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savoir,

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d'où l'on tire, par la comparaison des termes.

Substituant dans la seconde équation la valeur de ir tirée de la première, et qui est la même qu'on avait trouvée plus haut, on en déduira

C'est la valeur que Newton a donnée ensuite dans la seconde édition de ses Principes (liv. II,prob. III), et l'on voit qu'en mettant dans

cette valeur/', —^-5 — -^ à la place de Q, R, S, comme dans le n° 19, elle devient

telle que nous l'avons trouvée dans le n° 17.

23. Si l'on voulait suivre la première marche de Newton, mais en prenant pour la flèche qui répond au temps très-petit 6 l'expression

plus exacte ^ ^ — que nous venons de trouver, on aurait, pour la

flèche qui répond au temps — T, ^ +^^; substituant pour T sa

valeur en 0, 0 — —, elle deviendrait ^ §^, et la difl'érence des

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deux flèches serait alors -|^' qu'il faudrait prendre pour (5; les valeurs de Y et p seraient également, aux 9^ près, —, —, et l'on aurait, |)ar la substitution,

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Prenant maintenant, comme Newton, on aurait le résultat exact

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/( Comme Newton n'est parvenu à ce second résultat qu'en suivant j une marche analogue à celle du Calcul difl'érentiel et en considérant j deux tangentes successives ou deux côtés successifs de la courbe, au j / lieu que, dans la première solution, il n'avait considéré qu'une seule / ; tangente prolongée de part et d'autre du point de contact, nous avons cru devoir montrer comment, sans s'écarter de l'esprit de cette solution, mais en la rectifiant par la méthode des séries, on pouvait aussi arriver à un résultat exact. En effet, on peut toujours trouver, par cette méthode, les premiers termes de l'ordonnée en série d'une courbe, ou en général du développement d'une fonction, les(iuels satisfassent aux conditions mécaniques ou géométriques du problème proposé, et la loi de ces termes donnera l'équation du problème. C'est en quoi consiste la méthode qu'on peut appeler, d'après Newton, méthode des séries, pour la distinguer de la méthode des dilTérences ou des