XIV. 2G

Pour cet effet, considérani iiiie fonction quelconque de / et. r qui soitc,

|)uis(|ue

, àv ,, <)v , rfe — -T- rtf -1- -T- dx ot ôx

et par les nouvelles variables

dv =: ^r- ap 4- — - an,

en substituant ici ponr dp et (l(j leurs valeurs, j'aurai

j àv j -. ()e ,, , dv , , -.àv ,,

d^' ^ x-^dx + a---dt -\-y -i—dx + û-^r-dt, dp dp ' aq or]

d'où il s'ensuit, pour les substitutions dont j'ai besoin,

âc „ di' -s âv dv (h' àv

ôt ap ùq OX dp ' oq

donc

dz ^dz ^dz . d'-z ^,d'z ,. d'z ^^d'-z

df ^ c^y-» dq df' dp- "^ J/' dq

dz dz d'z . d'z ,d'-z d'z ,d'z

dx dp ' ()q dx- dp- ' dp dq ' dq'-

.)iaiu(enanl je pose

j3^ — 3£-a=:o et ô- — y'-a^o ou

(3 = a y/^ et ^ z=. — y \] a ,

p(uir avoir celle é(jua(ion

■2{Pà — xyfi)~—^=o ou -j — î- = ^•

' ()p dq dp dq

A présent M. d'Aleinbert ne saurait disconvenir (|ue l'inlégralion de celle t'ornuile, en ne j)renant (jucy; variable, ne donne

dz ,, .

('( cnsuilc. (";iisaii( ([iiarror,

OÙ cos fonctions sont absolument indéterminées et dé[)en(len( entièrement (le notre volonté, de sorte (jue la t'onstruction générale se puisse taire par deux courbes décrites à j)laisir, l'appliquée de l'une donnant Z)[ic — t \rt) pour l'abscisse x ~ l \a, et de l'autre '\>{x -{- 1 \a) pour l'abscisse x + / v^- ÎMais, si l'on demandait une semblable intégrale complète pour le cas où a serait une quantité négative — h, je ne vois pas commenl on la |)ourrait représenter par des courbes arbitraires, puisqu'on n'y saurait assigner les appliquées qui répondent à des abscisses imaginaires. La réduction au\ arcs de cercle, en posant

j:'=zccos9 et /y'Â^csino, qui donneront

combien de termes qu'on ne [)rennc ( '), ne saurait jamais |)i'o(luire une solution générale, en sorte que posant / = o, il en résulte enire r- et r une relation donnée exprimée par quelque courbe décrite à volonté.

Pour le problème des isopérimètres pris dans sa |)lus grande élcndiie, c'est à vous que nous sommes redevables de la plus [)arfaite solution, et je fus bien surpris de voir par quelle adresse vous l'avez étendu ;i (les surfaces et même à tles j)olygones. Vous conviendrez que ces profondes recberches mériteraient un développement plus détaillé. Il est fàclieux que la solution du cas oii Von demande, entre tous les solides de la même capacité, celui dont la surface est la plus pelile conduise ;i une è([ualion presipie absoliimenl intraitable; on voit !)ien (|ue les surfaces spbériques et cvlindriques v sont comprises, sans être en état de les en conclure. Mais les corps ont des bizarreries (|ui ne se trouvent |ias dans lc> surfaces: (|uoi(|ue tous les C(")fés d'un polvgone et même

H; C'est-ù-dire quel que ioil le nombre tles termes.

leur ordre soient donnés, la figure es( encore susceptible d'une infinité de déterminations; mais, dans un j)olyè(lre, dès qu'on connaît tous les lièdres(') avec leur ordre, le corps est tout à fait déterminé. Ensuite, on ne saurait donner deux courbes différentes qui aient ])our toutes les abscisses des arcs égaux; mais on peut toujours trouver une infinité de surfaces différentes oîi les éléments dx dy sj i -\- p- -\- q"^ soient les mêmes. Ainsi les sui'faces coni([ues dont l'axe est perpendiculaire à la base conviennent avec une surface plane, et les corps exprimés j)ar ces équations nz=^xy et iaz^=x'- ~\- y- ont leurs surfaces égales, puisque P' + ff l'st le même de part et d'autre; maison trouve aisément une infinité d'autres surfaces de la même nature, où l'on peut même introduire des fonctions arbitraires et discontinues. Or il est plus difficile de liouver de tels corj)s, dont la surface convienne avec celle de la sphère. Il s'agit de trouver une telle équation intégrable dz^=pdx^qdy

que p- ^ G' soit éi?al à -^ -^ — -■ Je puis bien définir toutes b^s

II I r< a-— X-— y^ *-

fonctions possibles pour p et q, nuiis je n'en i)uis tirer aucune d'où l'équation entre x, y et z devient algébrique. C'est encore un sujet (|ui demande la nouvelle branche d(> l'Analyse qui loule sur les fondions de deux ou plusieurs variables, de certains rapports entre leurs dillerenliels élant donnés.

Sur le problème du mouvement d'un cor|is attiré vers deux points fixes en raison réciproque carrée des distances, j'ai trouvé moyen de construire la courbe que le corps décrit (fiiand même elle ne serait point dans le même ))lan, et j'y ai observé une infinité de cas où la courbe devient algébrique, outre ceux de l'ellipse ou hyperbole dont les foyers tombent dans les deux points fixes.

J'ai l'honueur d'être avec la plus haute considération, monsieur,

A'otre très humble et trî's obéissant serviteui',