Maintenant, si au lieu de l'équation de condition

dépendante de l'inextensibilité du fil, on a une autre équation quelconque entre les mêmes coordonnées cv, y, z, ;, r, 'C des deux corps,

représentée par

on peut, en regardant les constantes qui entrent dans la première de ces équations comme arbitraires, faire coïncider non-seulement les équations mêmes, mais encore toutes leurs fonctions primes pour des valeurs données des variables r, v, z, ç, r,, 'C; de cette manière, les deux équations deviendront comme tangentes l'une de l'autre, par la théorie des contacts que nous avons donnée dans la deuxième Partie ,

ol, quelle que soit la liaison des deux corps qui est représentée j)ar

l'équation

elle deviendra équivalente à celle d'un fil qui passe par deux poulies. On pourrait croire que, puisque l'équation de condition

pour un fil simple qui passe sur deux poulies fixes, renferme sept constantes arbitraires, elle peut toujours avoir un contact du premier ordre avec une équation quelconque, puisque ce contact ne demande que sept conditions ; mais, en représentant cette équation par

f[x, r, z, "c, -n, Ç) =0 et prenant ses fonctions dérivées, il est visible qu'on a

de sorte qu'on ne pourrait plus satisfaire en général aux conditions du

contact :

f'[l) = ¥[l), /'(•,) = F'( y,), f'{t] = ¥'[K]. Cet inconvénient disparaît en prenant

pour l'équation de condition du fil multiple, à cause des nouveaux coefticients indéterminés m et a?, et l'on peut dire (|ue l'équation de condition donnée

produit sur les corps M et N les mêmes forces que le lil.

On tire de là cette conclusion que, dans un système de deux corps dont la liaison dépend de l'équation

l'(.^',r, -, l, r,, l] =zo,

TROISIÈME PARTIK. - CHAPITRE V. 3815

Iciir action imiluelh* produit sur l'un des corps les forces nF'(x'), llF\y), nF'(:;) suivant les trois coordonnées rectangles a-, y, z, et sur l'autre corps les forces IlF'(ç), nF'(r,), nF'(C) suivant les coordonnées rectangles ;, r, C. II étant un coefficient indéterminé.

29. Si le système était composé de trois corps ayant pour coordonnées rectangles or, y, z, ç, •/;, 'C, x, y, z, on trouverait, par un pareil raisonnement, que toute équation entre ces coordonnées dépendante de la liaison des corps et représ-întéc par

F{x,j; z,l, -fi/Ç, \, y, y-) = o

donnerait pour le premier corps les forces Il¥'{oc), ïlY'{y), E¥'{z) suivant j:, y, :;. pour le second corps les forces n F'(E ), nF'(-/;), n F'(r) suivant c, v;, 'C, et pour le troisième les forces nF'(x), UF'(y), IlF'(z) suivant x, y, z, et ainsi de suite si le système était composé d'un plus grand nombre de corps. En effet, quel que soit le nombre des corps et quelle que soit leur liaison, elle ne peut produire sur chaque corps qu'une force déterminée suivant une certaine direction; or toutes ces forces peuvent être aussi produites par la tension d'un même fil qui passerait successivement et à plusieurs reprises sur les mêmes corps et sur des poulies fixes.

Enfin, s'il y avait entre les mêmes coordonnées une seconde équation de condition représentée par

il en résulterait d'autres forces exprimées par W'^\x), W<^\y), W^\z) pour le premier corps, par W^'[Vj, T$'(rj), W$'("C) pour le second corps et par W <P'(x), W <P'(y)» '^^~^^'['^) pour le troisième, et suivant les directions des mêmes coordonnées, le coefficient W étant indéterminé comme le coefficient II; et ainsi de suite s'il y avait un plus grand nombie d'équations de condition.

30. On doit conclure de là, en général, que les forces qui peuvent résulter de l'action mutuelle des corps d'un système donné se déduisent

directement des équations de condition qui doivent avoir lieu entre les coordonnées des différents corps du système, en prenant les fonctions primes des fonctions qui sont nulles en vertu de ces équations. Les fonctions primes de la même fonction, prises })ar rapport aux différentes coordonnées, sont toujours proportionnelles aux forces qui agissent suivant ces coordonnées, et qui dépendent de la conditioti exprimée par cette fonction.

•l'étais déjà arrivé à un résultat semblable dans la Mécanique analytique, en partant du principe général des vitesses virtuelles, et, en effet, ce principe est renfermé dans le résultat que nous venons de trouver; car il est évident que, si plusieurs forces appliquées à un système de corps sont en équilibre, elles doivent être égales et directement opposées à celles qui résultent de leur action mutuelle.

Soient X, Y, Z les forces appliquées à l'un des corps suivant les directions des coordonnées oc, y, z prolongées, S, T, 1 les forces appliquées à un autre corps suivant le prolongement de ses coordonnées ç, ■r, 'C, et X, Y, Z les forces appliquées à un troisième corps suivant le prolongement de ses coordonnées x, y, z; on aura, par ce qu'on vient de démontrer,

X=ÏLY[x]+^Y^'[x], r:=n¥[y)-\-^^'[r], Z= H F'(z) + Til)'(z),

E = nF'(^)-^¥$'(^), Y:=nF'(-/2) + ¥<i)'(-/j), 2^nF'(i;)-h^F<ï>'(ç),

X = nF'(x) + ^(ï)'(x), Y^nF'(y) + ¥$'(y), Z = nF'(z) -f H'$'(z], et de là on tirera immédiatement

Xx'+ r/+Z2'+Eï'+T-/)'+2!;'-^Xx'+ Yy'+Z// r=IIF(.r, y, z, t, •/!,;;, \, y, z)'+ ¥<I)(.r, j% z, H,-/î,Ç, \, y, z)'.

Le second membre de cette équation est évidemment nul, en vertu des équations de condition, puisque les quantités indéterminées II, W se trouvent multipliées par les fonctions primes de ces équations; donc on aura

Xx'-^ Yy'-\- Zz'+ Z^'+ r-/)'+ i!:'+ Xx'-f- Yy'-(- Zz':-^ o,

é(|uation générale dti [)rincipe des vitesses virtuelles pour ré(|uilibre