dy. d- y. d'^ y. r^ dO

on déterminera les valeurs d(> a, ^, -r-^j -r--; •••, 0, -.-, ••• par la

dt dt- dt' dt ^

comparaison de plusieurs observations; mais, comme dans la solution du problème on n'a besoin que de connaiire a, 0 et leuis premières et secondes différences, il suffira, à proprement parler, de trois observations, tant en longitude qu'en latitude; mais, si l'on en a un plus

, , , , , . . , dy. d-y. (. d'i

irrand inuiibre, on aura les valeurs de six ((nantîtes, a, -j-, -7-^> 'J, -r

d- 'j et -j- (rniic manière d'autani plus exacte (jue les observations seront

en plus grand nondjic et faites avec plus de soin; c'est là, si je ne me trompe, un grand avantage de cette métliode, [)uis(jne, en faisant ainsi

concourir il la solution du problème un grand nombre d'observations voisines, on doit arriver à des résultats beaucoup plus précis. Je donne des formules très simples pour déterminer les six quantités précédentes par la comparaison d'un nombre quelconque d'observations, et il en résulte que, si l'on prend trois observations faites à des intervalles de temps égaux, et que a et ô soient la longitude et la latitude moyennes,

II , f/a d- a f. (10 , d'O . ^ , , ,

(jn aura les valeurs de a, -t-> -j-,', ij, -j- et -r^ > aux ciuantites près du

dl dl- dt dt'- 1 *

second ordre, l'intervalle qui sépare les observations étant considéré comme une (juantité très petite du premier ordre; d'où il suit qu'il y a de l'avantage à clioisir trois observations équidistantes.

Vous êtes arrivé à ce même résultat, page i jG de votre second JVIénioire, mais par un calcul beaucoup plus composé, parce que, comme vous ne faites tomber les approximations que sur les résultats de l'analyse, vous n'avez dû le trouver qu'après la solution complète du problème. Les observations ne donnent immédiatement que l'ascension droite et la déclinaison de la comète, et leur réduction en longitude et en latitude demande des calculs pénibles par leur longueur, lorsque l'on considère un grand nombre d'observations. Pour obvier ii cet inconvénient, au lieu d'opérer comme ci-dessus sur la longitude et sur la latitude, j'opère immédiatement sur l'ascension droite et sur la déclinaison, et en nommant h et r l'ascension droite et la déclinaison correspondantes à la longitude a, je représente cette ascension droite et cette déi linaison, après le temps /, par les dcuix séries

db dt

dH> di'

^dv dt

dU' df'

, 1 , . . ■ J db d^ b dv d- c i • i

Je détermine ensuite h, -j, -j-j-, e, -.-■> -rj^ par la comparaison des

dt df ' dt dl^

dy. d'à. ^ dO ., (P^ dl'

observations, cl j'en conclus les valeurs de a, --r-, -7-7) 0, -7- et -77^ au

•' dt dt' dl dl'

moyen des lorinulcs (|ui donnent la longitude e( la latitude, lorsque l'ascension droite et la déclinaison sont connues, et an nioven de leurs

DE LAf.RANGE AVEC LAPLACE. 10:1

premières et secondes dilTérentielles. On ani'a ainsi le procédé le j»lns simple ponr déterminer ces valeurs, que je nomme les données de l'obsenalion. et Ton peut en conclure que, s'il y a de l'incertitude sur la loi lies din'érences secondes des observations, ce sera une manjue qu'elles ne j)euvent faire connaître les éléments de l'orbite. Cela fait, tout le reste de mon analyse est entièrement rigoureux.

En nommant z la distance de la comète à la Terre, correspondante à la longitude a, je détermine par une analyse très simple : i° le rajjpoil

de -y- ^i ?î -" ''i valeur de p; cette valeui' m'est donnée par un(> équation du septième degré, quelle que soit l'excentricité de l'orbite teirestre, au lieu ([ue vous parvenez à une é(|uation du huitième degré. Ayant examiné d'où peut venir cette dillerence, j'ai trouvé ([u'elle tenait à une légère méprise de calcul qui vous est échappée dans la détermination de la quantité § (art. 12 du second Mémoire, p. i3r)). Au lieu de rexpression

0 = ^ R"sni(a — A"),

à laquelle vous parvenez, je trouve, par la théorie des forces centrales,

^"^ ^¥^^ sin(a-A"),

ce (|ui revient à écrire ^jf^ au lieu de m-, moyennant (juoi votre é([ua-

tion pour déterminer la distance de la comète à la Terre s'accorde avec la mienne, et n'est plus que du septième degré. Cette équation est entièrement indépendante de la nature de la section conique (jue décrit la comète, en sorte qu'elle aurait également lieu quand même cette section serait un cercle, une ellipse ou une hyperbole. On déterminera ainsi les éléments de cette section conirine. Pour cela, soient x,y et r les trois coordonnées de la comète ra|)|)ortées au cciide du Soleil, ces coordonnées sont données en fonctions de z et de (juantités connues;

leurs différem-es -y^, -/ et -^ sont données en fonctions de p, -7- et de al lit al ' dl

quantités connues soit par les observations, soit par la théorie du

mouvement de la Terre; la valeur de p est supposée connue par ce qui précède, ainsi (iiie le rapport de -^'^ à p; on connaîtra donc ainsi les valeurs des six quantités ce, y, z-, -^> -^ et ^-^; or le mouvement de la comète est déterminé par trois équations différentielles du second ordre, dont les intégrales renferment par conséquent six constantes arbitraires qui sont les éléments de l'orbite de la comète; de plus, il est visible que ces six constantes sont données en fonctions de oc, y, :■,

-^) ^ et ^; on connaîtra donc par là ces éléments. De ces considéradt dt dt '

lions je tire des formules très simples pour avoir l'inclinaison de l'orbite, la position du n(eud, le paramètre de la section conique, la position de son périhélie, l'instant du passage de la comète par ce point, eiitin le grand axe de son orbite. Si l'on nomme ia ce grand axe, et que l'on prenne la masse de Soleil pour unité de masse, et sa moyenne distance à la Terre pour unité de distance, on aura

I I dx- -\- dy^- + dz"^

2 a Jjc'i^ y'^+ s^ 2 dl^ '

cette formule est celle dont vous avez fait usage dans votre beau Mémo'we Sur r altération des moyens mouvements des planètes. Et, si l'on suppose que la comète se meut dans une parabole, on a

et — z= o, 2a

partant

d.r"- + dy^ -4- dz"-

Kn substituant au lieu de x, r, :;, -7^» -7- et :7^ leurs valeurs en p et en

^ dt dt dt '

(juantités connues, je parviens à une équation fort simple du sixième degré en p, et cette équation est particulièi'e à la parabole; on peut donc en faire usage pour déterminer la distance do la comète à la Terre ; et elle me paraît avoir sur l'équation précédente du septième degré l'avantage d'emprunter beaucoup plus de la théorie et de s'a|>puyer moins sur les observations, ce qui doit la rendic |)liis exaele ii

cause dos onvnirs doiil les observations son! loujoiirs susceptibles, e( de rinfluence de ces erreurs b)rs(jU(» l'on considère des observations voisines. An reste, ces deux équations du sixième et du septième degré ayant lieu à la fois doivent avoir un dividende commun, et, en le cbercluint par les méthodes connues, on parvient à déterminer p par une équation du premier degré, en sorte que le problème de la détermination des orbites paraboliques des comètes s'abaisse au prenii(>r degré. On a, de plus, une équation de condition (Mitre les coefficients connus des deux équations et, par conséquent, entre les observations ellesmêmes; or cette équation est celle qui doit existiM" entre elles pour qu'elles puissent satisfaire à un mouvement paraboli(jue. 3Iais il me parait plus simple et plus sûr, dans la pratique, de satisfaire immédiatement et par des essais à l'équation du sixième degré. Je soupçonn(> qu'elle a beaucoup d'analogie avec celle de M. Lambert, dont vous parlez dans votre premier Mémoire. M. du Séjour est parvenu de son côté à une équation semblable, en faisant usage des rapports des trois distances de la comèt(^ à la Terre, que l'on tire des équations de l'arti(de l"2 de votre second Mémoire. J'avais cru d'abord que ces rapports n'étaient pas assez exacts, pour l'usage qu'il en fait; mais, en examinant avec soin votre analyse, je me suis assuré qu'ils ont tout le degré d'exactitude nécessaire, en sorte qu'il ne peut rester aucun doute sur la vérité de cette équation du sixième degré.

Telles sont, Monsieur et très illustre Confrère, les réflexions que m'a suggérées la lecture de vos deux excellents Mémoires sur la détermination des orbites des comètes; et je lessoumetsentièrementà votre juge* ment. Je ne sais si vous avez reçu le Mémoire que je vous ai envoyé, sur les probabilités ; on va en imprimer un nouveau de moi sur l'intégration des équations aux difl'érences partielles finies et infiniment petites, et je ne manquerai pas de vous l'envoyer aussitôt qu'il sera imprimé. Je travaille présentement à la Théorie de l'anneau de Saturne, mais je ne puis j)rév()ir encore le résultat de mon travail. M. d'Alembert m'a fait part de votre beau résultat sur l'égalité du mouvement des points équinoxiaux de la Lune et de celui des nœuds de l'orbite de ce satel- XIV. ,A

lilc. J'attends avec la plus vive impatience vos belles recherches sur cette matière importante; je vous prie d'être bien persuadé que personne n'en sent mieux que moi tout le prix, et n'a pour vous une admiration plus sincère; c'est avec ces sentiments que j'ai l'honneur d'être. Monsieur et très illustre Confrère,

Votre très humble et très obéissant serviteur,