L. Imlf.r

( ' ) Hùdrc, surface.

1)1- LAGHWCE AVEC El LE 15. 205

EULER A LAGRANGK.

Berlin, le Mi février rjGJ ( ' ).

-MctNSIKl T>,

La iti'a.'icusc déclaralion que vous vcmioz de mo fairo de la j)arl de la Société royale de Turiu devait sans doute faire la plus vive impression sur iiK.n espril; aussi eu suis-je entièrement pénétré de la plus respectueuse reconnaissance; ce que je vous prie de lui témoigner avec la plus forte assurance que je saisirai avec le jjIus i^rand empressement toutes les occasions, où je serai capable de rendre quelques services à cette illustre Société, à laquelle je prends la liberté de présenter les pièces ci-jointes, dont deux roulent aussi sur le mouvement des cordes ('). -M. d'Alemberl m'a aussi fait quantité d'objections sur ce sujet; mais je vous avoue qu'elles ne me paraissent pas assez fortes pour renverser votre solution. Ce grand génie me semble un peu trop enclin à détruire tout ce qui n'est pas construit par lui-même. Quand la figure initiale de la corde n'est pas telle qu'il prétend qu'elle devrait être, je ne saurais me persuader que son mouvement fût différent de celui que notre solution lui assigne; et, quand M. d'Alembert soutient que, dans ces cas, le mouvement ne saurait être compris sous la loi de continuité, je lui accorde très volontiers cette remarque, mais je soutiens aussi à mon tour que ma solution donne ce même mouvement discontinu; car c'est nne propriété essentielle des équations différentielles à trois et à plusieurs variables, que leurs intégrales renferment des fonctions arbitraires qui peuvent aussi bien être discontinues que continues.

Après cette remarque, je vous accorde aisément, monsieur, que pour que le mouvement de la corde soit conforme à la loi de continuité, il

( ' ) Ms. t. I\', (" (9 /jif. — Opéra posluma, t. I, p. jfiG.

(2) Le Tome m des Mitccllanea taurinensla conllenl cinq Mémoires d'Euler et, entre autres, Eclaircissements sur le mouvement des cordes vibrantes. - Recherches sur le mouvement des cordei inégalement épaisses.

f'aiil (|ii(', dans la figure iiiilialo, les -~, -—■, -j^, ■ ■ ■ soient égales à o aux deux exlréniilés; mais, quoique ces conditions n'aient j)as lieu, je crois pouvoir soutcnii' (jue notre solution donnera néanmoins le vérilal)le mouvement de la corde; car, dans ce cas, il y aura bien (|uel(|ue erreur dans la détermination du mouvement d(>s éléments extrêmes de la corde; mais, par cette même raison, l'erreui-sera infiniment petite, et partant nulle.

T()ufes les circonstances de ce problème ne me sont plus assez présentes ]>our oser prononcer plus hardiment là dessus; mais il me semble ([ue par de semblables objections, dont M. d'Alembert combat notre solution, on pourrait combattre les vérités les mieux constatées. Par exemple, je dirais <jtie la formule j y d-r ne saurait donner l'aire d'une courbe APM, à moins qu'il ne soit -.- = o au commen-

cément A où j — o; car, puisque dans chaque élément de l'aire, (jui est véritablement égale kydx -+- r.dxdy, on néglige le petit triangle \dxdy, cela ne saurait plus être pratiqué au commencement A où j, et partant le premier membre jf/x = o, attendu que là le second membre \dxdy pourrait même être infiniment plus grand <|ne le premier, \\ moins

(|u'il ne fût -^- = o. Comme donc, nonobstant cette objection, la formule /yofic exprime toujours la véritable aire de la courbe, je crois aussi (|ue notre solution sur les c(U'des donne toujours le vrai mouvement, quoique le premier et le dernier élément soient assujettis à un grand inconvénient, ou même à une contradiction apparente. M. d'Alembert témoigne partout un trop grand empressement de rendre douteux tout ce qui a été soutenu par d'autres, et il ne permettra jamais qu'on fasse de semblables objections contre ses propres recherches.

J'avais déjà reçu le projet de la nouvelle édition des Ouvrages de

DE LA G RANGE AVEC El LER. 207

L(Mbiiitz ( ' ), ot je crois (|iu' .M. Forincy aura déjà iiiai'([iu'' à l'éditeur (|u"(ui vicut (le découvrir à Hauuover (juantité d'Ouvrages uiauuscrits de ce iiraïul liouiuie, dout ou a uouvellenieut publié les remarques sur Locke. Sur la fauieuse eoufroverse louehaut le Calcul différentiel ( - ), je ne saurais dire autre chose que ce (jue j'avais déjà dit dans la préface lie mon Calcul ditlerentiel (').

Le Xn*-" Volume de nos Mémoires est sous la presse et paraîtra à Pâques, de même que mon Ouvrage sur la Mécanique qui s'imprime ii Kostock ('V J'ai achevé, il y a longtemps, mon Ouvrage Sur le Calcul intégral, mais il n'y a aucune apparence qu'il soit j)ublié sitôt faute de libraires. L'Académie de Russie vient de publier le LX" A'olume de ses XoiHcaux Commentaires. J'avais aussi depuis longtemps achevé un Traité sur la Dioptrique, dont le résultat se trouve dans le XIII*^ Volume de nos Mémoires (^ ); mais, comme on vient de découvrir de nouvelles espèces de verre, qui causent une beaucoup plus grande réfraction que le verre ordinaire, je suis actuellement occupé à refondre mon Ouvrage et à raj)pli(juer à toutes les diverses espèces de verre, puisque, par ce moyen, on peut procurer aux instruments dioptriques un beaucoup plus haut degré de perfection.

Je suis extrêmement ravi que le rétablissement de la paix me i)rocure l'avantage de recommencer votre correspondance, qui m'a toujours fourni les plus importants éclaircissements, et je me flatte d'en retirer à l'avenir encore un plus grand profit.

J'ai l'honneur d'être avec la plus parfaite considération, monsieur.

Votre très huml)le et très obéissant serviteur,