TROISIÈME PARTIE. - CHAPITRE IV. :U)i

rebrousse chemin avec la même vitesse u et sur la même tangente; clans le temps T, il décrirait l'espace «Th- -7-. parce que la résistance

doit être prise en sens contraire; c'est l'espace pris négativement (jui

. "T^ répond au temps 0=: — T, et la ilèclie correspondante serait '^^^^ — ? et, si

l'on veut que les deux espaces décrits de part et d'autre soient égaux, comme Newton le suppose, on aura l'équation

uB =zul -\ 5

d'oîi l'on tire, aux 0' près.

Substituant cette valeur dans la flèche ^ — 1 elle devient ^ — ; et

la ditTérence des deux flèches sera — — -, c'est la quantité que nous

avons nommée ci-dessus ^. D'un autre côté, il est clair qu'on a, suivant les dénominations employées ci-dessus,

donc

/• p ôa

de là, en faisant a = o y i + Q-, et prenant Ro'- + St)% Ro^ — So'' pour les deux flèches, ce qui donne y = Ro-, 55 = 2S0', on a

p Sy/l + Q^

comme Newton l'a trouvé par sa construction.

21, Maintenant il est aisé de voir que ce résultat vient des équa- IX. 47

tions

u9~ — =ro v'i-+-Q^ -?/T- — =-ov/i + Q-,

OU bien simplement de celles-ci,

Il 9- — r=o vi + Q-, ^— =Ro2+So', 2 2

en prenant 0 et o positivement et négativement, ce qui revient à vérifier ces équations indépendamment de la valeur de o, qui en efTet doit demeurer indéterminée, étant supposée très-petite.

La première équation donne, aux termes du troisième ordre près, 0 et o étant du premier,

Cette valeur étant substituée dans la seconde, on a, au quatrième ordre près,

?li :±J. 1- o J ::^-t — Ro= -f- So',

et la comparaison des termes bomogènes en o donne

De la première on tire u- — ^^ ., - > et, cette valeur étant substituée t^ 2K

dans la seconde, on a le résultat de Newton :

r Sy/i+Q-'

Mais nous devons remarqiu^r que ce dernier résultat, étant tiré de la comparaison des termes affectés de o^ dans la transformée de l'équation

&-— =Ro2) SqS^ ne saurait être exact, parce que le premier membre de cette équation, qui est l'expression de la flècbe en temps, n'est lui-

même exact qu'aux 6^ près, de sorte qu'à la rigueur il n'y a d'exact

que le résultat R= ^ — ^^—5 tiré de la comparaison des termes du se-

cond ordre. Pour avoir de cette manière la valeur exacte de -5 en la

déduisant des termes afiectés de o'', il faudrait que l'expression de hi flèche en 0 fût elle-même exacte jusqu'aux G'; mais, le terme qui de-

vrait suivre ^^ — n'étant pas donné immédiatement par les principes

de la Mécanique, on ne peut le trouver que par la loi de la dérivation, de la manière suivante.

22. Puisque, suivant l'hypothèse de Newton (n° 19), x- croissant

de o, y croît de Qo — Ro'^ — So'' — . . ., et que o\/i-hQ^ = u^ el

Ro' -hSo^ ^=- — (numéro précédent), 6 étant l'accroissement du

temps /, correspondant à l'accroissement o de l'abscisse x, il s'ensuit que, / devenant / -1-6, x devient

v/i + Q'-' VI +Q' ^ et y devient

Ou , / Qr \ 6^

Or, en rapportant à / les fonctions dérivées x', x" , . . . , j', j", .... lorsque t devient / -f-0, x et j deviennent en général

lonc, comparant avec les formules précédentes, on a

D'un autre côté, puisque x et r deviennent en même temps a-f- o cl

y -i-- Qo — Ro'- — So^ — . . . , on aura aussi

rj-i rp K)o — Ro- — So-' — . . . —y 9 -t- /" H/'" — 7 H

Donc, comme la flèche est exprimée en général par Ro" -+- So^ -h . . . , son expression en 6 sera

ou

{Q^'~r']Q + [Q^^"~r")~-^[Qx"'-y"]-^^+...>

Les deux premiers termes se réduisent à ^^ — par la substitution des

valeurs de oc', x", y',y"; pour avoir le terme suivant, il n'y aura qu'à chercher les valeurs de x'" , y" d'après celles de x" , y" . Or on a

d'où l'on tire

j'" = Qx"'+Q'jc", donc Qx"'-/"=-Q'a:".

Pour avoir Q', je prends l'équation

r' = Qx',

qui résulte des valeurs o^' et / trouvées ci-dessus, d'où l'on tire

f=Qx"+q'x'; donc

Q'=:'-^: ^^— =:— ^, donc Ç^X'" —y"' = £r—- ——^--^

Il résulte de là que l'expression de la flèche, au lieu d'être simple-

m en

. iiO-^ g6^ i^rO-' ... ,. , ,,,

t '-^5 sera ^^ ^. — ■• Ainsi, au lieu de 1 équation

sO-

on aura celle-ci,

'—. — = Ro- -f- bo^,

1 bu

qui est exacte jusqu'aux quantités du troisième ordre. En y substituant la valeur de 9 du numéro précédent, qui est exacte jusqu'aux quantités du second ordre, on aura, au quatrième ordre près,

- , ei\-hO'-\o- Ro2+So^='=-^ ^^

gr[^ + Q-)- fi'