DE L\ MESURK DES SOLIDITES ET DES SURFACES DES CORPS DE FIGURE DONNEE

77. Nous avons donné, dans le Chapitre VI, la manière d'exprinicu par les fonctions les solidités et les surfaces des conoïdes formés par la révolution d'une courbe donnée autour d'un axe; il nous reste à étendre cette analyse à tous les corps dont la surface est exprimée par une équation entre ses trois coordonnées.

Considérons d'abord un solide dont la surface soit exprimée par l'équation

son volume ou sa solidité sera exprimée en général par une fonction de \T et y, que nous dénoterons par F (a?, y). Désignons aussi par o(,r, y) la fonction de x,y qui exprime l'aire de la section de ce solide faite perpendiculairement à l'axe desr et correspondante à l'abscisse ar; donc, en regardant y comme un paramètre constant, et ne faisant varier que .r, on aura, par le n" 27, lïujualion

Or la section, dont <^{x,y) est l'aire, est une courbe dont les abîTcisses sont j et les ordonnées perpendiculaires sont :;, et dont l'éijuation est

en regardant maintenant ce comme un paramètre constant qui ne varie que d'une section à l'autre. Donc, en prenant ;; à la place de y et y à

la place (le .r, on aura (numéro cité)

l'accent mis au bas de la caractéristique 9 dénotant la fonction dérivée ])ar rapport l\ y, comme nous l'avons pratiqué jusqu'à présent. On a donc les deux équations

F'(^,r)=9(-^.r) ei (f,{.r,x)=f[x,x],

d'où, éliminant la fonction marquée par ç,, après avoir pris les fonctions dérivées par rapport à y de la première équation, on aura

Ainsi, pour avoir la fonction F(.r, y) qui exprime la valeur ou la solidité du corps dont la surface est exprimée par l'équation

il faudra prendre la double fonction primitive de/(.2-, v) relativement à .r et à y.

78. On peut aussi parvenir directement à ce résultat par la considération suivante. Puisque ¥{jc, y) représente en général la partie du corps qui répond aux coordonnées Ji',y, il est clair que ¥[x-hi,y) — ¥[x,y) sera le segment compris entre les plans perpendiculaires à celui des x-, y qui répondent aux abscisses x et ,v-\-i et qui sont terminés par la même ordonnée y. Donc

F(;rH-/, ;-H- o] — F{x,y-\-o] ~F[x-hi,y] + V(x,x]

sera l'excès du segment qui est terminé par l'ordonnée y + 0 sur celui qui est terminé par l'ordonnée y et il est visible que cette différence n'est autre cbose qu'un prisme dont la base est le rectangle io, dont les arêtes sont les ordonnées :; de la surface qui répondent aux quatre angles de ce rectangle, c'est-à-dire les ordonnées /(a, y), /{.r-]-i,y), /{x,y+o), /[.r-\-i, y-ho:, et dont la base supérieui'c

est la partie de la surface interceptée entre ces quatre ordonnées. Or il est facile de voii- que la solidité de ce prisme curviligne est nécessairement comprise entre celles des deux prismes rectangulaires dont la base est la même io et dont les liauteurs sont la plus petite et la plus grande des quatre ordonnées dont nous venons de parler. Donc il ftuidi-a que la fonction Y[x,y) soit telle que la valeur de la quantité

F(x + i,y + o) — ^[x + i,x] — F(jr,j+o) + ¥[x,y]

soit toujours comprise entre la plus grande et la plus petite valeur des quantités

iof[x,y), iof[x + i,y], iof[x,y -ho], io f\x + i, y ^ o),

quelque petites que soient les valeurs de i et de o.

Développons les fonctions marquées par F suivant les formules du n° 78 de la première Partie. En poussant la précision jusqu'aux troisièmes dimensions de / et de o, on aura la quantité

io F,{x,y) + — F;'{x -f- li, y^lo) + ~ F!,[ x + li, y + lo)

+ ^ [F"'(^ 4- >./, y+lo) - \'"\x + >./, j)]

+ ^[F,«(^ + ^^ r + ^o) - ¥Jx, y+lo]\

Développons de même les fonctions marquées par/, mais en s'arrêtanl aux premières dimensions de i et de o, à cause qu'elles sont déjà multipliées par io-, on aura les quatre quantités

iof{x,y),

iof[x, y) + i'of'[x + li, y),

iof[x,y) + io'' f,[x,y-hlo),

iof[x, y] + i-of'[x + li, y] + io-f,{x, y -4- lo],

et il faudra que la première quantité soit renfermée entre la plus grande et la plus petite de ces quatre dernières, en prenant pour i et o des quantités aussi petites qu'on voudra. Le coefficient >. peut être dif-

l'éi'ent dans les difTérentes fonctions, mais il doit être renfermé entre les limites o et i.

Or la différence de l'une à l'autre de celles-ci est, comme on voit, de l'ordre de i'o ou de io-, c'est-à-dire du troisième ordre, en regardant i et o comme très-petites du premier. IMais la différence entre la première quantité et l'une quelconque des quatre dernières est

io[V',[x,y)—f[x,y\\,

avec des lermes du troisième ordre; donc, pour que cette différence soit toujours plus petite que la différence précédente, qui n'est que (\\\ troisième ordre, il est nécessaire que le premier terme, qui est du second ordre, soit nul; autrement, il serait possible de prendre les accroissements i et o assez petits pour (jue ce premier terme surpassât tous les termes du troisième ordre et que par conséquent la première quantité tombât hors des limites formées par les quatre autres quantités. Il faudra donc que l'on ait

io\y',[x,y) —f\x,y)'\ = o,

et, par conséquent,

comme nous l'avons trouvé plus haut.

79. Supposons maintenant (jue lu fonction Y[x,y) représente la mesure de la surface. Dans ce cas, il est clair que la quantité

Y[x + i,y-ho) — F[x -4- /,^v) — ¥{x,y+o) + F(^, y]

représentera la portion de surface comprise entre les quatre faces du prisme droit qui a io pour base.

Imaginons qu'aux extrémités des quatre ordonnées qui forment les arêtes de ce prisme on mène quatre plans tangents à la surface dans ces points; on pourra prouver, par un raisonnement analogue à celui du n° 29 relatif aux tangentes, que la portion de surface qui forme la base supérieure du prisme sera comprise entre la plus grande et la

j)lus petite section du prisme, faites par les quatre plans tangents de la surface courbe.

Soit a l'angle que le plan tangent à l'extrémité de l'ordonnée z fait avec l'axe des a-, y; on aura (n" 39)

tanga= y/3'--+- z'r.

Ov ou sait, par la Géométrie, ({ue la mesure de la projection d'un plan est égale à celle de ce plan multipliée par le cosinus de son inclinaison sur le plan de projection. Donc, puisque les sections du prisme dont il s'agit ont toutes pour projection le même rectangle io, la mesure de la section faite par le plan qui touche la surface à l'extrémité de l'oi'-

donnée - sera ; mais on a cosoc=r ; donc la mesure de

cosa ^,, (;'. + 2;

cette section sera

10 ^i -+- c'2+ z'r, savoir, en substituant y(^,j) à z.

io ^u + [f'{x, r]y+U]{x,r)]\

Faisons, pour abréger, v'i + L/'i-^''j)]" ~l~[/('^'' 7)]' = ?(•'"' j)5 on

aura

ioci>{x,x)

pour la mesure de la section dont il s'agit, et, mettant .r-\-i, y-\-o à la place de ^, y, on aura celle des sections faites par les trois autres plans (|ui touciienl !a surface aux extrémités des ordonnées /(a- -[- /, v), /\.r, vM- o) et/(a • + i, y H- o). Donc il faudra que la quantité

soil toujours comprise entre la plus grande et la plus petite des quatre ([uantités

/o<p(.r,r), io(^[x -h /,j-), io (^[x,y -\- o), io cflx -\- i, y -<ro] ,

et, par une a^ialyse semblable à celle du numéro précédent, on en conclura la condition