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"-dX'^dY'^dZ-^'^^dV'
.Maintenant, avant
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dV X d\ '~ \ '
notre première équation deviendra
ou
JC ^ 3X j^ X ^ 2g/i dt' ^ V dV "*" V dV "^
I d^s ^ ds d^s^
à laquelle se réduisent aussi les deux autres, el réloignement du point r depuis le centre A sera
Y* = s v/X^-hY^-hZ^ = \Jp^ -\-q^+ r-.
(|iii en niai(|ii(' le déplacement par rapport à l'état d'équilibre; de sorte (Hie le lavoii d'une couche spliérique, qui dans l'état d'équilibre était égal à ^ , sera à présent égal à V -+- V.v. Donc, si nous posons \s = u,
ou ^— ^, alin (|ne // exprime le changement de cette couche, la particule // sei'a déterminée |)ar cette équation
I ô- u 2u 2 du d^ u
Apres plusieurs recherches, j'ai enfin trouvé que cette équation admet une résolution générale semblable au cas où l'on ne suppose à l'air qu'une seule dimension; que <ï>(^) marque une fonction quelcoii(|ue de z, et qu'on indique son différentiel en [cette] sorte,
('ela posé, on verra qu'on satisfait ;i notre équation en supposant Donc, pour le commencement de l'agitation, nous aurons cette é(iuali()n
d'où l'on voit que, pour appliquer cette formule à la propagation tin son, la fonction <ï>(') doit toujours être égale à zéro, excepté les cas où la quantité z est extrêmement petite. Or il faut que la fonction $(:;) ait la même propriété et encore celle-ci 4>"(^)» pu supposant d^'{£)^=<^"{z)dz, afin que non seulement la quantité u, mais aussi la
vitesse — s'évanouissent au commencement, paitont exce|)té dans le petit es|)ac(> autour de A, où s'est fait l'ébranlement primilif. Que le caractère M' mar(|iie des foiuiions discontinues de la même uainre, et nous aurons la sidulion générale ([ni suit
« = ^ (l)( V + ^ V^2^) — ^ *' ( V + < \rï^i)
T)i: L\G RANGE AVEC EULER. IS";
et, pour la vitesse,
du Av^aWi.,/,^ / , \ kJisrli , ,,/.^ , 7\
— ^^'t'Cv - tsr^i) + ^^^"^"{y -t^igh).
De là il est clair (jiruiie couche sphérique, dont le rayon est éi>al à ^', demeure en repos tant que la formule V — /\/2^/? ne devienne assez petite ou moindre que le rayon de la petite sphère ébranlée au commencement: et partant l'agitation pi'imitive sera répandue à la distance V api'ès le temiis / = secondes. D'où il suit la même vitesse
du son que Newton a trouvée, c'est-à-dire plus petite (jue selon les expériences. D'où je conclus que, ayant supposé dans ce calcul les él)ranlements infiniment petits, leur grandeur cause une pro[)agation plus prompte. Ensuite ces formules nous apprennent que, lorsque les distances V sont fort grandes, les termes divisés par V- s'évanouissant ;i l'égard des autres divisés par Y, tant les petits espaces // que les
vitesses -j- diminuent en raison des distances; d'où l'on peut justeiuenl
juger de l'affaiblissement du son par des grandes distances.
Voilà mes recherches, que vous pourrez insérer, Monsieur, à votre second Volume, si vous le jugez à propos. .le les ai abrégées aulanl qu'il m'a été possible, et si vous y vouliez ajouter vos remarques, ou quelques éclaircissements, je vous en serais infiniment obligé. Il y a longtemps que j'ai examiné les sons des cordes ((ui ne sont pas égaleiiieul épaisses, et je viens de lire à notre Académie (juelques Mémoires sur le son des cloches et des tambours ou timbales { ' ), fondés sui' la même théoi'ie des fonctions discontinues. Faites bien mes compliments
( ' ) Ces Mémoires sur le son des cloches et des tambours ont été publics dans le Tome \ des Novi Commentar'd de Pélersbourg, année 1766, sous les titres : De motu vibratorio tympanorum f p. 2|3-2r)0). — Tciitamcn de sono campanarum (p. 0.61-28 1).
les plus ompressés à loulc voire illustre Société, et soyez assuré que je suis avec le plus parfait attachement, Monsieur,
Votre très humble et très obéissant serviteur,
