L. EULER

Monsieur,

Turin, le i'"' mars 1760 (,i).

Notre Société a reçu la pièce que vous m'avez fait l'honneur de m'adresser dans votre dernière lettre du i*^' janvier, avec tous les sentiments d'estime et de reconnaissance dus au mérite de votre illustre personne. Elle est extrêmement flattée de pouvoir orner ses nouveaux Mélanges d'un nom tel que le vôtre, ce qui ne peut pas manquer de lui attirer dans le public une considération à laquelle elle n'aurait jamais osé prétendre. Quelques occupations indispensables m'ont empêché de vous répondre plus tôt pour m'acquitter de ce devoir que foute la Société m'a d'abord imposé de vous remercier en son nom, et de vous témoigner combien elle a été sensible à une telle marque d'honneur (ju'il vous a plu de lui donner; je vous prie d'en recevoir mes très humbles excuses. .T'ai lu vos recherches sur la propagation des ébranlements dans un milieu élastique avec la même admiration avec laquelle j'ai toujours étudié tous vos Ouvrages, .l'ai été charmé surtout de voir l'analyse du |)roblème de la propagation des ébranlements finis, sur lequel je m'étais déjà exercé en vain; je doute cependant qu'on puisse jamais, au moins par les méthodes connues, parvenir à la construction de telles équations, dans lesquelles les fonctions inconnues se trouvent engagées entre elles dans des puissances quclconcfues, comme il en est

(') Lettres inédites, p. 4i-

tlo «•('lies (jtio vous avez (U'couvcrd's |)(nir los ('Iji'aiilciiKMits finis. II v a longtoiups (lue ciMlc os[)t'oo iréquations in'esl ooiimic, y ayant été conduit par la rocluM'che clos plus grands et plus petits dans les surfaces (•ourl)(>s, selon ma méthode analyli(|ue, (jue j'ai en autrefois l'honneur de vous communi(juer. Par exemple, si l'on cherche la figure d'un corps qui, sous la même surface, ait la plus grande solidité, je trouve, en appelant .v, y, :■ ses coordonnées rectangles, de sorte que r= fonctions J", j', et (/:■ = pda- -h qdy, l'équation générale

dp do I

à^ s/l-^p^'^q'' ày \/ 1 -^ p- -\- q- «

a étant une constante arhitraire quelconque, je vois que je puis satisfaire à cette équation en supposant z- = \a- — j:- — y-, ce qui donne une sphère de rayon = -la; mais ce n'est là qu'une solution tout à fait particulière. A l'égard de la générale, je désespère de pouvoir jamais la trouver. Il en est de même de tous les autres problèmes de maximis et tninimis, que personne que je sache n'a jamais encore traités sous ce nouveau point de vue. J'ai été extrêmement satisfait de trouver dans votre Mémoire la construction de l'équation pour les ébranlements sphériques infiniment petits, tout à fait conforme à celle que ma méthode m'a donnée et que j'espère que vous aurez pu voir dans la lettre que je vous ai, pour cela, envoyée le 27 décembre de l'année passée. Il n'y a de différence entre vos résultats et les miens, qu'en ce qui regarde l'affaiblissement des ébranlements, dont vous faites diminuer la force en raison inverse des distances, lorsqu'elles sont assez grandes, au lieu que cette raison se trouve, selon mes calculs, toujours l'inverse des carrés des distances; mais c'est une méprise (jue j'ai reconnue ensuite, ef dans laquelle je n'ai été entraîné qu'en considérant l'équation intégrale

(jiii in'rlail d'ahoi'd rcsuilée, sans y donner l'attention nécessaire. M. Daniel Hernoulli m'a écrit, il n'y a pas longtemps, que des recherches

(jii'il avait faites autrefois sur les vibrations de l'air dans des tuyaux (îoniques lui avaient appris que la force des ébranlements diminuait aussi dans la raison inverse des distances simples depuis le sommet du cône, ce qui devait être ainsi pour tout ébranlement répandu à la ronde autour d'un centre. Il faudrait que la même loi fût encore observée dans la lumière, supposé que sa propagation se fasse, comme il est très vraisemblable, par les ébranlements d'un milieu élastique, ce qui ne s'accordepas avec l'opinion reçue des physiciens, qui établissent sa diminution dans la raison inverse doublée des distances : c'est pourquoi ce géomètre souhaiterait qu'on fit sur ce projet des expériences exactes qui pussent nous mettre en état de décider un point si important.

Dans ma dernière lettre mentionnée, je n'ai donné que les formules générales pour résoudre l'équation

fPz d

qui contient les lois des ébranlements de l'air dans un tuyau conoïdal, dont les sections sont proportionnelles à Z'", formules qui ne deviennent exactes et finies, que lorsque ± {m + i) — i est un nombre pair positif. Or, j'ai trouvé depuis moyen de les étendre encore à cette autre équation

qui est beaucoup plus générale et qui appartient aussi au même problème; mais, en supposant l'air hétérogène et de différente gravité spécifique, j'ai trouvé que, pour que la valeur de :; soit ici exprimée par

une formule finie, il faut que ± i soif un nomI)re i)air posi-

tif. Si on suppose m ^ o, on a la solution du problème des vibrations des cordes inégalement épaisses, qui ne |>('ut être exacte, par mes cal-

culs, à moins (rue ± i soit un nombre pair i)0silif, de sorte

(jue, posant |)our [j. un nombre quelconque entier positif, il faudra ([uc

n =±: 2. Par exemple, si [x :=; o et (ju'on [)i('nne le signe

néo;a(ir, on aura

/i — 4 el 5 = Z9(Z-'±:<V^);

si UL i^ 1 , prônant le signe posilif, on aura // ^ — | et la valeur de :: sora

en général, ces formules auront toujours autant de termes qu'il y a d'unités dans tx + i ; mais ce qu'il y a de remarcjuabie, c'est qu'excepté la première, et celle où n = o, qui ne sont composées que d'un seul terme, toutes les autres donnent des courbes génératrices avec des branches dissemblables à l'infini ; d'où il suit que les cordes ne peuvent jamais plus reprendre leur figure primitive, si cela n'arrive par hasard, et rendre par conséquent un ton fixe et invariable; c'est ce que rcx|)erience parait confirmer dans toutes les cordes d'inégale épaisseur, et que les musiciens nomment pour cela fausses. Comme il serait de la dernière importance de décider si la grandeur des ébranlements peut rendre leur propagation plus prompte, j'ai cherché des moyens pour résoudre ce problème au moins par approximation, en supposant d'abord les ébranlements infiniment petits et puis en introduisant dans les termes qu'on a négligés les valeurs trouvées, et résolvant de nonveau l'équation, comme on le pratique ordinairement dans toutes les approximations. J'ai vu que le tout dépendait de la résolution des équations

dV ^ d'L

F étant une Ibncticui (|nelconqne donnée de Z et /; or j'ai trouvé pour cela, selon ma méthode, les formules suivantes : soit fait Z + ^ y'c=/>; Z — /\c = <y et, substituant dans / Fr/Z au lieu de Z d'abord /^ — / yV, ensuite q -h / \c, qu'elle devienne .];(/;, / ) et ^(V/, /); on aura, |)onr la première équation,

, . , , ril(p,t)-'h{r/,t)]dt

et, pour la seconde,

dt

Or, en considérant le cas d'une ligne physique d'air, on trouve aisé ment l'équation

d-z à^ d fà2± d^

on aura donc, pour la première approximation qui provient du terme àZ''

sauf erreur de calcul; on trouvera aussi, par les approximations suivantes, des termes de trois, de quatre, ... dimensions de o. Or, afin que la vitesse de la propagation augmente, il faudrait que ce fût le coefficient de / dans 9(7?) et o{(/) qui augmente, ce qui devrait donner des termes à ajoutera cp de cette sorte outzi', '^l'o", . . . , d'où il me parail raisonnable de pouvoir conclure que les termes trouvés ne sont nullement propres à faire augmenter cette vitesse. On trouvera aussi des résultats semblables en calculant la propagation par la seconde formule; mais je me défendrai néanmoins de rien décider sur ce point avani d\'n avoir votre jugement, que je suis très empressé à vous demander. Au reste, lorsque le temps / aura une valeur assez grande, les termes qui ne sont pas multipliés par / s'évanouiront auprès de ceux de leurs semblables qui le sont; on trouvera dans ce cas la formule

^ct^ ./—

A l'égard de la formule pour la propagation spbérique, elle es( si compliquée (|ue ce n'esl |)as la ()eine de la ti'anscrire ici.

J'ai riKtiincur irèlrc, avci' i\nv parfailc considrralion et tm t'iiticr

(IcVOtlt'IlH'Ill.

Votre Iri's luiiiibic, et tivs obéissant sei'vileiw,

Di: \.\ (ii',AN(;i:.

LAGRANGn: A ELILI]K.

A Turin, ce ij juin ijdo (').

^lONSIElR,

Voici le second NOhinie des Me/a/i<^rs de notre Société (|ue le Hoi a bien vonlii lionorer dn litre de Soriéte Royale. Elle m'a chargé de vous l'envoyer, et de vous prier de raccepter comme un tribut ((u'(dle vous doit et ([u'elle est bien glorieuse de vous devoir. Comme j'ai (jU(d(}ue part à cet Ouvrage, je vous prie encore. Monsieur, de me permettre de vous le |)résenter comme un témoignage du respect et de l'attacliement avec lequel je suis et je serai toute ma vie. Monsieur,

Votre très humble et très obéissant serviteur,

[)f. la (iRANGi:.

I Monsieur Euler, Directeur de V Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin.

EULER A LAGRANGE

Berlin, i.'i juin ijfio {'^).

MONSIELII,

Je suis bien flatté de l'approbation dont votre illustre Académie, et

(') Lettres inédites, p. 45-

(*) Ms. f i6. — Opéra pnsttuna, t. IF, p. >(«i.

i9'i. CORRESPONDANCE

vous cil ijailiciilicr, avez bien voulu houorer mon essai sur les ébranlements dans un milieu élastique; l'honneur de ces profondes recherches est uniquement dû à votre sagacité, et je n'y ai rien ftiit que protiter des lumières que votre excellent Mémoire m'a fournies. Vous y avez ouvert une carrière tout à fait nouvelle, oîi tous les géomètres qui viendront après nous trouveront toujours abondamment de quoi occuper leur adresse, et, à mesure qu'ils y réussiront, l'Analyse en acquerra des accroissements très considérables. Or la matière même est sans doute la [)his ini[)ortante dans la Physique : non seulement tous les phénomènes de la propagation du son en dépendiMit, mais je suis assuré que la |)ropagation de la lumière suit les mêmes lois. On n'a qu'à substituer l'élher au lieu de l'air, et les ébranlements qui y sont répandus nous donneront la propagation d(^ la lumière. Maintenant il serait à souhaiter qu'on put déterminer les altérations que les ébranlements excités dans un milieu souffrent lorsqu'ils passent dans un autre milieu dont la densité e( l'élasticité sont différentes. Je ne sais pas si l'on peut espérer la solution de ce problème, mais je suis convaincu qu'on y découvrirait infailliblement non seulement les véritables lois de la réfraction, mais aussi la plus complète explication de la réflexion dont la réfraction est toujours accompagnée : on verrait qu'il est impossible que les rayons passentd'un milieu dans un autre, sans qu'une partie rebrousse chemin. Peut-être que cette considération pourrait faciliter le développement de l'analyse et fournir au moins quelques solutions particulières; mais on rencontrera ici une nouvelle difficulté. Comme il faut estimer tant la densité (jue l'élasticité des autres milieux transparents, comme par exemple du verre, la densité, étant si grande par rapport à celle de l'éther sans qu'on puisse supposer plus grande son élasticité qu(! la vitesse des rayons dans le verre, deviendrait extrêmement petite; cependant je crois que la réfraction même prouve sutrisamment que la vitesse des rayons dans le verre à celle dans l'éther doit être dans la raison de 2 à 3. Si les pores du verre sont remplis d'un élher pur |>ar le(|uei se ferait la propagalion, il semble que la matière du veri'e n'y contribuerait en rien, ce (|ui est |)oiirtant faux. De là je voudrais bien conclure (]n"il làut

li'iiir coniplc des parliriilcs du verre nièiiic. mais (riiiic iiiaiiièiT ImiiI à t'ait ilillV'i'cnle de cidlc donl nous concevons la propagation des ébranlements par l'air, où nous sn|)posons les moindres particules |)ar(ailement li([uides. Or il doit y avoir une dillérence très essenli(dle entre les particules fluides et solides dont le milieu est com[)()sé : par les |)articules fluides, les impressions ne sont transmises (jue successiveiuenl, pendant (ju'une particule solide, élanl frappée par un liout, transmet le coii|) (juasi dans nu instant à l'autre honi; el je crois (|ue c'est la l'aison pourquoi les rayons de lumière traversent le verre avec une si prodigieuse vitesse, que si la densité était des milliers de l'ois plus petite qu'elle n'est elTectivement. Cette pensée me semble conduire à l'explication de cet étrange phénomène, que la vitesse du son par l'air est plus grande que le calcul nous l'indi(jue. Tous les efl'orts que vous avez faits pour déterminer la propagation des ébranlements tinis prouveront incontestablement qu'aucune accélération n'en saurait résulter, comme je l'avais soupçonné. II faut donc (jue cette accélération actuelle (|ue l'expérience nous découvre dans la propagation du son provienne d'une autre cause. Ne pourrait-on donc dire que l'air n'est pas un milieu parfaitement liquide dans ses moindres particules, mais qu'il renferme des particules solides ou rigides qui , étant frappées d'un côté, communiquent l'impulsion dans un instant à l'autre (;ôté, et (|ne la propagation successive, sur laquelle est fondé le calcul, n'a |jas lieu dans ces partii'ules solides? Je crois que cette ex|)lication pourrait être vérifiée par quantité d'expériences, où le sou est transmis par d'antres corps que l'air. Nous savons ({ue le son ()énètre par Ions les corps, pourvu ([u'ils ne soient pas trop épais. On entend parler à travers des murailles, et l'on ne saurait dire que la communication se fasse par les particules d'air renfermées dans les pores de la muraille; la pro[)agalion du son se fait plutôt par la substance de la muraille. VA il me semble <(ue (ous les corps sont, |)ar lapporl an son, la même chose (jue les corj)s transparents par rapport ii la lumière; et comme tous les corps, si sont assez minces, sont transparents, et que réciprixpiement les c(»r|)s transparents, si sont trop épais, |)erdent la

1!h; correspondance

transparence; il en esl de même de tous les corps à l'égard dn son, (|ni tous, s'ils ne sont |)as lro[» épais, transmettent les sons, les uns pourtant plus aisément que les autres. Je souhaiterais qu'on fit plus d'expériences sur cette matière et qu'on examinât surtout si le son, en traversant un autre cor[)s, ne soufiVe point quelque réfraction, .le vois bien (|ue la chose serait assujettie à de grandes difficultés, puis(|ue nous ne jtouvons pas si aisément juger de la direction du son que de la lumière. La question que notre Académie vient de proposer pour l'année; 17G2 est relative à cette matière. On demande une explication mathématique, comment la représentation du son se fait dans l'organe de l'ouïe; semblable ou analogue à celle dont on expli(jue la représentation des objets visibles dans le fond de l'œil. H faut bien que les rayons quasi sonores, qui partent d'un point sonore, soient réunis dans un seul point dans la cavité de l'oreille, et qu'ils y représentent une es])èce d'image ou un simulacre, sans quoi il serait impossible que nous distinaïuassions tant de sons différents. Or une telle réunion des rayons sonores, qui sont divergents en entrant dans l'oreille, ne saurai! arriver sans une espèce de réfraction; voilà donc à (juoi se réduit notre question, c'est de montrer que les rayons sonores sont assujettis à ([uelque réfraction sous certaines circonstances. Quelques expériences nous j)ourraient fournir bien de la lumière là-dessus; par exem|)le, l'angle d'un bastion y pourrait servir. Si quelqu'un en A criait bien

fori , un autre en R devrait juger suivant quelle direction il écouterail le son. Or, ayant bien dév(doppé les circonstances sous les(|U(dles la direction du son souffre (juelque changement, on ne manquera pas de rencontrer de [)areilles circonstances dans la sti'uclurede l'oreille. Puissiez-vous vous résoudre, .Monsieur, ;i travailler sur cette ques-

DE LA(. RANGE AVEC EULER. li)7

fion; je doute fori (|ii(' loul autre (juc vous soit capable de travailler là-dossus.

Quoique la diminution dos ébranlemcMits transmis à de grandes distances suive la raison des distances, je crois pourtant que la force du son que nous apercevons soit proportionnelle réciproquement au carré des distances. Chaque particule d'air étant ébranlée se meut par un certain espace qui détermine son excursion, et tant cet espace que la j)lus grande vitesse même qu'elle y acquiert est réciproquement [)r()portionncd ;» la distance (si je ne me trompe, car j'oublie aisément telles circonstances, et je n'ai pas le temps de consulter mes calculs); or il me semble que la force dont une telle particule frappe nos organes dépend conjointement de son excursion et de sa vitesse, ce qui produirait la raison inverse des carrés. Vous aurez vu sans doute la Photométrie de M. Lambert, où il prouve incontestablement que la force des lumières décroit en raison inverse du carré des distances; mais il parle de la force et non pas de la vitesse ou de l'excussion de chaque particule; et, partant, je ne trouve aucune contradiction entre ses expériences et nos calculs.

Ce que vous me marquez, 31onsieur, sur les ébranlements de l'air dans un tuyau conoidal, où vous supposez même l'air hétérogène, est extrêmement profond, et quoiqu'il ne puisse servira nous éclairer sur la réfraction, vous en pourrez connaître, pour les cas où l'équation est résoluble, s'il n'y a point des ébranlements répandus aussi en arrière. Cela prouverait que, dans toutes les réfractions, ou lorsqu'un ravon passe d'un milieu dans un autre, il s'y fait toujours qucdque réflexion.

Pour les formules que vous avez trouvées pour la tîgure d'un corps qui sous la même surface ait la plus grande solidité, où p et q doivent être telles fonctions de oc et j, pour que cette formulo, p dx -\- q dy devienne intégrable, j'ai remarqué que l'autre condition se réduit à ce

. . !• . pdy — n dx y dx ^ ■ , ■ . , ■ , . . .

(lue cette lormule -, = — doit aussi (;tre intei<ral)l(S mais

cela n'avance rien.

Au reste, la soliilion générale doit être telle (|iie, posant r- = o,

198 CORUESPONDANCE

l'équalion ('nlr('.r et j donne une tignre qiieleoii([ue et même décrite par liasard, sans avoir quelque continuité.

J'ai riioniieiir d'èlre avec la pins profonde» considération, ^lonsienr,

Votre très humble e( Iri's obéissant servitcnir,