même, ou non, une fonction prime. Puisque la fonction primitive de la quantité

est représentée (n° 62) par

en omettant, ce qui est permis, la constante arbitraire a, on trouvera, de la même manière, que le caractère par lequel on pourra reconnaître si cette fonction primitive est elle-même une fonction prime sera renfermé dans l'équation

laquelle, en substituant pour p, y, (5, . . . leurs valeurs (n" 03), devient

Ainsi, le système de cette équation et de l'équation trouvée cidessus renfermera le caractère par lequel on pourra juger si la fonction/(a;, j,j',j", .. .) est d'elle-même^ ou non, la fonction seconde d'une fonction de ce, y, y', y", ...; et ainsi de suite.

76. Ces dilférentes équations répondent à celles que, dans le Calcul différentiel, on nomme conditions d'intégrabilité, et dont on s'est beaucoup occupé dans ces derniers temps. Nous nous contenterons ici

(l'avoir établi, û\mv manière directe et rigoureuse, le principe de la correspondance de ces équations avec celles du maximum et minimum des fonctions primitives, et nous renverrons, pour ce qui concerne l'usage de ces équations de condition, aux différents Ouvrages qui en traitent, et surtout à la Leçon XXI du Calcul des fonctions (*), où cette matière est traitée avec plus de détail et de généralité. On y trouvera aussi un précis historique sur le problème des isopérimètres, dont la solution générale, par la méthode des variations, fait l'objet de la Leçon XXII du même Calcul, à laquelle nous renvoyons pour compléter la théorie des variations exposée ci-dessus.

(*) OEwres de Lagrange, t. X.