CHAPITRE y

1)1 MOUVEMENT D UN CORPS SUR UNE SURFACE DONNEE OU ASSUJETTI A DE CERTAINES CONDITIONS. DU MOUVEMENT DE PLUSIEURS COUPS LIÉS ENTRE EUX. DES ÉQUATIONS DE CONDITION ENTRE LES COORDONNÉES DE CES DIFFÉRENTS CORPS, ET DE LA MANIÈRE d'en DÉDUIRE LES FORCES QUI RÉSULTENT DE LEUR ACTION MUTUELLE. DÉMONSTRATION GÉNÉRALE DU PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES.

25. Reprenons les formules générales du n° 15, et supposons que l;i force P soit dirigée vers un point ou centre déterminé par les coordonnées a, h, c; si l'on nomme yo la distance rectiligne de ce centre au point de la courbe qui répond aux coordonnées x, r, :;, on aura

el il est visible que a: — a, y — b, z — c seront les projections de l;i

liiîue /; sur les axes des x, r, z; donc ■> ■ > seront les

cosmus des angles que la ligne /> fait avec ces axes, c'est-à-dire des angles 1, a, v que la direction de la force P fait avec les mêmes axes. Donc les termes P cos7., P cos;x, P cosv, dus à la force P dans les valeurs

de Mr", Mj", Ms", pourront être représentés par P' -, P >

P^^ ■ : ce sont les forces qui résultent de la décomposition de la

force P suivant les directions des coordonnées a-, y, z.

Si maintenant on suppose /j égale à une constante d, on aura l'équation d'une splière dont r/sera le rayon et dont le centre sera déterminé iX. " 48

par lès coordonnées a, h, c, et !a direction de la force P sera perpendiculaire à la surface de cette sphère. Donc elle sera aussi perpendiculaire à toute autre surface qui passerait par le même point et qui serait tangente à la sphère.

Représentons par/(,r, r, z) = o l'équation de la sphère

y'(ji- — «)--+- [x — by--h[z — c)- — d= o;

on aura, en prenant les fonctions primes,

et, comme on a supposé /> = r/, il est clair que les forces dirigées suivant a-, y, z et résultantes de la force P seront exprimées par P/'(.r), P/tv), P/'(^).

2G. Si l'on a une surface représentée par l'équation

laquelle soit tangente de la sphère' dont il s'agit, il faudra, par ce qu'on a vu dans le n" 40 de la deuxième Partie, que les trois fonctions primes Y'{x), F'(j'), F'(:;) de cette surface soient proportionnelles aux fonctions primes/'(^),/'(j),/'(s) de la surface de la sphère. Donc, si la force P agit perpendiculairement à cette surface, il en résultera, suivant les directions àc x, y, z, trois forces proportionnelles à PF'(jr), PF'(7),

Or, si l'on fait abstraction de la force P, et qu'on suppose que le corps soit forcé de se mouvoir sur cette surface, il est clair que l'action, ou plutôt la résistance que la surface oppose au corps, ne peut agir que dans une direction perpendiculaire à la surface; donc il en résultera, sur le corps, des forces proportionnelles aux fonctions primes f'{^), F'(r), F'(s) de l'équation F(.r, v, s) = o de la surface.

Donc le même résultat aura lieu aussi si, en faisant abstraction de la surface, on considère seulement l'équation ¥{jr,y, s) = o comme une équation de condition donnée par la nature de la question méca-

nique proposée, d'où l'on peut eonelure que toute condition du prohlènie représentée par l'équation F(.z-, v, s) = o sera équivalente à des forces proportionnelles aux fonctions primes F'(^), F'( v), F'(c) et dirigées suivant les coordonnées -i',}', z. Ainsi, en prenant un coelïicient indéterminé II, il faudra ajouter aux valeurs de M.r", My", Mr.' des équations du n" 15 les termes IlF'(a7), nF'(j), nF'(z). La quantité inconnue II devra être éliminée, mais l'équation qu'on aura de moins par cette élimination sera remplacée par l'équation de condition F(.r, V, z) = o.

On peut étendre cette conclusion au cas où il y aurait deux équations de condition représentées par

¥{x,y,z)=zo el (^[x, y, z] =z n; elles équivaudraient à des forces exprimées par

llF'{x)-^-^'^'{x), nF'ir) + Y(p'[x], nF'[z) + Y<V{z)

et dirigées suivant a-, y, z, qu'il faudrait ajouter aux valeurs de M^", My, Mz" (n° 15), les coefficients n et W étant indéterminés et devani être éliminés.

27. Jusqu'ici nous n'avons considéré qu'un corps isolé. Soient maintenant deux corps M et N attachés aux extrémités d'un fil inextensible qui passe sur une poulie fixe. Soient oc, y, z les coordonnées du corps M ; ç, r,, 'Ç celles du corps N; a, h, c les coordonnées du point fixe où est placée la poulie, et d la longueur donnée du fil; il est clair qu'on aura l'équation

v'(jr-«)^+ ^J- bf-+[z - cj^-T- v'U - «j-+ l-/i - ^j--+- t? - c)-' -d=zo,

que nous représenterons par

Si l'on nomme T la tension du fil qui agit également sur les deux corps, et qu'on applique ici l'analyse du n" 25, il est clair que l'action

(lu fil sur les deux corps produira sur le corps M les forces lf\x), Jf'{y), T/'(g) suivant .r, y, z, et sur le corps N les forces T/'(ç), J/'{r,), T/'ÇÇ) suivant ses coordonnées ;, r, ^.

Il en serait de même si le fil passait sur deux poulies fixes dont la position dans l'espace fût déterminée par les coordonnées a, h, c pour la première, et par a, ^, y pour la seconde. Alors, en désignant par r/ la longueur totale du fil, moins la partie interceptée entre les deux poulies, qui est aussi donnée, l'équation de l'inextensibilité du fil donnerait

et, en représentant cette équation par

/(•=f,r, 2, ^, vî, 0 = <^>

on aurait pareillement J/'{x), T/'(j), T/'(c) pour les forces qui tireraient le corps M suivant les coordonnées Jc,y, z, et T/'(E), T/'(r,), T/'ÇC) pour celles qui tireraient le corps N suivant les coordonnées ';, ■n, L

Enfin, si l'on supposait que le fil auquel est attaché le corps M, après avoir passé sur la première poulie fixe, repassât sur le même corps I\l et de là sur la même poulie, et de nouveau sur le corps et sur la poulie à plusieurs reprises, de manière qu'il y eût m cordons entre le corps et la poulie; qu'ensuite le fil, en quittant cette poulie, passât sur la seconde poulie fixe et de là sur le corps N, en faisant aussi plusieurs tours entre ce corps et la même poulie avant d'être attaché fixement au corps N, de manière qu'il y eût n cordons entre ce corps cl la poulie; comme la tension T est la même dans toute l'étendue du fil, le corps M, étant tiré par m cordons, serait tiré vers la première poulie par une force égale à niï, et le corps N serait tiré vers la seconde poulie par une force égale à /?N. Or il est clair que dans ce cas l'équation qui renferme la condition de l'inextensibilité du fil serait

\l[.x — (if + [T—^y^ + [Z — c]' -\- n\J[l~ a.]- + [-ri — '^)- -^ [Ç —y ]- — d ■■

TROISIEME PAllTIE. - ClIAIMïUE V. 381

(Ml désignant toujours paiv/ la longueur totale du fil, moins la longueur interceptée entre les deux poulies et il est facile de voir (ju'eii représentant cette équation par

on aurait aussi, pour les forces qui tireraient le corps M suivant a", j, :; et le corps N suivante, r, 'C, les mêmes expressions que ci-dessus :

T/'i^). T/'(j), T/'(.), ï/ro, T/'(.). T/ro.

Si l'on suppose que P et Q soient les forces qui tirent les corps M et N vers les deux poulies fixes, on aura V==mT et Q=:nT; donc, puisque m et n doivent être des nombres entiers, si les quantités P et Q sont commensurables, il faudra prendre ï pour leur commune mesure; mais, quelles que soient les forces P et Q, on peut toujours les représenter par /nT et nJ, en prenant, dans le cas où elles seraient incommensurables, les nombres m et n très-grands et la quantité T infiniment petite, et les forces qui tirent les corps M et N suivant leurs coordonnées x, y, z, 'i, r,, 'C seront toujours proportionnelles aux fonctions primes de la même équation de condition relatives à ces coordonnées.