XIV. i
li;^ CORRESPONDANCE
LAPLACE A LAGRANGE
Paris, 20 juillel 178?..
Monsieur et très illustre Confrère, La personne qui vous remettra cette Lettre est M. Brak, gouverneur du fils de Ms^ le Garde des Sceaux de France ('). et qui voyage avec lui en Allemagne. M. Brak est infiniment estimable par les qualités du cœur et de l'esprit. Il aime avec transport les Sciences et les Lettres, et regarde comme le principal objet de son voyage l'avantage de connaUre et de converser avec les savants distingués répandus dans les divers pays qu'il doit parcourir. Votre connaissance est, par cette raison, ce qui doit l'intéresser davantage, et je me fais un sensible plaisir de lui procurer l'occasion devons voir, bien persuadé d'ailleurs que vous serez enchanté de le connaître; je lui envie bien sincèrement l'avantage qu'il aura de jouir de votre conversation ; mais, s'il est vrai, comme quelques personnes me l'assurent, que votre souverain vous rappelle en Italie, j'espère que vous passerez par Paris, et que je pourrai embrasser l'homme du monde que j'honore le plus, et lui témoioner de vive voix les sentiments profonds de considération et d'estime qu'il a si bien su m'inspirer.
Je ne sais si vous avez reçu le dernier Mémoire que j'ai eu l'honneur de vous envoyer sur les suites; on va en imprimer deux nouveaux de moi, l'un sur les comètes, et l'autre, fort étendu, sur les approximations des formules analytiques qui sont fonctions de très grands nombres ; tel est, par exemple, le coefficient du terme moyen du binôme ; c'est'un objet d'analyse neuf et infiniment intéressant, parce que ces formules se rencontrent à chaque pas, surtout dans la théorie des hasards, et que l'application des nombres à ces formules est souvent impraticable. Je ne me flatte pas d'avoir épuisé ce sujet; mais la théorie
(1) Thomas Hue do Miromesnil. IlélaiL Garde des Sceaux depuis 1774-
• [lie j(> (loiino pourra incdrr (raulros géomètres sur la voie, et je ne regarderai pas mon travail comme inulile s'il peut vous engager à traiter cette matière, .ralleuds tous les jours avec impatience vos recherches sur la libralioa de la l.une, que vous avez bien voulu me promettre; vous m'obligerez de me les envoyer si elles sont imprimées.
J'ai l'honneur d'être, avec tous les sentiments d'estime et d'amitié <iue vous me connaissez depuis longtemps, Monsieur et très illustre (-ont'rère,
Votre très humble et très obéissant serviteur,
Laplace.
Berlin, lï septoinl)rc 1782.
MOXSIEIR ET TRÈS CHER CoNFRÉRE,
Je n'ai pu vous faire passer plus tôt ce Mémoire ('), faute d'occasion; mais, s'il n'obtient pas votre suffrage, il ne vous sera encore parvenu que trop tôt. C'est ce que vous n'avez pas à craindre pour ceux que vous me faites l'honneur de m'envoyer. J'ai reçu le dernier en son temps et je l'ai lu avec une vraie satisfaction. Parmi les belles choses •{ue j'y ai trouvées, j'ai surtout admiré la construction générale que vous donnez des équations linéaires aux différences partielles du second ordre. J'avais eu autrefois des idées analogues, mais elles sont restées, ainsi que bien d'autres, dans mes paperasses; je suis charmé que votre travail m'en ait entièrement débarrassé.
Je viens de reprendre ce que j'avais commencé il y a quelques années, et ensuite abandonné, parce qu'il me paraissait que vous
(') Théorie de la libration de la Lune. Voir l. XIII, p. 3Gi.
IIG CORRESPONDANCE
aviez dossoin de vous occiipor du même objet. C'est la détermination des variations séculaires des aphélies et des excentricités de toutes les planètes, pour servir de pendant au Mémoire que j'ai donné, en 1774. sur les nœuds et les inclinaisons. J'ai presque achevé un Traité de Mé- (•ani([uc analytique, fondé uniquement sur le principe ou formule que j'exj)ose dans la première Section du Mémoire ci-joint; mais, comme j'ignore encore quand et où je pourrai le faire imprimer, je ne m'empresse pas d'y mettre la dernière main.
Connaissez-vous M. Legendre (-)? Il vient de remporter notre Prix sui- la Balistique. Sa pièce m'a paru aussi bonne que le sujet peut 1(> comporter, et elle annonce dans son auteur, s'il est jeune encore, des talents et des connaissances qui pourront le mener loin; je vous prie de lui dire la part que je prends à son succès.
Je suis absolument sensible au souvenir de MM. du Séjour elBézout; j'y réponds par toute la vivacité des sentiments d'estime et de reconnaissance que je leur conserve. Je recevrai ce que vous m'annoncez de b'ur pari comme un nouveau gage de ceux dont ils veulent bien m'honorer. Ayez la bonté de remettre à MM. d'Alembert et de Condorcet les exemplaires de ce Mémoire qui leur sont destinés, en y joignant mes plus tendres compliments. Le Volume dont ils font partie n'a pas encore paru, el ne paraîtra peut-être que dans quelques mois. Si je n'avais craint de grossir trop le paquet, et de paraître attacher à une bagatelle» beaucoup plus d'importance qu'elle ne mérite, j'aurais pris la liberté de vous adresser encore quelques autres exemplaires pour les distribuer à MM. du Séjour, Bézout, Bossut, etc., avec qui je suis véritablement houleux d'être si fori en l'esle. Si je fais jamais imprimer quelque Ouvrage en forme, ce sera principalement pour pouvoir acquitter ces dettes.
Permettez-moi d'ajouter quelques lignes pour M. de la I^ande, à qui je vous prie de vouloir bien les communiquer de ma part. J'ai examiné, à son invitation, la nouvelle théorie donnée dans le Tome XVI des
(') Adr. M. Lcgondro, Membre de l'Académie des Sciences (1783), puis de l'Inslilul (1795), né à Toulouse en 1752, mort le 9 janvier i833.
DK i.vr.nwr.E avec lvplaci:. iit
Commenlaires de Pcfersbourg ('), dos pcrturhalions do la Toiro duos à ^'olllls. ol j'ai r(>oonnii qn'idlo poche dans quoiquos oiidroils, o( siirtoiil |)ario (]iio la quantité V, qui oxprimc la force porpondiculairo au rayon, V osl prise avec un signe contraire à celui qu'elle doit avoir et qu'elle a olleetivoment dans les formules de la page Vt^- Kn corrigeant ces inadvertances, les résultats s'accordent avec ceux do Clairaut dans le Mémoire do i~)\ ("). et d'Eulor dans le Mémoire qui a remporté le |)rix en 1 7 ")() (•'). S'il souhaite plus de détails, je pourrai le satisfaire d'aprc's le Mémoire (juo j'ai composé là-dessus, et que je vais lire à l'Académie pour houcher un trou, mais non pas pour le publier, parce ([u'il y a [)eu d'honneur à avoir fait cette découverte.
Recevez, mon cher et illustre Confrère, l'assurance de tous les sentiments que vous m'avez inspirés et avec lesquels je suis pour la vie
Votre très humble et très obéissant serviteur,
De la Grange.
LAPLACE A LAGRANGE
Paris, 10 février 1783.
Monsieur et très illustre Confrère,
Voici un exemplaire de mou 3Iémoire sur les comètes, que vous connaissez en partie par l'extrait que j'ai eu l'honneur devons en envoyer. (>elte bagatelle mérite à peine votre attention, et je m'empresse de faire imprimer des recherches qui m'en paraissent un peu plus dignes, du
(' ) Réflexion'! futr les inégalités dans le mouvement de la Terre causées par r action de Vénus, par L. Euler, p. 297.
(5) Mémoire sur l'orbite apparente du Soleil autour de la Terre, en ayant égard aux perturbations produites par les actions de la Lune et des planètes principales ( Recueil de l'Académie des Sciences, p. 52 1, année 1754).
(') Ini-estigatio pcrturbationum quibus planetaram motus ob actionem corum mutuain ajficiuntur, aulorc Leonardo Euler {Recueil des Prix de l' Académie, t. VIII).
moins si j'en jiigo par la peino qu'elles m'ont coûtée. Elles ont pour objet la détermination de fonctions de très grands nombres, en séries très convergentes : tels sont les termes moyens du binôme, du trinôme, etc.; les différences finies ou infiniment petites très élevées, ou une partie quelconque de ces expressions, etc. Ces recherches servent de base à un Ouvrage, auquel je travaille, sur la théorie des hasards, et sans leur secours il m'eût été impossible d'avoir la solution numérique d'un grand nombre de problèmes intéressants dont la solution analytique est d'ailleurs assez simple.
J'ai reçu votre bel Ouvrage sur la libration de la Lune, et je l'ai lu avec toute l'attention dont je suis capable. Je ne saurais vous exprimer jusqu'à quel point il m'a enchanté. L'élégance et la généralité de voire analyse, le choix heureux de vos coordonnées, la manière dont vous traitez vos équations difTérentielles, surtout celles du mouvement des points équinoxiaux et de l'inclinaison de l'équateur lunaire, tout cela, joint à la sublimité de vos résultats, m'a rempli d'admiration, et j'ai parfaitement compris combien il vous a fallu d'adresse pour amener à ce degré de simplicité une théorie aussi compliquée. Voici une ou deux réflexions qu'elle m'a fait naître.
L'égalité rigoureuse du mouvement moyen de la Lune dans son orbite et de son moyen mouvement de rotation étant infiniment peu probable, c'est une très belle chose que d'avoir prouvé, comme vous l'aviez déjà fait dans votre première pièce, que ce phénomène peut subsister avec une légère différence entre ces mouvements à l'origine; mais les limites de cette différence sont si étroites qu'il y a fortement lien de soupçonner une cause primitive qui a déterminé le mouvement de rotation à s'éloigner aussi peu du moyen mouvement dans l'orbite ; peut cire dépend-elle de la fluidité originaire de ce satellite. Sur cet objet, comme sur les mouvements des planètes, nous ne pouvons former que des conjectures vagues et propres tout au plus à reposer l'imagination.
Le principe de la proportionnalité des aires aux temps fournil une démonstration assez simple de l'inaltérabilité du mouvemcnl moyen de
l)i: LVGRANGE AVEC LAPLACE. 119
la Lune, par la tiourc non sphériquo de cet astre; car si, pour pins de simplicité, on néglige avec vons rexcenlricité et l'inclinaison de l'orbite lunaire; que l'on nomme L la masse de la Lune, R sa distance à la Terre, 9 son mouvement angulaire, et t le temps; que l'on désigne ensuite par x' et v' les coordonnées d'une molécule clL de la Lune, rapportées à son centre et au plan de l'écliptique; le principe dont il s'agit donnera réquation
I R2 ^? ^ Çy'dx'- x'dy'
C étant une constante; en désignant donc par 0 une variation (|ii(.|conque et faisant
on aura
or, T étant la masse de la Terre, on a d'où il est facile de conclure
donc
. c^ 3 ÔV "^ dt~~ WL
La variation oV dépend de celle du mouvement de rotation de la Lune et des variations dans la position de son axe; or il est facile de s'assurer qu'une très légère variation dans le mouvement moyen de la Lune en donnerait de très grandes, soit dans son mouvement de rotation, soit dans la position de son axe; car, si l'on suppose, par exemple, que cet axe soit perpendiculaire à l'orbite, on aura
dt
ni) . . .
^j étant la vitesse angulaire de rotation, cr le demi-diamctre de la Lune,
ot X- étant nécessairement moindre que 4; el, comme on a „ = —^ à peu j)rès, on aura
°'dt ~To847° c^'
c'est-à-dire ([u'unc minute d'accélération dans le moyen mouvement de la Lune produirait au moins 66" d'accélération dans son mouvement de rotation; ce qui est contraire à la théorie et aux observations. C'est par des considérations à peu près semblables que j'ai fait voir, dans mon Mémoire sur la précession des équinoxes, que l'action des eaux de la mer n'a aucune influence sensible sur le mouvement de rotation de la Terre; el l'on })eut prouver de même que ni les vents, ni la chaleur solaire, ni aucune des causes qui troublent la surface de la Terre ne peuvent altérer sa rotation, à moins qu'elles ne produisent un dérangement permanent dans la masse.
J'attends avec bien de l'impatience le Traité de Mécanique analytique que vous m'annoncez ('), et dont je me fais d'avance une grande idée. d'après votre exposé du principe général qui lui sert de base. (>omnu' je me suis servi d'un principe analogue dans mes recherches sur le reflux de la mer, cela m'avait donné lieu de faire quelques réflexions sur cet objet, que je me proposais de développer dans un Mémoire ; mais je suis charmé de voir que vous vous êtes occupé de ce travail (jue vous avez sûrement exécuté mieux que je n'aurais pu faire.
I/incertitude où l'on est sur les masses des planètes, et les dérangements qu'elles éprouvent de la part des comètes m'ont fait renoncer au Mémoire que je préparais sur les variations des excentricités et des aphélies, et je me suis contenté de présenter leurs variations difl"érentielles sous une forme simple et commode pour le eahiil; mais je ne doute point que vous ne répandiez beaucoup de lumières sur une matière aussi intéressante. Puisque vous vous occupez actuellement de ce genre de recherches, je désirerais que vous démontrassiez un théoi-ème que vous avez su])posé dans les IMémoires de Berlin, et que vous
(•) La Mécanique céleste ne parut (ju'cn 1788. Paris, in-4°.
tirerez probablement sans beaucoup de difticulté de votre belle méthode sur les moyens mouvements des planètes. Ce théorème est que si l'on suppose deux planètes dont les orbites soient inelinées l'une à l'autre d'une manière queleonque, leur inclinaison moyenne ne change pas en vertu de l'action réciproque des deux planètes. Je m'étais proposé d'en chercher la démonstration, lorsque j'en aurais le loisir, en faisant usage de votre nuMliode; mais il vaut mieux à tous égards qu'elle vienne de vous.
J'ai fait j)art à M. Legendre des choses obligeantes que vous me marquez sur son compte; il y est infiniment sensible, et il m'a chargé de vous en témoigner toute sa reconnaissance; c'est un jeune homme d'un rare mérite, et qui est avantageusement connu de l'Académie par plusieurs excellents Mémoires dont j'ai été rapporteur; j'espère que quelque jour cette compagnie lui rendra justice en l'admettant parmi ses membres.
Je me suis encore acquitté de votre commission relativement à M. de la Lande. Il me parait que cet astronome avait un grand désir de savoir à laquelle des deux théories, ou de celle de M. Clairaut, ou de celi(> de ^I. Euler, il faut s'en tenir; car, dès le mois de juillet dernier, sans me prévenir qu'il vous en eût écrit, il me pria d'examiner cette matière, ce que je fis dans un petit Mémoire que je lus à l'Académie vers le milieu du même mois, sans intention de le faire imprimer. Je le remis à cet astronome pour le communiquer à MM. Euler et Lexell, afin qu'ils se corrigeassent eux-mêmes, s'ils trouvaient mes observations justes. J'y remarque comme vous la faute commise en prenant V avec un signe contraire à celui qu'il doit avoir; mais il y a d'ailleurs dans l'analyse de M. Euler une faute plus essentielle, qui ne vous sera pas sans doute échappée, et qui consiste en ce que la formule de ce grand géomètre pour déterminer les perturbations de la Terre par l'action de Vénus renferme non seulement des termes proportionnels au temps et aux sinus de l'angle d'élongation de Vénus à la Terre et des multiples de cet angle, mais encore un terme proportionnel au sinus du moyen nioiivemenHlc la Teiic, et (|ui se confond par conséquent avec l'équation (lu ccutn'. J'ai donné dans mon petit Mémoire le moyen d'obtenir \IV. ,6
ce terme, et je n'ai point douté qu'en retranchant ses valeurs des perturbations correspondantes trouvées par la formule de M. Euler, on ne pai'vînt à un résultat conforme à celui de M. Clairaut. M. Lexell, à qui M. Kuler avait communiqué mon Mémoire, a répondu, dans une lettre datée du 4 octobre, qu'ayant refait de nouveau, et conformément à mes remarques, tout le calcul des perturbations, il était parvenu à des l'ésultats entièrement conformes à ceux de 31. Clairaut. Il se propose de ])ublier ses calculs dans les Mémoires de Pétersbourg ; j'admire en vérité la patience de cet habile géomètre, pour avoir entrepris des calculs aussi pénibles, dans la vue de constater une chose qui me parait évidente a priori.
Nous commençons déjà à entrevoir ici relliplicité de l'orbite de la planète Herschel. Je me suis formé pour cet objet une méthode qui n'a de mérite que la simplicité du calcul; et, pour l'appliquer aux observations, j'ai prié M. Méchain (')de m'en donner quatre, excellentes e( dépouillées des effets de l'aberration, de la précession et de la nutalioM, e( qui embrassent à peu près tout l'intervalle de temps depuis lequel on observe cet astre. Voici les éléments que j'en ai tirés :
Demi grand axe 1 9 , 08 1 8
la distance moyenne du Soleil à la Terre étant i.
lUipport de l'excentricité au demi grand axe. . . . 0,047687 ce qui donne
l'Iquatioii du centre 5° 27' 12"
F-ongitude de l'aphélie 1 i''S23°2'2'a7"
Anomalie vraie le 21 décembre 1781 à 18'' . . . 5' 40"
Temps moyen à Paris 97°29' 19"
Ces deux angles sont comptés sidéralement à partir du 1 1 mai 1781 .
Lieu du nœud 2*'s 9° 57' 17"
Inclinaison de l'orhile 43' 16"
Il n'est pas besoin de vous dire que ces déterminations sont gros-
( ' ) Pierre-Fr.-And. Méchain, astronome, Membre de l'Académie des Sciences, puis de l'Institut, né à Laon le 16 août 1744, mort en Espagne le 20 septembre i8o5.
DE I.VdllVNC.E AVEC LAPLACE. \-l\)
sières cl iic pciivtMit loul au |)liis (|ii(' doiinci' un prctiiici' apciçii (')
sur la nature de l'orbih».
Oserais-jo vous pri(>r do nio rappeler au souvenir de M. l'abbé Kayiial
si vous avez l'occasion de le voir f-)? Nous nous entretenons souveni
de lui, -M. et .M'"^ de Lavoisier, M. du Séjour et moi, et nous regrettons
intîniment (|u'il ne soit pas à Paris pour y jouir de la considéralion
(|u'il a si bien méritée. L'estime générale de la parlie éclairée de la
nation est bien propre ;» b» dédommager du sort qu'il éprouve, si
quelque chose cependant peut, dans un âge avancé, nous dédommager
de la perte du repos et de l'éloignement de nos amis; j'espère (ju'un
heureux changement le ramènera parmi nous. Quoi qu'il arrive, je
conserverai toujours une vive reconnaissance des bontés qu'il m'a
témoignées dans plusieurs occasions. Adieu, mon cher Confri-re, vous
connaissez mes sentiments inviolables pour vous, et avec lesquels je
serai toujours
Votre très humble et très obéissant serviteur,
l.API.ACE.
LAPLACE A LAGRANGE
Paris, 21 aoûl 1783.
Monsieur et très illustre (À).Nnu:RE,
\ oici deux exemplaires d'un Mémoire sur la chaleur, d'après qu(d- (jues expériences que nous avons faites en commun, ]\L de Lavoisieiet moi, sur cette matière (^). Vous voudrez bien en garder un pour vous, et remettre l'autre à M. Achard ( '). Je serais bien charmé d'avoir
(') Lnpiace a écrit une première aperçue.
( ') Labbé Raynal, l'auteur de V Histoire phllosopliiquc et politi(jue des- clablisscmenls el (lu commerce des Européens dans les Deux-Indes.
(') Mémoire sur la chaleur {Recueil de V Académie, p. 355, année 1780).
(*) Friedrich Cari Achard. physicien et chimiste,. Membre de l'Académie de Berlin (177G).
voli'o avis sur ce Mémoire, si vos occupations vous laissent assez de loisir pour le parcourir. Je ne sais en vérité comment je me suis laissé entraîner à travailler sur la Physique, et vous trouverez peut-être que j'aurais beaucoup mieux fait de m'en abstenir; mais je n'ai pu me refuser aux instances de mon Confrère M. de Lavoisier, qui met dans ce travail commun toute la complaisance et toute la sagacité que je puis désirer. D'ailleurs, comme il est fort riche, il n'épargne rien pour donner aux expériences la précision (jui est indispensable dans des recherches aussi délicates.
M. Legendre me dit que vous avez reçu l'exemplaire de mon Mémoire sur les comètes, et que vous vous proposez de m'envoyer quelques nouveaux Mémoires que vous faites maintenant imprimer. Je les attends avec la plus vive impatience. Cet académicien vous a fait part d'un fort beau théorème qu'il a trouvé sur les attractions des sphéroïdes elliptiques de révolution; sa manière d'y parvenir, fondée sur la considération des suites, est fort ingénieuse; mais malheureusement elle est bornée aux sphéroïdes elliptiques de révolution, et il a cherché inutilement à l'étendre à ceux qui ne le sont pas. Cela m'a donné la curiosité de voir s'il ne serait pas possible de ramener aux attractions à la surface les attractions de ces sphéroïdes sur un point quelconque situé au dehors; et, après quelques tentatives infructueuses, je suis cntîn parvenu à démontrer généralement que le théorème de Maclaurin ('), que ce savant n'a énoncé que relativement aux points placés sur le prolongement des axes d'un sphéroïde elliptique, a lieu généralement pour les points situés sur le prolongemenl d'un rayon vecteur quelconque. J'ai communiqué cette démonstration à l'Académie, le 'i\ mai dernier, et je compte la faire imprimer incessamment dans un petit Ouvrage élémentaire sur l'Astronomie physique, dont l'impression est déjà commencée.
Je vous ai communiqué dans ma dernière lettre les éléments (jue j'ai trouvés de l'orbite de la planète Herschcl. Depuis cette époque, on nous
(') Foir 1. XIII, p. 3oy, 33/,.
a fait pari i\\\no observation de cotto planoto faite par ^l. Maycr (') le 2j soptiMiihro lyjO; mais ciMiui m'a hoaucoup surpris, (;'ost quo mes éléments représentent à quatre ou cinq secondes près cette observation. Je m'en suis servi pour corriger le lieu du nœud et l'inclinaison de l'orbite. Je vais vous donner ici ces mêmes éléments rapportés au i*'^ janvier 1782, à midi, temps moyen à Paris.
Demi grand axe de l'orbite 19,0818
Rapport de rexceiUricité au demi grand axe 0,047587
Ce rapport réduit en secondes oSiV, >
Plus grande équation du centre 5°27'i 1"
Anomalie moyenne sur l'orbile, le [''janvier 1782 à midi
temps moyen à Paris io2''57'3i"
Longitude de l'aphélie sur l'orbite à la môme époque. . . . 353° 22' 59"
Longitude du nœud ascendant au môme instant 73° 1'
Inclinaison de l'orbite i& la"
Logarithme du nombre des secondes que la planète décrit
dans un jour par son moyen mouvement i ,6290783
Kn nommant donc n le moyen mouvement de la planète sur l'orbite, compté de l'aphélie; w son anomalie excentrique et u son anomalie vraie; enfin e son rayon vecteur, on a les trois équations
« := w + 98i5",5 sinco, lang|« = 0,953498 tang|w,
(J^z 19,0818 + 0,908045 COSW.
Le Mémoire de Physique que je vous envoie a retardé l'impression du Mémoire que je vous avais annoncé sur les approximations des formules qui sont fonctions de très grands nombres; mais je pense qu'on l'imprimera bientôt. Adieu, mon cher Confrère; je vous prie de me croire, avec tous les sentiments d'estime et d'amitié que vous savez si bien rn'inspircr et que personne ne ressent plus vivement que moi.
Votre très humble et très obéissant serviteur,
Laplace.
<*) Tobie Mayer, né a Marbach (Wurtemberg) le 17 février 1723, mort le 22 février i-6>.
/\-S. J'oubliais de vous faire mon compliment sur la qualilé de Président honoraire de l'Académie que le Koi de Sardaigne vient d'établir à Turin. Sa Majesté m'a fait l'honneur de m'y admettre comme Associé étranger. Ainsi me voilà sous votre présidence; je suis seulement fâché que ce soit de si loin.
Berlin, 5 aoûl 178 3.
Monsieur et très illustre Confrère,
Voici les deux Mémoires que j'ai fait imprimer cette année. Je suis redevable aux bontés de M. de Brack, qui m'a rendu votre lettre, de l'occasion de vous les faire passer si j)romptemenf. Je vous prie de les accepter comme une faible marque des sentiments que je vous dois et que je suis bien flatté de vous devoir. Vous trouverez deux exemplaires de celui sur les fluides ('). Ayez la bonté d'en présenter un de ma part à M. d'Alembert, en lui faisant agréer en même temps tous mes hommages.
La seconde Partie de la théorie des variations séculaires est aussi achevée, mais ne peut paraître que l'année prochaine ; d'ailleurs, ne contenant que des applications numériques jointes ;i quelques discussions astronomiques relatives aux éléments, elle ne peut intéresser les géomètres que très faiblement. Je crains même que la première, quoique purement analytique, ne soit peu digne de leur attention, e( je vous demande d'avance votre indulgence, tant pour ce Mémoire que pour celui (|iii le [)récède.
J'ai reçu et lu avec bien de la satisfaction le vôtre sur les orbites des
(') McDwirc sur la tlicorie dit umm'cmciit des Jluida, dans le Volume de 1781 fp. i5ii<)8) de l'Académie de Berlin cl dans le lome IV de la présonlc édition, p. G()5.
DE LAGRANC.K AVEC LAPLVCK. 127
oomètos. Co que jo vois »le vous nrciu'liaïUc de plus (>ii plus p;ir la finesse clos idées et par l'élégauce de l'aualyse. (^online ce dernier point a souvent été négligé par les grands géomètres, je m'y suis j)rinlipalement attaché depuis (ju(d([U(> temps, et je me réjouis intinimeni ((ue d'autres en fassent de même, surtout lorsqu'ils y réussissent aussi bien qu(> vous.
J'ai lu aussi avec le plus grand plaisir les recherches de M. du Séj(uir sur le méinc sujet ('); mais il a fait aux miennes un honneur (|u'('lles ne méritent pas, et il pouvait, eu sûreté de conscience, garder le peu (|u'il en a lii'é. Je vous prie de vouloir bien lui dire mille» choses de ma pari. Je conserve toujours un doux souvenir des houles doni il m'a honoré en 1704 et 17G6.
Je me sais hon gré d'avoir remis à une autre année l'impression des nouvelles recherches que je vous avais annoncées; peut-être même les supprimerai-je tout à fait, si je les trouve peu dignes de paiailre après les vôtres et celles de M. du Séjour.
^I. Lexell vient de rectifier son calcul sur l'action de Vénus, dans le dernier Volume de Pétersbourg ('-). Outre l'erreur du signe, j'avais aussi reconnu les termes étrangers qui s'étaient glissés dans le résullal de ce calcul, et j'avais trouvé, en suivant les procédés de MM. Kuler ou Lexell, cette formule analytique
— 2", 775/> — 9", i55 sin^ — 10 ",626 sin/j — o",i5i sin 2/j
pour représenter la Table de la page 3o6 des Actes de 177H, p étant l'élongation moyenne de Vénus et t la longitude moyenne de la Terre; cette formule, trouvée a priori, représente assez bien la Table en question, ce (|ui est d'aulant plus singulier qu'elle est totalement différente de celle (|ue M. Euler a trouvée a posteriori dans le même endioil, et cela doit servir à nous mettre en garde contre les formules trouvées uni(juement par cette dernière voie, (l'est le seul avantage qui lésulte maintenant de mon travail, dont je ne ferai plus usage.
(') /^r)/r plus haut, p. 71, noie.
(^ ) De pcrturbatioite in motu Telluri-i ab aclione Feiieris oriitnda iActd pro anno 1770. I^ars posterior, 1-83, p. SSg).
Vous me faites bien plus d'honneur qfue je no mérite de me croire un objet digne de la curiosité des voyageurs; je suis si persuadé du contraire, que j'évite autant que je peux d'en voir; mais je vous suis très obligé de m'avoir procuré la connaissance de M. de Brack, qui me paraît un homme très estimable à tous égards et dont le mérite est encore relevé à mes yeux par le titre de votre ami. Vous savez combien je l'ambitionne moi-même; je désire ardemment de m'en rendre digne par les vifs sentiments avec lesquels j'ai l'honneur d'être
* Votre très humble et très obéissant serviteur,
De la Grange.
LAPLACE A LAGRANGE
Paris, II février 1784.
Monsieur et très illustre Confrère,
Voilà six exemplaires d'un petit Ouvrage que je viens de faire imprimer sur l'Astronomie physique ('). Je vous prie d'en accepter un, d'en donner un à MM. Tempelhoff et Bernoulli, et tle donner les trois autres aux géomètres de votre connaissance à (jui vous croyez que cela pourra faire plaisir. Comme on n'a tiré que deux cents exemplaires de cette bagatelle et qu'ils ne seront point vendus, je les distribuerai tous en présents, et je désire que tous ceux qui s'occupent de ces matières veuillent bien en accepter un. Vous m'obligerez donc de m'indiquer les géomètres d'Allemagne ({ue je n'ai point l'honneur de connaître, et la manière de leur faire parvenir cet Ouvrage. Je vous demande pour lui toute votre indulgence, dont il a grand besoin. Je sens toute son
(') Cet Ouvrage, doiil Laplacc ne donne qu'une indication assez vague, est intitule : Théorie du mouvement et de la figure elliptique des planètes. Paris, de l'imprimerie do Ph. D. Pierres, 1784, xxiv-i54 pages in-4°. Il est divisé en deux Parties : Théorie du moui'ement elliptique des planètes, p. 1-66; De la fif^ure des planètes (p. 67-153).
DE LA(.R\N(.I": VVFj: I. VPLVCK. 1-29
imperfection, el il iramail jamais |iaiu, si M. le Président de Sai'on n'en avait tait imjirimor. à mon insu, la première Partie (').
Je vous remercie des deux Mémoires que vous m'avez fait l'honneur de m'envoyer. Je les ai lus avec le plaisir que me causent toujours vos belles productions, el j'ai été charmé de voir l'accord de vos résultats sur les inégalités séculaires des planètes avec ceux que j'avais trouvés |)ar d'autres méthodes. Le Mémoire sur le mouvement des llnid(>s ne m'a pas moins intéressé; on ne peut rien ajouter à l'élégance et ;i la généralité de votre analyse. La théorie des ondes que vous donnez à la tin me parait très belle; je ne sais, cependant, si la supposition d'une profondeur infiniment petite du canal, dont vous faites usage el (|ui rend la solution du problème fort simple, peut être employée dans la théorie des ondes lorsque le canal a une profondeur quelcon(jue. Vous croyez que, l'adhérence des parties fluides empêchant le mouvement de se communiquer à une profondeur sensible, on peut, dans tous les cas, regarder le canal comme très peu profond; mais l'expérience parait contraire à cette supposition, en ce que la vitesse des ondes n'est pas constante, quelle que soit la manière dont elles ont été produites. Les académiciens de Florence l'avaient déjà remarqué, et je l'ai observé moi-même plusieurs fois. C'est la raison pour laquelle, dans les recherches que j'ai données sur la théorie des ondes, j'ai supposé la profondeur du fluide quelconque, et, dans ce cas, il est hors de doute que lu vitesse des ondes dépend de leur formation; mais le problème devient alors très compliqué.
(') On lit, dans rintroiJuclion, p. xix : « J'aurais entièrement renoncé à ce travail sans le désir qu'un magistrat, également distingué par son rang, par sa naissance et par ses lumières, m'a témoigné plusieurs fois de voiries propriétés des mouvements elliptiques el paraboliques déduites de la seule considération des équations dillérenlielles du second ordre qui déterminent à chaque instant le mouvement des corps célestes autour du Soleil. C'est uniquement dans la vue de satisfaire un amateur aussi éclairé des sciences et, en particulier, de l'Astronomie que j'ai composé le Traité suivant. Il l'a fait imprimer dans la persuasion (]u'il pourrait intéresser les géomètres et les astronomes; je désire qu'ils accucillcnl avec la même indulgence cet Ouvrage qui, sans la circonstance dont je viens de {)arler, n'aurait jamais vu le jour. »
Jean-Baptiste-Gaspard de Saron, premier président au Parlement de Paris, membre honoraire de l'Académie des Sciences, né à Paris en lySo, mort sur l'échafaud. le lo avril 1791. XIV. IT*
L.1 Géométrie viciil de faire de grandes pertes, par la mort de i\lM. Euler, d'Alembert et Bézoïif. Je regrette infiniment ce dernier auquel j'étais fort attaché, et qui a rendu un grand service à l'Analyse par son dernier Ouvrage sur la théorie de l'élimination ('). Vous lui avez témoigné toute la satisfaction que la lecture de cet Ouvrage vous avaitcausée; et j'ai été témoin du plaisir que lui fit la lettre obligeante (jue vous lui écrivîtes à ce sujet. Il avait j)our vous toute l'estime qui vous e^t due, et votre suffrage le consolait des injustices que quelques personnes, fort estimables d'ailleurs, n'ont cessé de lui faire. C'était un honiine d'un caractère doux, paisible et fort obligeant. Il est généralement regretté dans les deux corps de l'Artillerie et de la Marine, dont il était examinateur, et pour lesquels il a fait d'excellents éléments de Mathématiques. Je lui succède comme examinateur de l'Artillerie, ce qui augmente ma fortune, qui jusque-là avait été très bornée; mais ce qui me fait un grand plaisir, c'est que les fonctions de cette place ne m'occupent (jue trois semaines ou un mois tout au plus, dans l'année.
J\[. l'abbé Haùy, de l'Académie des Sciences, me prie de vous faire parvenir l'exemplaire ci-joint de son Ouvrage sur la cristallisation (-). J'ai lieu de croire que vous en serez content, si vous avez le loisir de le parcourir. Il i-enferme une application intéressante des Mathématiques à la nature, et l'on ne peut trop désirer que le domaine de la Géométrie s'étende. C'est dans cette vue que je me suis un peu livré à la Physi(jue, et je ne désespère pas de déterminer quelques nouveaux objets physiques, assez bien pour y appliquer l'Analyse.
Adieu, mou 1res clier et 1res illustre Confrère, vous connaissez les vifs sentiments d'eslime cl (raïuilié dont je suis pénétré pour vous, el avec lesquels je suis |)our la vie, monsieur et très illustre Confrère,
Votre (rès humble et très obéissant serviteur,
Lai'lace.
(') Tliéorie générale des équations algébriques, ln-4", 1779-
(*) Essai d'une théorie sur la structure des cristaux. In-8°, 1784. L'abbé Heiié-.liisl Ualiy, célèbre minéralogiste, membre de l'Académie des Sciences, puis de l'Inslitut, né à .^ainl-.Iusl (Oise), le '28 février 174^; mort à Paris, le 3 juin 182a.
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P. -S. Mon ami M. du Se joui' me charge de vous ronicrcici' des diosos obligcaulos (|u<' vous m'avez écrilos à sou égard; nous désirons Iteauc'oup, lui el moi, do vous voir à Paris, et de vous témoigner de vive voix tout ce ((ue nous sentons pour vous l'un et l'autre.
Je viens de recevoir, mon cher et illustre Confrère, votre Mémoire Sur les approximalions (-). Je n'ai pu encore le lire, mais il me parait hien profond, comme tout ce que vous faites, et je me propose de l'étudier à loisir. Je voulais me dispenser de vous envoyer ce que j'ai fait imprimer celte année, comme ne contenant rien de piquant pour vous ; mais, puisque vous avez reçu la première partie de ce travail, je crois devoir vous en présenter aussi la seconde. Je ne vous offrirai désormais que ce que j'aurai de moins indigne de votre attention. Agréez en même temps les assurances de tous les sentiments que je vous ai voués et avec lesquels je serai toute ma vie,
Votre très humble et très obéissant serviteur.
De la (Jr.ANGE.
(') Celle lettre a été publiée, en pliololilhograpliie, avec une autre eu date du aj nivôse an IX, que l'on trouvera plus loin, par le prince Boncompagni. La brochure est inlilulcc : Deux lettres inédites de Joseph- Louis Lagrange, tirées de la BUdiotkèquc royale de Berlin {collection Mcusebach, portefeuille ii" 21, et collection Iladoaitz, n° ii)52), et i)ubliées par B. Boncnnipagni; Berlin. 1878, 8 pages in-4°. Au haut de celle lollre on lit la note suivante de rilluslrc auteur du Cosmos : Lettre de M. de la Grange à M. Laplace, écrite de Berlin. Elle m'a été' donnée par Mnd. la marquise de Laplace {à Paris, jani.'ier 1843). Al. Humholdl.
(2) On a deux Mémoires de Laplace Sur les approximations des formules qui sont fonctions de très grands nombres ; ils ont été imprimés dans le llccueil de l'Académie, le premier dans le Volume de 1782 (publié en 1785), et le second dans le Volume de 1785 (publié en 1786). Comme Lagrange ne parle que d'un Mémoire, sa lettre a été probablement écrite vers 1785, el est sans doute la dernière qu'il ait adressée à Laplace, car, en 1787, il quitta la Prusse pour venir se fixer à Paris.
P. -S. Je joins à ce |)a({U('l l(»s trois Volunios de l'Ouvrage allemand de Sùsmilch sur les niorlalités, dont .M. Brak n'avait pu se charger (').
(') Le pasleur Joan-1'iorre Sussniilcli, membre de l'Académie de Berlin (1745), mort le 29. mars 1766.
L'Ouvrage dont il est question est la ijuaLrième édition (1775) d'un Traité ([u'il avait p\iblié en 1710 sous le titre de l'Ordre de la Providence dans les révolutions auxquelles le genre humain est assujetti. — Voir son éloge dans l'Histoire de l' Acade'niie royale des Sciences et Belles-Lettres, de Berlin, année 1767, y. 496 et suiv.
DE
Les lettres qui suivent ne sont |)()int inédites. Les unes ont été publiées en 1877, par le prince Boncompagni, sous le litre de Lellres inédites de Joseph- Louis Lagrange à U'oiiard Enler, tirées des Archives de la salle des Conférences de l'Académie impériale des Sciences de Pétersbourg, Sainl-Pétershoui'g (expédition pour la conl'ection des papiers de TÉlal, atelier héliographique tlirigé par G. Scamoni), 52 pages in-/i°.
Les autres, dont les originaux sont conservés à la l)ibliotlié(iue de l'instilul, dans le tome IV des manuscrits de Lagrange, in-4°, ont été données dans le tome I des Opéra postuma mathematica et pliysica d'Euler, publiés à Pétersbourg en 1862, 2 vol. in-4'', par P.-H. Fuss et N. Fuss.
Nous indi(|uons en note la provenance de chacune de ces lettres.
COHUESPO^DANCE
LVGRANGE AVEC EULER.
Taurini, j'" cal. Julii ( 1754'!') (').
(^ogitanti inihi pers»po, ac scdulo aninio inquironti, luiiic et in dilfVrentialibiis, iil in [jotostatibus, certus aliquis insit ordo, factuin tan- (lom ost, ni in seriem a newtoniana parum discrepantem inciderini, (|na' ad tujusvis gradus differenliationes seque ac integrationes possit accommodari, non sficus ac illa Newtoni ad [)olcstates, et radicalia. K\\ ilaquc ntrasque, primam newtonianam, alteram meam, n( si (jnid in ipsis inest similitudinis, folum uno ocnli ictu porspiciafur :
m {ni — i) {ni — 2) {m — 3 )
. , m{m — 1 ) „ . ni{m — i ) ( /h — a ) {xy)'" — X"' /o 4- inx"'-^y H ^ x'"-^- j^ H ^^ ~ x'"-^ y
.lani vfro, qnod ad liujusco scrici cxplicationcni pcrlind, aniniadvcr-
( ' ) Lettres inédites, p. 5.
Icndiiiii iinprimis cxponentcs, si posilivi, gradiis difrercndalionis, sin iicgativi, gradus integrationis denolaro; sin autoni a'qiiales iiihilo, lune argumontum esse, quantitatcm illarn, cui hiijusmodi addilur cxponciis iKMjuc (lil!"erontialionc, ncqiic iiitcgrationo opiis liabcre, scd potins uti csl, roliiiqueiidani; verum hicc oinnia clarius oxemplis aliquol pcrspici posse existimo. Habciulum sit itaque diffcrentialo i'""™ ipsius œy facto //z = I, séries liunc indicat valorem ^'j" -+- oc^y' , seii
y dx -t- X dy ; si m = 2, séries tiet
iiiide obtincbitur differcntiale 2''"'"
y d^x -\- 2 dy dx + x d-y ;
eodem modo, si m = 3, fiet differentialc 3''"'"
y d^x -{-Zdy d-x -\- '^d^y dx -+- x d^y;
existente nempe etiam dx fluente; atque idem dicitur de cseteris dillereiiliationis gradibus. Yeniamusnunc ad integrationcs. Qua'ralLir intégrale hujus quantitatis ydx, snbstituto itaque in série c/jc loco .r e( facto m = — i (quoniam intégrale quod quœritiir est 1 '""'") in banc ipsam Iransformabitur
dx'^y" — dx--y^-\- dx^^y^ — dx~^y^-+- dx'^y^ — dx'^ y^-\- . . . .
Porro dx~* = x, dx~'- intégrale 2''"'"a?j", sen intégrale 1"""" i[)siiis .r ?= —y- y dx^^ = — ^-1-^' dx~'' = — „ , ■ -» et generatim
3 dx 1 . 6 dx- 2.6.[\ dx^ "
dx-'" —
