III. Ex calculo differenlialium patet esse

\° i z du ^^ z II — / Il (Iz ;

2° f Z d- 1/ z= z du — u dz -+- I u cl- z;

3° fz flf'' it=^z d- u — dz du + u d- :■ — J n r/' -' ;

et sic de caeteris.

TV. Siniilit(M- ex eod(>m evidens est

iiiidesi lu, posilo x=^(( (u eniui et :; suiit funciiones.r et j), fiat= H, et H -- I n = \ erit item j)Osito ^ = a

( ' ) De iufînilis curvis cjusdcm gcneris : scii inct/iodus iiiveiiiendi irqiiationes pro infîuitis- curvis cjusdem gciicris, Conimcntarii, années 1734-1735, t. Vlll, 1740, p. 174 et i84-

DE LAG RANGE AVEC EULER. m

Problejiat.j

hncnirc aujuationcm i/ilcr jc et y, /// pro dalo ipsius x valote pulo •^" = ''^ fornudn liœc f Z rna.vinuini ininiiniimve va/orr/n ohlineat.

fiexolutione.s.

Sit I"

ÔZ = N èy -i- Pèdy + Q àd-'y+ R 0V7 4- . . .

(xenim in liac ditïerentia ponitur conslans § I). Igitiir quonuiin dillVrentia diiorum totorum sequalis est summœ diderontiarmij omnium parliuni, adeoque 0 / Z = fol, erit

o./"Z =/N èy -^ fP ody -^ f'Qdd'y^...

= J'N dy + y"p dày +/Q rf-o/ -i- . . . ( § II)

= /N oy -+- P dy -fdP dy + Q ddy - dQ dy + J\P Q 07 . . . ( § [H ) unde

^f7.=f{^-dP + d-'Q-...)dy + {P - dQ +. . ,)o> + (Q -. . .)(/Ô/ + ...

seu, ponendo y, qui respondeta? = a, cum nonnullis sequentihiis invariabilem, unde totidem habenlur puncta per qUcT curva invcnionda transire débet, erit oy = o, dSy = o, d-^y = o, ..., unde tandem

o/Z = /(N -dP-^d'Q- d^R. . .) o>;

adeoque ex mcthodo maximorum, et minimorum comnumi

^ — dP ~h d'Q ~ d^R. . . = o,

dabit aequationem qugpsitam (9).

Sit 2"

oZ — L ot: + N oj + P ody 4- O dd-y + . . . ; r — /"(Z) ; et

o(Z) = (N) dy -+- iP)àdy -+- (Q) dd^y +... unde

ÔTT =/(N) dy 4-/(P) oV/ +. . .

adcoqiic

df'l =y N OY -hj P dor +j Q d'oy -+-...

+ /Ly(N)ôj+/L/(P).% + . . . . Sif / L, posito X — a, = H ot H — j L = V; (M-il pcr ï^ IV

ô / Z (posito J7 = a)

= /'[N + (N) V] èy 4-/[P 4- (P) V] ^ov h/[Q + (0)V] d'-h'. . . ,

iiiidc, ul su|)i'a, d'il |)i'o inaximo niiniiiiovc,

Kodem modo oporandum pro foiiiiula prop. IV, (]ap. III; cl in iiiiivorsiim (lua'cumquc et quotcunque integralia involvantiir; lui jus itaqiip analysin brovifatis gratia omitto; et progrcdiar ad lornuiiain jiiop. \' cjusdeni C.ap., qiue mira f'aciiitale etiam resoiviliii'.

Sit3°

ÔZ = L âTT + N df + P §df + Q èd\y + . . . ,