V:{x,y) = cf{x, y) = v'i + [/'i-^.'J-)]' + \'.f

80. On voit par là que l'ordonnée z d'une surface est la double fonction prime prise par rapport à ce el v de la fonction qui exprime le

volume ou la solidité du corps, et que la quantité \/i-i-z - + zf est la double fonction prime de la fonction qui exprime la surface elle-même. Ainsi, l'oi'donnée z étant donnée en fonction de .x et v, il faudra prendre sa double fonction primitive pour avoir la solidité et la double fonction primitive de \i -h z'- -\- zf pour avoir la surface. On est libre de commencer par la fonction primitive relative à oc ou à y; mais la première fonction primitive admettra pour constante une fonction de l'autre variable qu'on aura regardée comme constante, et il faudra déterminer cette fonction conformément aux limites données de la surface. On déterminera ensuite, d'après ces limites, la première variable en fonction de la seconde, par rapport à laquelle on prendra de nouveau la fonction primitive.

81. Si, pour faciliter la recliercbe des doubles fonctions primitives ou pour d'autres vues, on voulait cbanger les variables oc, y en d'autres variables t et ii, dont celles-là seraient des fonctions données, il faudrait, par les principes établis dans la première Partie (n" 50), multiplier d'abord les fonctions regardées comme dérivées doubles par .r'y'; mais ensuite on ne pourrait pas substituer immédiatement les valeurs de x' , y' en /' et u , parce qu'en prenant la fonction primitive par raj>port à l'une des variables l'autre doit être regardée comme constante.

Soit/(.r,j) la fonction dont il s'agit d'avoir la double fonction primitive; pour cbanger les variables .r, y en d'autres variables t et u, on la mettra d'abord sous la forme .r'y'/(.r, y). Supposons qu'à la place de la variable x, par rapport à laquelle on veut prendre d'abord la fonction primitive en regardant y comme constante, on substitue une l'onction donnée de t et de y, / étant une nouvelle variable qui remplacera -r.

Soit .r= :-(/,/); on aura, en ne faisant varier que t.

et la fonction proposée deviendra

dont il i'andra prendre la fonction primitive par rap[)ort a /, y étant regardée comme constante, et ensuite par rapport à y, t étant regardée comme constante. Or on peut aussi substituer à la place de y une autre variable u et supposer, puisque t est à son égard constante,

ce qui donnera, en ne faisant varier que u,

Ainsi la fonction proposée deviendra

laquelle ne renferme plus que t et u, à cause de

et dont on pourra prendre la double fonction primitive par rapport a t et à M.

Puisque a' = (p(/,y) ci y^^t, u), on aura, après la substitution de y, X égale à une simple fonction de t et a, que nous dénoterons par y (/, u), de manière que les transformations de x et y en / et u seront représentées par

Or l'équation identique

donne, en faisant varier séparément / et ^^

éliminant ^'(j), on aura

et cette valeur, étant substituée dans la dernière transformée de la fonction proposée, donnera

qu'on peut mettre sous cette forme plus simple,

dans laquelle x et r peuvent être des fonctions quelconques de t et u, et où les traits supérieurs indiquent les fonctions dérivées par rapport à / et les inférieurs indiquent les dérivées par rapport à //.

82. Ainsi, en regardant z comme une fonction de ^ et y donnée par la nature de la surface du corps, et supposant qu'on substitue à la place de x, y des fonctions quelconques de t et u, la solidité ou le volume du corps et sa surface seront représentés par les doubles fonctions primitives relatives à ^ et ^^ des formules

[x'r, — x,/] z ei {x'r, — x,/) v'n- ( s')^ + ( z,)^

où il faut remarquer que les fonctions dérivées de z doivent être prises par rapport à a: et j; mais, si l'on substitue tout de suite dans z, pour x et j, leurs valeurs en t et u, il est clair que s deviendra une simple fonction de / et a , et voici comment on pourra exprimer les dérivées de z par rapport à x et y par ses dérivées par rapport à / et «.

Pour distinguer ces dérivées les unes des autres, nous renfermerons les premières entre des parenthèses. Ainsi (s') et (sj désigneront les dérivées de z prises par rapport à x et r, et z', z^ désigneront simplement les dérivées de z prises par rapport a t et u, après la substitution des valeurs de x, y en t et u dans l'expression de z. En regardant donc :; comme fonction de x, y, et x, y comme fonctions de t, u, et prenant les dérivées séparément par rapport à ^ et à u, on aura, par les principes établis dans la première Partie,

z,=z[z']x,-\-{z,)x„ IX. ^0.

ce sont les valeurs qu'il faudra substituer dans le radical et, la substitution faite, on aura la formule

dont la double fonction primitive, prise par rapport à ^ et à u, donnera la surface du corps, les variables s, a;, j étant maintenant regardées comme de simples fonctions de / et ?/.

83. Ces expressions pour le volume et pour la surface d'un corps quelconque, dont les coordonnées x, y, z sont supposées fonctions de t et u, étant traduites en langage différentiel, deviennent

' (Ix (Ir dx dy

didii 1 , , ,

dl du du lit

et

, j Idx dy dx dy\'^ idz dx dz dxV^ Idz dy dz dyV- V \dt du du dt j \dt au du dt j \dl. du du dt }

et représentent les éléments infiniment petits du volume et de la surface, qu'il faut intégrer et compléter d'abord par rapport à l'une des deux variables t, u, et ensuite par rapport à l'autre.

84. Pour donner une application de ces formules, nous supposerons (jue le corps, dont on cberche la solidité et la surface, soit un ellipsoïde (juelconque dont les trois demi-axes soient a, b, c; l'équation de sa surface entre les trois coordonnées rectangles x, y, s, parallèles aux demi-axes a, h, c, sera représentée ainsi,

x- y- za- b- c-

d'où l'on aura z en fonction de x et y.

SECONDE PAUTIE. - CUAPITUE XIV.

Mais 011 évitera l'irrationnalité de z en prenant deux angles indélerminés / et u, vl en taisant

.r = a sint co?i(, y = h siii / s\nn.

c cost:

et, pour avoir le volume et la surface de tout l'ellipsoïde, il suffira, après les substitutions, de prendre les fonctions primitives séparément par rapport à / et ic, depuis / = o jusqu'à t égal à deux angles droits et depuis z.' — o jusqu'à u égal à quatre angles droits; car cette transformation des coordonnées de l'ellipsoïde, qu-e JM. Ivory parait avoir employée le premier pour faciliter le calcul de l'attraction de ce solide {Transactions philosophiques de 1809, vol. XI), a l'avantage de rendre indépendantes les fonctions primitives relatives à / et « lorsque la double fonction primitive doit s'étendre à la surface entière.

En pi'enant les fonctions dérivées des a;, y, z par rapport à / et à w, on aura