CHAPITRE IV

Maintenant, en prenant les abscisses j- horizontales et les ordonnées >' verticales et dirigées de bas en haut, Newton suppose que, pour l'abscisse cT + o, l'ordonnée exprimée en série est

et il remarque (jue la partie de la tangente qui répond à la partie o de l'axe est o\ i + Q% et que la flèche, c'est-à-dire la partie de l'ordonnée comprise entre la courbe et la tangente, est Ro^+ So^ + . . .. En faisant o négatif, on aura la flèche qui répond à la même partie de la tangente, prise de l'autre côté du point de contact, et qui sera, par conséquent, Ro'- — So^ -t- . . . , et la diflerence des deux flèches sera

2S0'— Or il est visible que les quantités o y i -hQ^, Ro'^-i-So'+ . . .

et 280^—... répondent à celles que nous avons nommées a, y et (5;

donc la quantité 7—7» qui exprime le rapport de la résistance à la gravité, deviendra, en divisant le haut et le bas par o'*,

2(R-»-So)^

aR^

la quantité infiniment petite o s'évanouissant à côté de la quantité K. C'est aussi le résultat trouvé par Newton dans l'exemple premier du même problème.

Suivant notre notation, lorsque x devient x -j-o,y devient

donc, comparant avec la série de Newton, on a

substituant ces valeurs dans la formule précédente, le rapport de la résistance à la gravité deviendra — - — :^—^ — > au lieu que nous l'avons trouvé ci-dessus (n°17) —■^— — }r:r—' D'où il suit que la solution de

■2.jr

Newton est fautive.

368 ÏHEOIIIE DES FONCTIONS.

Il est remarquable que, si l'on substitue simplement j', r",j"' ou

-j-1 -j^,i -1-^ pour Q, — R, —S, on a un résultat exact : c'est ce qui

a fait croire aux Bernoulli, qui ont découvert les premiers l'erreur de Newton, et à tous ceux qui en ont parlé depuis, que cette erreur venait de ce que Newton avait pris les termes de la série Qo — Ro-— So'— . . . pour les dilTérences premières, secondes et troisièmes de l'ordonnée, tandis que ces termes ne sont égaux qu'à ces difFércnces divisées par i, ■j., G, .... Mais il est facile de voir que la solution de Newton est indépendante de la considération de ces différences et que la substitution des termes Ro-, So^ de la série dont il s'agit à la place des quantités/?

et -■, dans la formule ■—, est légitime; ainsi l'erreur doit être dans

cette formule même, qui donne le rapport de la résistance à la gravité, et ce qui doit le prouver sans réplique, c'est que, si la gravité était variable, la même formule aurait encore lieu, puisque dans les deux mouvements direct et rétrograde le corps est censé descendre verticalement de la même ligne y. Ainsi, dans ce cas, on devrait aussi avoir une solution exacte parla substitution dey,y',y" à la place de Q, — R, — S,

ce qui n'est pas, comme on le voit par la valeur de - que nous avons trouvée pour ce cas dans le numéro précédent.

20. Pour découvrir la source de l'erreur, nous allons réduire la solution de Newton en analyse. En nommant a la vitesse dans un point de la courbe, wO est l'espace que le mobile parcourrait dans la tangente pendant le temps 6, sans la gravité et la résistance. Nommant g la force

absolue de la gravité et /• celle de la résistance, - — et — seront les

espaces parcourus en vertu de ces forces, regardées comme constantes pendant le temps 0, supposé très-petit. Ainsi le corps aura parcouru,

rOsuivant la tangente, l'espace «0 — , et, suivant l'ordonnée verticale j, l'espace '^^^ — 5 lequel représente la flècbe qui répond à la tangente u^ Supposons maintenant, comme Newton, que le mobile