L.Vl'LACE

P. -S. Oserais-je vous prier de faire mille compliments de ma part à M. Bitaubé, et de lui dire que je suis bien fâché qu'il ne soit pas à Pai'is pour y entendre Viphigénie en Tauridc, nouvel opéra de ^I. Piccini ('). C'est sans contredit un des plus beaux ouvrages qui existent en Musique, et peut-être n'en est-il aucun, même en Italie, qui puisse lui être comparé pour l'ensemble.

Comme il me reste encore un peu de place, je vais joindre ici le calcul de la valeur précédente de S; pour cela, je reprends l'équation

ô=r 9"R'sin(a - A') — ((5'+ 5")R"sin(a - A") + 0'R"'sin(a - A'"),

que vous trouvez dans l'article 11 de votre second Mémoire, page i38, et j'observe que, si l'on prend pour axe des abscisses la droite qui forme l'angle a avec la ligne des équinoxes, et que l'on nomme y , y", y'" les ordonnées de la Terre correspondantes aux longitudes A', A" et A"', on aura

7'=R'sin(a — A'), /"= IV'sin(a — A"), /"= R"'sin(a - A'"),

ce qui donne

Or, en regardant j', y Qiy'" comme fonctions du temps 0, on aura, en (') Ccl opéra fut rcprcsenlé le ^S janvier 1781.

lU'gligeanl les |)uissan('('s supériouros au carré,

ai 2 a9-

Kn substituant ces valeurs dans l'expression de o, on aura

. rj'B"(0'-h6") d-y" ° ~ 2 dB''

mais la tliéorie des forces centrales donne

d^y" l'y" -Jqt — ^ •

On a donc

(}'(5"(ô'+&"),, . , ,„, 0= ^Ir^ ^' sin(a-A ).

Berlin, i:> mai 1781.

Monsieur et très illustre Confrère,

.l'ai reçu votre Mémoire sur les Probabilités, ainsi (jue la Lettre dans laquelle vous avez la bonté de me rendre compte de vos recherches sur le problème des comètes. Je vous remercie de tout mon cœur de l'un et de l'autre. Votre Ouvrage sur les Probabilités a le double mérite de la nouveauté de la matière et de la sublimité de l'analyse; et ces deux raisons m'ont empêché jusqu'à présent de le lire avec toute l'attention nécessaire pour apprécier les découvertes qu'il contient. Ayant presque toujours été occupé de matières différentes dont je ne voulais, ni ne pouvais me distraire, je n'ai pu encore que flairer ces découvertes, et je remets à une autre fois à vous en parler en détail. .le ne vous entre-

tiendrai aujourd'hui que du problème des comètes. Je n'ai pas eu de peine à comprendre la nature de votre solution, et j'en ai d'abord senti la simplicité et l'élégance; j'ai senti également la justesse de vos remarques sur l'abaissement de l'équation en p au septième degré, quelle que soit l'excentricité du Soleil, et sur l'existence d'une seconde équation en p du sixième degré dans l'hypothèse de l'orbite parabolique; c'est un défaut de mon Analyse de ne m'avoir pas conduil direc- (cnient à ces vérités, d'autant qu'elles peuvent se démontrer aussi a priori. Je conçois ({ue votre méthode fournit, analytiquement parlant, la solulion la plus simple du })roblème dont il s'agit; mais je crains qu'elle ne soit pas aussi utile dans la pratique qu'elle est belle dans la théorie, à cause de la difficulté de déterminer, a posteiiori, les différences premières et secondes des longitudes et des latitudes géocentriques. J'ai donné, dans mes Épliémérides allemandes de 1783, une méthode qui n'emploie que les différences premières, et par laquelle on trouve directement, moyennant la résolution d'une équation du septième degré, la position du plan de l'orbite et ensuite les autres éléments, en connaissant trois lieux géocentriques quelconques de la comète avec ses trois vitesses dans ces mêmes lieux, sans connaître d'ailleurs le temps de ces observations, qu'on peut considérer aussi (listantes entre elles que l'on veut; mais cette méthode, ayant été appliquée à la comète de 1774» n'a donné que des résultats peu exacts, comme on le voit dans les mêmes Epliémérides. La lecture de votre Lettre m'ayant fait revenir sur ma première solution, j'ai trouvé qu'elle pouvait être beaucoup simplifiée et généralisée, et j'ai composé là-dessus un nouveau Mémoire que je viens de lire à Tx^cadémie ('), et dont je me fais un devoir de vous rendre compte à mon tour; c'est ce qui a retardé jusqu'ici ma réponse.

En partant des équations différentielles

d-.x S j? cl- Y S V d"^ z S 5

(•) T^oir la prcsciile édition, l. V, p. 38.>..

I)K LVC. nVNGE AVEC LVPLACE. 100

et oniployan( le lliéon'iiu' coiimi, sur les l'onctions doiil on suppose que la variahlc augnicntc d'uuo (|uanlilé assez petite, je trouve (jue les variables .r, y, z, qui répondeul au leuips /, (levieuueul après le (eni|)s / H- 0 de la forme

(/.r dy dz

p-^i^t' py^'^irr ^^-"-^^77'

p el q étant des louctious eu séries de 0 et ayant pour coeftleients des quantités composées de r, '— et "' ,'^J , qu'on doit regarder comme constantes par rapport ii 0. Je trouve une fonction semblable pour la valeur de r^ après le temps / + 0; je fais, d'après ces expressions des coordonnées et du ravou vecteur, un calcul analogue à celui des articlés 6 et 7 de mon second Mémoire, et je parviens à trois équations

finales en séries qui ne contiennent que les trois inconnues r, -r- et d(rdr) , , , . . . , ^ i p i

■ ; en ne poussant la précision que jusquaux termes de 1 ordre

de 0', l'une de ces équations ne renferme que l'inconnue r et monte au huitième degré, et les deux autres contiennent de plus les deux incon-

dr ^ d(rdr) . ,. , . , , . . i i •

nues -j- et , , --. mais linéaires; en poussant la précision plus loin,

ces équations deviennent de plus en plus compliquées, mais la résolution approchée n'en devient pas plus difficile. Ces équations ont lieu, en général, quel que soit le mouvement de la Terre qu'on suppose connu; mais, comme la Terre est mue autour du Soleil par la même force qui y fait mouvoir les comètes, il est visible que la comète peut aussi décrire le même orbite que la Terre, et coïncider même avec la Terre, auquel cas la direction des rayons visuels, qui est le seul élément <|ui soit donné par les observations, demeure indéterminée et arbitraire; donc la solution générale doit aussi renfermer ce cas; par consé(|uent l'équation en r doit avoir \\, rayon vecteur de la Terre, pour une di^ ses racines, et l'équation en s doit avoir la racine p = o; moyennant quoi, ces équations peuvent s'abaisser d'un degré. (>ela suit aussi de l'analyse même, si l'on y exprime les coordonnées du Soleil par des formules semblables à celle de la comète. Pour rendre mon analyse plus générale, j'ai représenté les coordonnées de la comète autour do

la Terre par ap, {3p ot y?» <'t celles du Soleil autour de la Terre par AR, BR et CR, les quantités a, [3, y étant données par le lieu apparent de la comète et A, B, C par celui du Soleil; et j'ai trouvé que les fonctions de ces six quantités contenues dans les équations finales peuvent s'exprimer assez simplement par les côtés et les angles des différents triangles formés sur la sphère par les trois lieux apparents de la comète, et par les trois lieux correspondants du Soleil, de sorte que ces équations, et par conséquent aussi les trois inconnues r, -^, J' s sont indépendantes du plan de projection et ne dépendent que de la position respective des lieux apparents de la comète et du Soleil. Ces lieux étant marqués sur le globe céleste, on peut trouver les valeurs des fonctions dont il s'agit mécaniquement et avec une exactitude suffisante du moins pour une première approximation. A l'égard des trois inconnues, elles servent h déterminer : i" le grand axe ia par l'équation

I I d{rdr) â~ r dt^ '

2" le paramètre h, par l'équation

a dr- '

3" l'angle y du rayon, avec le périhélie, par l'équation

Pour que l'orbite soit parabolique, il faut que l'on ait

a = oc;

on a alors

d{rdr) __ i

ce qui donne une seconde équation en r\ en effet, on sait que, dans ce cas, le problème est plus que déterminé par (rois observations complètes.

Voilà le précis de ma nouvelle méthode, que je dois en grande partie à vos remarques. Je vous prie d'en faire part à M. du Séjour et de le remercier pour moi de la bonté qu'il a eue de s'occuper de mes re-

cherches; j'attends les siennes avec nne impatience égale au plaisir (jue m'a toujours fait la lecture de ses Ouvrages.

Vous recevrez par 31. de la Lande un paquet contenant mes Mémoires pour le Volume de 1779. L'un traite des intégrales particulières, et les deux autres de la construction des cartes géographiques; ceux-ci ne sont presque qu'un exercice d'Analyse et de Géométrie. Je n'ai pu avoir à temps la planche qui y appartient : je vous l'enverrai par une autre occasion. Votre paquet devait être accompagné d'un pour M. de Condorcet et d'un autre pour M. d'Alembert, mais M. BernouUi, à (|ui j'avais remis le tout pour l'adresser à M. de la Lande, m'a dit depuis (|ue, n'ayant pu joindre ces deux derniers paquets au premier, il avait pris le parti d'en faire un paquet séparé et de l'adresser directement à y], de Condorcet. Je vous prie de vouloir bien en prévenir ce dernier ou M. d'Alembert, à qui j'ai écrit depuis peu, mais avant l'envoi du paquet.

Avez la bonté de me dire si le marquis de Caraccioli est parti, et si l'on a nouvelle de son installation en Sicile.

Mes recherches sur la libration de la Lune paraîtront dans le Volume de 1780, qu'on mettra sous presse à la Saint-Michel. Je m'occupe maintenant de la rotation de la Terre; les matériaux sont prêts, et il ne me reste qu'à les mettre en œuvre. Adieu, mon cher et illustre Confrère; vous savez tous les sentiments par lesquels je vous suis attaché, et je

compte sur les vôtres.

Votre très humble et très obéissant serviteur,

De la Grange.

LAPLACE A LAG RANGE

Pariri, 14 février 1782.

Monsieur et très illustre Confrère,

N'oici le premier exemplaire d'un .Mémoire que je viens de faire imprimer dans notre Volume de 1779 (')• Si vous daignez y jeter les yeux

(■) Mémoire sur les Suites, p. 207.

(linis vos momenls de loisir, vous m'obligerez de m'écrire ce que vous en pensez.

J'ai lu avec la plus grande satisfaction les trois Mémoires que vous m'aviez envoyés; l'extension que vous donnez à votre belle théorie des intégrales particulières, et les applications que vous en faites à la Géométrie, soit relativement aux contacts des courbes, soit pour Irouveides surfaces composées de lignes d'une nature donnée, m'ont singulièrement intéressé. Je ne sais cependant si les problèmes puremeiil analytiques de cette théorie, tels que la recherche des intégrales particulières des équations différentielles, ou celle des équations diflerentielles qui ont une intégrale particulière donnée, ne sont pas résolubles d'une manière un peu plus simple par la méthode que j'ai donnée. J'ai fait sur cela quelques réflexions qui pourront me fournir la matière d'un petit Mémoire, et que j'aurai l'honneur de vous communiquer si je trouve, en les approfondissant, qu'elles en valent la peine. Vos deux Mémoires sur la construction des cartes géographiques ne m'ont j)as fait moins de plaisir. J'ai surtout admiré la manière élégante dont vous tirez de la solution générale du problème le cas où le méridien et les parallèles sont représentés par des cercles. Votre analyse a d'ailleurs le mérite d'être utile dans la pratique pour la construction des cartes particulières, et j'ai engagé un de mes amis, qui vient d'annoncer un grand atlas, à en faire usage.

J'ai reçu, dans son temps, l'extrait que vous avez eu la bonté de m'envoyer de votre troisième Mémoire sur les comètes; je suis très llalté que mes remarques aient pu y donner lieu; je ne le suis pas moins de voir que vous confirmez mes résultats sur l'abaissement de l'équation du huitième degré et sur l'existence d'une seconde é(}ualion du sixième degré. Mon Mémoire sur cet objet paraîtra dans noire Volume de 1780 ('); et j'ose croire, d'après les aj)j)li('ations que vous y trouver(v. de ma méthode, qu'elle ne vous paraîtra })as moins exacte (ju'aiicune autre; car, quoi(iu'elle soit fondée sur la considération des difl'érences infiniment i)eli(es, premières et secondes, de la longilude

(') 31énio(rc sur la dctermiiuiliitn des orbites des comètes, p. r5, aniico 1780.

DE LAG RANGE AVEC LA PLACE. \i:\

et (le la latiludc liroconlriquos de la coiuMc; ('('pendant, comino on a dt's l'orniules très simples pour avoir les dillércnces infiniment petites en fonetion des ditlérenees finies, il m'a paru que l'avantage qn'(dle avait de pouvoir employer un grand nombre d'observations voisines la rendait piéterable, à quelques égards, aux métbodes connues. Je l'ai appli([uée à quelques comètes, et entre autres à l'astre découvert j)ar .M. Herscbel en Angleterre ('), el j'ai trouvé deux paraboles (|ui salisl'aisaient aux i)remières observations, mais que j'ai été forcé d'abandonner (lei)uis; et maintenant il me j)arait exlrènicmenl probable (|ue cet astre se meut dans une orbite presque circulaire, et (jue c'est une j)etite planète, placée au delà de Saturne, et dont la moyenne distance au Soleil est environ dix-neuf fois plus grande que celle de la Terre.

Je vous écris dans l'incertitude si ma lettre vous trouvera à Berlin; (juelqu'un m'a dit (jue vous êtes sollicité par la cour de Naples [)()ur venir présider l'Académie de cette capitale; en tout cas, j'espère qu'en allant en Italie vous passerez par Paris; je vous prie de ne pas douter de tout le plaisir que j'aurais à vous y voir, ainsi que des senliincnts profonds d'estime et d'amitié que vous me connaissez, et avec lesqu(ds je serai toute la vie, ^Monsieur et très cber Confrère,

Votre très humble et très obéissant serviteui-,

Lapi.ack.

P. S. ]\D1. iJézout el du Séjour m'ont prié de les rappeler à votre souvenir; ce dernier se propose de vous envoyer quelques-uns de ses .Mémoires et, cnlre autres, celui qu'il vient de faire imprimer sur les comètes (-).

(') Ce fui le j3 mars 1781 que \\'. llerscliel (Jccou\ril ce qu'il crul d'abord ôtre une comète. Mais, d'après une observation d'un membre de l'Acadcmie des Sciences, le président deSaron. Laplace et A. Lcxell arrivèrent à démontrer que cet astre nouveau était une |)lanète, à laquelle on finit par donner le nom d'Uranus. Foir dans les Jeta de l'Académie de Pétersbourg, année 1780, p. 3o3, un Mémoire de Lexeli inlilulé : Ixcclierclu-s- sur ta non- '.•elle planète découverte par M. Herschel.

C ' ) T'oir son Quatorzième Mémoire dans lequel on applique l'Analjse à la déterminai ion des orbites des comètes {^Mémoires de V A endémie, p. ji. année 1779)-