Z); Ô(Z)r=(L)'57r + (N)oj-h(P)oV/j

sou, eliminando (z),

ddr. = ( L) en + (N) §j -+- {P)dàf -t- . . . ;

sit, l)rovi(a(is gratia,

erit aequalis

doTï — ( L ) ôtt =: V ;

unde per régulas cognitas integrando hahchimns

uude fiet

èfZ =z /'n §y +/P c/ôj 4- . . .

4- y'eWL /■e-J'iLi(N) 0/ + y"eJ''-'L j 'c'-.''" '( P) ôj- + . . . ;

quapropler, si ^ eJ'"'!.. posilo .r = a, abeat in H, et H — /V'"L in V, habebimus operando ut supra

N 4- ( N ) e--'""'' V ^[ p + ( i> ) ^-/ii.; V] 4- . . . = G,

sou, poiuMulo e •"''V= S, erit

N + (N)S-rf[P4-(P)S] + f/-[Q-h(Q)S]-... = o;

siinilili'i' inviMiio oliaiii aMjtialioiUMii pro liaboiulo inaximo miiiiiiiove, si [)!•() 0- loco siiporioris îpqualionis

dèr. — (L) ô- + (N) OY + (P) f/o/ 4-. . ,

liahoatur ha'c alia

rf^ÔTT = (/.■) f/o- + ( L) 0- -^ (N) 5/ + ( P ) (/oK + . . .

(juod iisii vcnire potost iii (jua'rciula bracliistochrona in liypollicsi, (juod corpus urgeatur perpcluo versus daluni conlruin viriuin mobile, aliis in easibus bene mullis. Et generalilcr luec nielbodus succedil, cujuscunque ordinis difTerentialia ipsius o- in cjus œquatione conlineantur.

Scholion.

Quod supra in problem. I u( et in caHeris aliis posuerim oy, r/o>'. . . = o, idem ul, ibidem innui, ex eo lactum est, quod ut dalaconsideravcrim plura curvae puncta; ita ut j, y', y", . . . pro constantibus f'uerint habendi; vcrum si, exempli gralia, in casu primo unicum tantum detur punctum ; adeoque una applicala, seu y lantum baberi dcbeal |)ro constante, hinc fiet quidem 07 = 0 sed non dày = o; unde poncndum erit = o ejus coefficiens seuQ — ..., exquo habcbitur determinatio unius constantis; hic enim, ut patct, in Q — . . . ponitur jc = a; si nul- Inni vero punctum darctur prseter Q — . . . etiam P — dQ -i- . . . œquandum esset nibilo; unde duarum haberentur constantium determinaliones. Atquehoc, in caeteris probicmatibus, idem dicendum. Caeterum aliquando evenit, ut non puncta, sed ali» determinationes habeantur, ut in (fu;erenda curva citissimi appulsus ad rectam positione datam; bis, et similibus easibus, arlificio quodam simplicissimo uno, eodemque calcule non solum speciem, sed et individuitatem curvse quesitae invenio; ut in hoc exemplo calculus mibi slatim ostcndit, cam cssc illam cycloidem, quœ datam rectam ad angulos rectos secet.

ikk CORRESPONDANCE

Non omitteiuluni quod calculuin liiinc ad suiiorficics cIkiiii maxiiui minimiquc proprietate quapiam praedilas invcnicndas eadeni facilitalc ot iiniversalitatc applicuerim, quod ctsi jain a (iiiopiaiii lÏKMil pra^sliliirn, intollisffM'e vohomcntor ijaiidcrorn.

EULER A LA(. RANGE

Bcrolini, dio (i sopl. 17 )5 (•).

VlU l'R.ESTAMISSIMi: ATQLK EXCELLF.NTlSSIMi:,

Pcrlectis (uis postremis litteris, quibus Theoriam maximoriim ac ininimorum ad summum fere perfectionis fastigium erexissp vidoiis, cximiam ingonii tui sagacitatem satisadmirari non possum. Ciim onim non solum in Tractatu meode hoc argumento(-) melhodum moro analyticam dcsidcravissem, qua regulœ ibitradila^ orui posscnt, sod etiam deincepsnon parum studii in liujusmodi mcthododetegenda coiisumpsissem, maximo sanc gaudio mo afToeisli, (|ii()d (uas profundissimas aequo ac solidissimas moditationes super liis rel)us mecum bénévole communicare voluisti ; quamobrem tibi me maxime obstrictum agnosco. Statim autem perspexi analysin tuam, qua meas hujusmodi problematum soltiliones per sola analyseospra?cepta elicuisse multo latins palere mea metliodo ideis geomelricis innixa. In universa enim série valorum ipsius y, qui singulis valoribus ipsius x respondont, donec .x dato valori a œquetur, ego unicam valorem ipsius j dala (|uadani particula ûj augeri concepi, indequc incromenlum in l'orninla inlegrali / zojortum invcstigari, dum In, vir clarissime, singulas valores ipsius y

(' ) Mss. t. IV, f° 4- Lu Iroisiéme feuillet est en partie décliiré. — Leoiiardi Eaieii opéra postuma. Petropoli. 1862, in-4°, t. I, p. OSâ.

(-) C'est le Traité : Mcthodus inveiiiendi l'tneas curvas nia.ritni iiiiiiiin'u'c proprietate gaudentes, cité plus haut, p. i38. note G.

iiuletînila iiurenu-iila ov caporc assuinis (niaiii oh causain oliain non (luhito (|iiiii lua analysis, si |)(Miiliiis exrolatiir, ad luullo pi-ofnndiora niox sit porductura. (]iijus(juidoin pr;estaiiti;ie jam oximia oxcnipla a le fVdicitor cop.foota circa liiieas cilissiini aj)piilsus ad datamliiioam, quiii otiain de methodo niaxinioruin ad superiicios applicata coinnuMiioras, (jiue oninia ut accuratius pcrscquaris, oliam atquc ctiam te rogo. Mca ([uidoiii methodo usiis pliires liiijusmodi qusestiones circa supei'ticics pcilradavi in Scicnlia navali, quse duoI)us voluminilMis in-V\ l'clrojioli [duiihns abliinc annisprodiit ('). Quod aiitcni ad tuaiii niellioduni, (jiia singulis applicatis r incremenla ov liihuis, adincl, antcqiiain hoc ipsum quod non aperte indicas, animadverli, de consensu tuarum l'orniidanini ciun meis (hihilavcrain. Ut eiiiin / 'Ldx fiat maximum, exis-

lente

f/Z = N dy -}- 1> cV-y + Q d^ y + • • •

( uhi quidcm pro dx unilalcm ponis, non pro x uti forte hipsu cahimi notas), necessc est id luo sinnandi more sit o ^ Xdx seu \ oZdx=^ o. At vcro invcnio poncnch) Iccum i pro Ox

o fZ= y"(\ - f/P -dH) - r/'R +. . .)oy

-^ (P — f/Q ^ fl?m 4- . . .) or -+- ( Q - ^m + . . .) doy + . . .

et unde eoncludis esse dehere

N — dV — (IH) f/3R ^. . .:= o,

cum tamcn naliira inaximorum tanlum postulet ut sit

y (N — dV 4- f/- Q - r/4l + . . . ) oy = o,

N'erum perspecta amplitudine Si unicac applicatae/ iucrem

/ ( N — (/P -^ d^Q — ■ ■ ■)'^y ( d y a ici une grande dcchiiure)

l.arles (P — r/Q -f- c/-R — . . .)oy -^{Q X — a referanlur, evanescerc sensus (h'prchenilatur.

( ' ) Siicnlia navnlis, scu tractalus de c(>ii<:lruendi<; ac diri^cndis- /laviùtis. Pclropoli, 1749. 2 vol. 111-4".

IVG CORRESPONDANCE

Vehemenlcr etiam terogo, vir clarissimc, ut mihi ignoscas, qiiod ad tuas priores lilteras m lîommorcium nostrse urbis cum Italia ut nisi pci- mercatores promoveatiir non

possit. Quare cum mihi jam mercatorem luum indicaveris, lias lilteras ad eum per mercatorem mittere rogo, ad quem cliam tuam responsioiiem, qua forte me lionorare volueris, per tuum mercatorem luillere vellem.

Quod aulem in prioribus litteris de analogia differentialium cujusque ordinis fbrmuhe xy et terminorum binorum potestatis (a + b)'" allnlisti, eam jam a Leibnizio observatam esse mcmini quod, nisi fallor, in ejus cum Bernoullio commercio (') reperies. Vale et fave

ïibi addictissimo