TROISIÈME PARTIE.- CUAPITRE IV

fonctions dérivées, par laquelle on arrive directement à cette équation sans le circuit des séries et sans employer d'autres termes que ceux qui doivent y entrer, comme on le voit par l'analyse du u° 18.

24. Il est à remarquer, au reste, que la construction employée par Newton dans sa seconde solution mène à une formule semblable à

celle de la première, que nous avons représentée par - = —-, et (luc

nous avons vue n'être pas exacte, mais avec cette diflerence que la quantité S, au lieu d'exprimer, comme dans la première solution, la différence des flèches qui répondent à des portions égales de la même tangente, prises de part et d'autre du point de contact, et dont les parties correspondantes de l'axe des x sont o et — o, doit exprimer, au contraire, la différence des flèches de deux tangentes consécutives, prises du même côté et répondantes à des parties de l'axe égales à o. Pour avoir ces flèches. Newton représente l'ordonnée qui répond à l'abscisse x + o par la série

P-4-Qo + Ro2+So^ + ..

mais il les détermine par la méthode différentielle, en prenant la différence d'une ordonnée intermédiaire et de la demi-somme des deux ordonnées adjacentes. Ainsi, en considérant les trois ordonnées qui ré^^ pondent aux abscisses x—o, x, x-\-o, il a la flèche Ro-, et les ordonnées qui répondent aux abscisses x, x-^o, x-}-9.o donnent la flèche Ro- -h 3So% et la différence des deux flèches est 3So\ Cette valeur étant prise pour ^, et faisant, comme dans la première solution (n" 19), oL^oyJi-r-Q:\y = Ro-, OU a

p SSy/l + Q^

expression exacte, comme on l'a vu plus haut.

Suivant nos dénominations, lorsque x devien t x -ho, y devient

r + or -^ — '■ 1 '-,- H

La partie do la tangente qui répond à o est o\ i + r'-; c'est la valeur

do a. La partie interceptée enli'e la tangente et la courbe, ou la flèche,

o-v'' o^ y"' est — ■■ i V H ; c'est la valeur de y. Ainsi l'on a, dans les deux

solutions,

A l'égard de ^, dans la première solution, c'est la différence des flèches (jui répondent à o et à — o, laquelle est —r-'i mais, dans la seconde solution, c'est la difl"érence des flèches qui répondent à x et ào-H-o. ()r, ,r devenant x + o,y" devient r"H-ov"'-l-. . . ; donc, négligeant les o',

la seconde flèche sera — ■■ h - — v et la difl^érence des flèches sera

— ^— • Substituant dans -y—, = ^ , .;. la première valeur de o = -f- ■> 4-/- o'/- ' 3

ou la seconde — ■■ — > on a les deux résultats

dont le premier est fautif et le second exact (n" 19]