IJ
A Berlin, ce i" octobre 1774 (')•
Voici, mon cher c( illustre Confrère, le Mémoire que je vous ai promis. Il a besoin de toute votre indulgence et de celle de vos Confrères; je vous prie de ne le présenter à l'Académie que lorsque vous et M. d'Alembert l'aurez examiné. Quoiqu'il m'ait coûté beaucoup de travail à cause des calculs numériques que j'ai été obligé d'entreprendre^ en faveur des astronomes, je suis bien éloigné d'y attacher le moindre prix; et je m'en rapporte entièrement à votre jugement et à celui de notre illustre ami. J'adresse le paquet à M. de Maurepas, ainsi que vous me le marquez; dès que vous l'aurez reçu, je vous serai infiniment obligé de m'en donner avis pour m'ôter toute inquiétude à son égard.
Vous avez dû recevoir deux ou trois de mes lettres; j'ai reçu à mon tour tous vos paquets. Je vous remercie de tout mon cœur des feuilles (jue vous avez bien voulu m'envoyer; tout ce qui me vient de vous m'est doublement précieux; j'aime vos ouvrages, et comme ceux d'un des premiers savants du siècle, et comme ceux d'un de mes meilleurs amis. J'ai lu votre Histoire de l'Académie ainsi que l'éloge de Fontaine avec une satisfaction que je ne saurais vous exprimer; votre manière me |)lait infiniment, et je la préfère, à plusieurs égards, à celle de Fonlenelle; vous avez du moins sur lui l'avantage d'être bien versé dans les matières sur lesquelles vous raisonnez. J'ai trouvé souvent dans les articles de Géométrie et de Mécanique de Fontenelle un galimatias inintelligible : à force de vouloir mettre les choses à la portée du commun, il devenait souvent obscur pour les savants.
Vos Théorèmes sur les quadratures ('-) m'ont donné lieu d'admirer de
( ' ) Ms. f° 3o.
(2) /'oir le .Mémoire inséré dans le Volume de IWcadcmie do 1771 (publié en 1774). p. 693 à 704.
plu> iMi plus votre génio ot la force de votre tète; (juand même ces théorèmes seraient sujets à des exceptions, il y aurait toujours beaucoup de mérite à s'être frayé une route nouvelle dans des matières déjà si rebattues. Il me reste cependant un scrupule sur l'exactitude de votre méthode; car il ne suffit pas, ce me semble, de prouver que le nombre des coefficients indéterminés contenus dans P, Q, R peut toujours être supposé plus grand que le nombre des conditions à remplir : il faut encore que ces conditions soient telles qu'elles renferment réellement autant de (juantités indéterminées qu'on en a supposées. Soit, comme dans le théorème III, la courbe représentée par l'équation
je suppose que cette courbe soit carrable algébriquement, en sorte que
l'on ait
I y d\ = y. -\- ^x -\- yy -\- Sa;- -{- sxy + . . . = i>
(v étant une fonction algébrique rationnelle et entière de x et y du
dea;ré a); j'aurai de cette manière — — ^-^-^ ^coefficients indéter-
minés y., |3,y, ...; or, en différentiant, j'ai
OÙ p et Q sont des fonctions de oc et j du degré [j. — i ; mais l'équation
de la courbe donne
àv X dx~ Y'
(lîi Y et X sont des fonctions algébriques du degré m — ^ ; donc, substituant après avoir multiplié par X, on aura
(7-P)X-QY==o,
équation (jui, après la substitution de la valeur dej^'" tirée de l'équation à la courbe, doit devenir nulle identiquement. Or il est visible que le premier membre de cette équation sera du degré
fi — i + m — I = p. + /?i — 2 ;
donc elle contiendra, après la substitution, toutes les puissances de x
jusqu'à [j. -h m — 2, et celles de y jusqu'à m — i seulement; donc le nombre de ses termes sera (en faisant u. -h m — T ^= n)
(m — I ) m ni (m — i )
= m/i — =imu. -\ ;
ainsi il n y aura que m|ji.H ^ conditions a remplir, tandis qn il
(a -4- i) (tjH- 2) , . . . (ut-H I ) (1J14-2) • 1',
V a -^ -^^ ) ou plutôt ^^ -^^ — 1 indéterminées, a cause
que la différentiation en fait d'abord disparaître une ; or, m étant donné, on pourra toujours prendre [x, tel que le nombre des indéterminées soit égal ou surpasse celui des conditions; donc, etc. : par exemple, si /w = 2,
on aura 2[ji+ r conditions, et ^—^ -indéterminées, en sorte que,
prenant [x = 2, on aura cinq conditions et cinq indéterminées; d'où il s'ensuivrait que l'aire de toute courbe du second degré pourrait être supposée
Vous démêlerez aisément le vice de ce raisonnement, et vous jugerez aussi si votre méthode est sujette aux mêmes inconvénients que la précédente.
Le jugement que vous portez sur les méthodes de M. Fontaine me parait fort juste; j'ajouterai cependant que les deux suppositions sur lesquelles est fondée sa méthode de résoudre les équations sont précaires et fausses dans plusieurs cas. Je suppose, par exemple, une équation du cinquième degré dont les racines soient de la forme rt -h ey/ — I, a — e\/ — j , b, c, d(a, h, c, d, <? étant des quantités réelles positives ci a'^ b, b'^ c, c ^ d, d^ e). Si on fait b =^ a, on trouvera cette condition P=:o, et il n'est pas difficile de démontrer a priori, par la nature même des équations, que la fonction P sera de cette forme
8(rt — b) {a — c) {a — d) {b-h c — 2d) {c -\- d — -ib) {b -\- d — 2c) X [{a -h b — 2cy -h e'-][{a -i- b — 2dy- -{- e'-][{a + C — 2b)^ -\- e^] X [{a -h C — 2dy + e^][{a ^ d — 2by + e'-] [{a -^ d — 2cy- -h e^] X[{a — by-\-qe^] [(« — c)^ + qe'^] [(a - dy + qe^][{b-h- c — 2ay + 4e'J X [{b + d — 2ay -h ^e''][{c + d — 2a)2 + 4e^];
1)1- I, \r.RANGE AVEC CONDORCET. 3!
(ir il est visible (juo colle fonclioii, (jiii dcviciil nulle lorsque a = h, ne sora pas toujours >■ ou < o, lors(|n(' a^ h; <'ar, ([uoiquo les facteurs a — h, a — c, a — (/, h ^ r — -id, c -\- d — 'ib ne puissent jamais changer de signe tant que a^h, b'^c, c'^d, on voit néanmoins que le l'acteur b -+- d — ic peut devenir dans cette supposition positif, ou néojatif et même nul.
Quant il la seconde supposition de M. Fontaine, elle est encore plus sujette à caution que la premii're; je pourrais vous communiquer une autre fois les remarques que j'ai faites sur toute cette théorie, si vous en étiez curieux; je les ai mises par écrit sur des paperasses que je n'ai pas à présent sous ma main.
Je vous prie de remercier, de ma part, MM. de la Place et de Vandermonde de ce qu'ils ont bien voulu m'envoyer; je répondrai à ce dernier au premierjour; je dois depuis longtemps une réponse au premier, dont je ne manquerai pas de m'acquitter aussi; en attendant, je vous prie de vouloir bien leur faire mes excuses et leur dire que j'ai lu leurs recherches avec le plus grand plaisir.
Je ne mérite en aucune façon l'honneur que l'Auteur (') de la pièce des comètes veut me faire; et je le supplie de vouloir bien m'épargner la confusion que me causerait une distinction dont je me reconnais si peu digne; ma reconnaissance n'en deviendra par là que plus-grande; je ne doute pas que les additions que l'Auteur se propose de faire à cette pièce ne la rendent aussi parfaite que l'on peut le désirer, et je suis très convaincu que notre Académie se trouverait très flattée d'avoir un j)areil Ouvrage à couronner.
Adieu, mon cher et illustre ami; je vous embrasse de tout mon cœur, et je me recommande à votre précieuse amitié. Je joins ici une lettre pourri. d'Alembert, que je vous prie de vouloir bien lui faire remettre.
(') Condorcet.
A Berlin, ce 6 janvier ijjSC).
Je suis, mon cher et illuslre ami, depuis trois semaines incommodé d'un rhume affreux qui m'interdit toute sorte d'application, et qui me permet à peine d'écrire. Je ne veux cependant pas différer plus longtemps à vous donner de mes nouvelles, et à répondre à votre lettre du •2 ) octobre qui m'est parvenue dans son temps, et par laquelle j'ai été charmé d'apprendre que vous aviez reçu et goûté mon Mémoire sur les inclinaisons des planètes. Je suis infiniment sensible à ce que vous me dites de flatteur sur ce sujet; et je vous prie d'être convaincu que personne ne fait plus de cas de votre suffrage ni n'en sent mieux le prix que moi. M. d'Alembert me mande (^) que vous venez de taire avec lui à l'Académie le rapport de mon Mémoire; je serais assez curieux de savoir comment il aura été reçu par vos astronomes; mais je le suis surtout d'apprendre le résultat de la comparaison des déterminations que M. Le Gentil (^) a apportées des Indes, avec mes Tables. Si cette comparaison se trouvait sujette à des difficultés, je m'en chargerais volontiers moi-même, et je la ferais pour plus d'exactitude, non avec les Tables, mais avec les formules mêmes, de la précision desquelles je crois pouvoir répondre hardiment, puisque les calculs numériques ont été refaits à plusieurs reprises, jusqu'à ce qu'il ne restât plus de scrupule sur leur justesse.
J'ai reçu votre dernier pa(|uet contenant vos Mémoires pour l'an-
(>) Ms. P 2U7.
{■) Voir la Loltre du i5 décembre 1774, t. XIII, p. 298, et les procès-verbaux nianuscrits de l'Académie, année i774) séance du 14 décembre, P Sri v°.
(3) G.-J.-H.-Jean-Baplisle Le Gentil de la Galaisière, astronome, Membre de l'Académie des Sciences (1753), né à Coutances le 12 septembre 1725. mort le 22 octobre 1792. 11 avait été envoyé dans l'Inde en 1760 pour y observer le passage de Vénus sur le Soleil (i76i)et jie revint en France qu'à la fin de 1771- Son Fojagc dans les mers de l'Inde parut de 1779 ('1 1781 (2 vol. in-4°).
lU'O 1772; j'ai lu ('( relu i-os Ménioiros avec le plus grand intérêt ('), et je les ai liouvés, comme (oulee que vous faites, remplis de vues neuves et prot'oiules qui pourraient tburnir la matière de plusieurs Ouvrages. La mélhodt> du dernier article m'a singulièrement plu par son élégance et son utilité; elle mériterait que vous prissiez la peine de lui donner plus (le développement, et que vous en fissiez l'objet d'un Mémoire à part, pour pouvoir le mettre plus à portée du commun des analystes. Les séries récurrentes (-) avaient déjà été si souvent traitées qu'on eût dit (|ue cette matière était épuisée; cependant voilà une nouvelle application de ces séries, plus importante, à mon avis, qu'aucune de celles (jn'on en a déjà faites, et qui ouvre pour ainsi dire un nouveau champ [)our la perfection du Calcul intégral.
(]omme l'Académie me fait l'honneur de m'envoyer ce qu'elle publie, je vous prie de vouloir bien vous charger de retirer ce qui m'est destiné, et de le faire remettre au libraire Durand neveu, rue Galande, (luarticr Saint-Jacques, pour être envoyé à Haude et Spener à Berlin. Outre le Volume de 1771 que je n'ai pas encore reçu, je crois qu'il vient de paraître le VIIl^ Tome des Tables de l'Histoire et des Mémoires; au cas que ce dernier Ouvrage ne soit pas du nombre de ceux que l'Académie m'envoie, je vous serais inliniment obligé de vouloir bien engager ledit libraire à me le faire aussi parvenir par le même canal; j'en payerais alors le prix à son correspondant Spener.
Qu'est-ce que c'est que V Essai sur tes comètes (') que je vois annoncé (]U(dqne part? Qui en est l'Auteur?
Je vous prie de dire à .M. de la Lande que j'ai reçu la Connaissance des Temps de 1770, et que je l'en remercie de tout mon cœur.
La théorie des équations de Fontaine (*) est, comme vous l'avez très
(') Il s'agit des Reclierclie.i de Calcul intégral, qui occupent les pages i ù 98 du Volume des Mémoires de l'Académie, de 1772.
(*) Elles sont le sujet de l'Article Xllt (p. 84 à 98 j des Rcclierclics.
(') E-i.iai sur les comètes en général et particulièrement sur celles qui pem'cnt approcher de l'orbite de la Terre, par Dionis du Séjour. Paris, in-8°; 1775.
(*) Au sujet de cette discussion, voir la Note VII de la Résolution des équations numériques, Tome VUl de la présente édition, p. 176.
bien remarqué, fondée sur deux principes : le premier, que l'on peu! toujours, pour chaque système de facteurs, trouver une fonction des coefficients, qui devienne nulle lorsque deux des quantités consécutives a,b,c, . . ., o deviennent égales, et qui hors ce cas-là soit toujours plus grande ou plus petite que zéro. L'exemple que je vous ai apporté prouve que ce principe est en défaut dès le cinquième degré; mais, pour les quatre premiers degrés , on en peut démontrer la justesse (i priori; cependant il est faux que dans la formule
x"^ -+- m X- — nx — p
(p. 546) la condition
2/»'— mn — p =zo
soit particulière au système
[x — a) {x -h a -\- b \/ — i) (x -h a — b \^/ — i) ; car la même condition se trouve avoir lieu dans le système
{x -h a) {x — b) (x + c), lorsque a = 2/^ — r. De mémo il est faux que dans la formule
x^ — /i x^ + px — q
les deux systèmes
{x -+- a) {x — b + es/— i)(x — b — c\/^) (x — b), (.r + a)(x — c + b^—i)(x — c — b\/—i) {x — c)
soient distingués de tous ceux de leur formule par la condition
2*.3* . . . /l'*/] 4- . . . =zO
(p. 071); car cette même condition se trouve avoir lieu pour le système
(.r 4- a) {x — b) {x ~ c){x — cl) (lequel appartient aussi à la même formule) toutes les fois que
Le second principe c'est que, lorsque deux systèmes de facteurs de la même formule ont la même équation de condition pour le cas de Téga-
litt' (le deux (l(>s (|uanlilcs a, h, c, . . ., o, di(ïerentes dans les deux systèmes, 011 peut toujours trouviM- une toucliou des cocfTicients (|ui soit nulle dans le cas commun aux deux systèmes, et qui soit toujours plus grande (jue zéro dans l'un, et plus petite dans l'autre. Cela est vrai, et même on peut trouver cette fonction directement et sans tâtonnement : par exemple, pour la formule
x^ -+- m X- + nx -\- p, les deux systèmes
{x + a){x^b){x ->r b) et {x -\- a) {x + a) {x -\- b)
ont la même condition; })our trouver celle qui doit les distinguer je n'ai qu'à considérer que l'équation
a dans les deux cas des racines égales; et il est facile de trouver par les méthodes connues que la racine double doit être exprimée par
mn — ç^p 2 m'^ — 6/i'
par conséquent la racine restante et simple le sera par
itin — qp m — 2 — 1^;
or, pour le premier système, celle-ci doit être plus grande que celle-là, et, pour le second système, elle doit en être plus petite; donc on aura
inn — q^ mn — an
m — 2 -— > ou < ^ ~ •
2/n- — bn ■2m-— bn'
donc, multij)IiaMt par im} — 6n, on aura nécessairement
9/»' — gnin + 27/7 > o
dans le premier et < o dans le second; puisque m^ est nécessairement >'hi, à cause que m = a -^ 2[3 et n = sap + j3^ en nommant a la racine simple et [i la double. Cela s'accorde avec ce qui se trouve page 5 12.
Mais ce qui n'est pas vrai et qui met en défaut toute la théorie, c'est que la fonction, qui est plus grande que zéro dans l'un des systèmes et plus petite que zéro dans l'autre, tant qu'il y a dans ces systèmes égalité entre deux des quantités a, b, c, . .., o, le soit aussi lorsque cette égalité cesse; or c'est ce que la théorie de Fontaine suppose nécessairement puisque autrement on n'aurait que les conditions distinctives des systèmes où deux quantités sont égales. Par exemple, de ce que pour le
système
on a
27«' — gw/i 4-27/) > o,
M. Fontaine conclut qu'on aura la même condition pour le système
lequel peut devenir celui-là par l'égalité deçà zéro. Cela est exact dans ce cas; mais il y en a où la conclusion devient fausse : par exemple, de ce que le système
peut devenir, en faisant d = o,
{x -\- a) {x — b) {x — cy et que, pour ce dernier système, on a trouvé
2 «' 4- 2' . 3- /iq — 3^/)- > o
(p. 071), on conclut (p. 57G) que cette même condition aura lieu en
général dans le système proposé; cependant il est aisé de prouver que, si
h ne (lilFère que très peu de c et d'une quantité plus petite que d, on
aura
car, faisant h = c, on a
2« ' + 2' . 32 nr/ — 3 V = — 3- . 2' b"^ d'* —%d\
quantité toujours négative.
Si vous demantloz un plus grand détail sur cctto matière, je tâcherai de vous satisfaire une autre fois, lorsque ma tête sera un peu meilleure. Je crois que votre pièce sur les comètes sera toujours très bien reçue des géomètres comme remplie d'excellentes recherches d'Analyse; mais il me semble qu'elle serait plus propre pour un Mémoire d'Académie que pour un Traité particulier; au reste, si vous ne la publiez pas avant le temps, on lui conservera les droits de concours, et je ne désespère pas de pouvoir lui faire rendre la justice qui lui est due.
Adieu, mon cher et illustre ami; je vous demande pardon de vous avoir écrit une si longue lettre, et je vous prie d'être persuadé qu'on ne saurait rien ajouter aux vifs sentiments d'estime et d'amitié que je vous ai voués pour la vie. Je vous embrasse de tout mon cœur.
Lorsqu'on imprimera mes Mémoires je serais bien aise, si la chose est faisable, d'en avoir un exemplaire à part. Je vous prie de faire avertir l'imprimeur de ne pas prendre les etc. pour des a grecs, ainsi ({u'il a fait souvent dans la pièce sur l'équation séculaire.
Je viens de lire le drame (') fort édifiant du conclave dont vous aurez sûrement entendu parler; en vérité, ne vous semble-t-il pas que ces gens se moquent de nous? Mais, Dieu merci, nous leur rendons bien la pareille. Adieu iterum, vale et me ama.
('; Je crois que ce drame est l'écrit dont le cardinal de Bernis, ambassadeur de France à Rome, parle dans une Lettre adressée au comte de Vergennes le iZ novembre 1775. C'était au moment du conclave qui, grâce à l'influence de la France, donna Pie VI pour successeur à Clément XIV. « Le fanatisme de nos adversaires (le parti des Jésuites) s'est démontré non seulement par les inventions et les suppositions les plus absurdes répandues avec fureur dans tous les coins de l'Europe, mais par des satires infâmes renouvelées chaque jour et par une comédie en trois actes, intitulée le Conclcwe, où l'élection du vicaire do Jésus- Christ est tournée en ridicule et où dix-huit cardinaux, ainsi que les Ministres des Cours, sont cruellement offensés. Pendant les trois jours que j'ai eu l'honneur d'être à la tête des clwj<! d'ordre, j'ai fait brûler toutes ces infamies en place publique par la main du bourreau, et arrêter quelques écrivains et copistes soupçonnés d'avoir eu pari à ces scandaleuses calomnies. » (Voir Histoire des souverains pontifes, par Artaud de Monlor, t. VIII,
A Berlin, ce 4 septembre 1775 (>).
Ce n'était sûrement pas pour me plaindre de votre silence que j'avais prié M. d'Alembert de vous demander si vous aviez reçu ma dernière lettre (-) : c'était uniquement pour être assuré que vous n'aviez pas à me reprocher le mien. C'est une faute que je commets fort souvent vis-à-vis de mes amis; je suis quelquefois longtemps sans leur donner de mes nouvelles, surtout quand je suis occupé de quelque matière qui m'intéresse; je suis ensuite obligé de leur demander pardon de ma négligence; et je crois que je me suis déjà trouvé plus d'une fois dans ce cas vis-à-vis de vous. Je vous félicite de tout mon cœur de la charge qu'on vous a donnée (0; je crois que vous êtes le premier géomètre après Newton, et peut-être aussi avant lui, qui ait rempli une telle place; je m'en réjouis avec vous comme d'une chose qui vous intéresse en particulier, et qui fait honneur à votre pays. Le projet que vous avez de réduire les poids et les mesures est digne d'un savant et d'un philosophe tel que vous. La Société des Arts d'Angleterre vient de proposer ce sujet pour le prix de 1777; elle paraît souhaiter une mesure invariable mais indépendante du pendule; je doute cependant qu'on puisse trouver (juelquc chose de mieux et de plus commode.
Je n'ai point travaillé sur les comètes, mais je serais fâché qu'on remît le prix; j)eut-être MM. Euler auronf-ils envoyé quelque chose: en ce cas on n'aurait pas lieu de le remettre.
J'ai grande envie de voir votre Ouvrage sur les approximations (^);
(») Ms. f"32.
(2) Voir la LeUro en date du ag mai 1775, t. XIII, p. 299.
(3) Condorcet avait 6lé nommé Directeur de la Monnaie {voir t. XIII, p. 802). (*) Probablement le célèbre Ouvrage sur le Calcul des Probabilités.
je vous exhorte fort ;i ne pas le négliger, et à nous le donner l(> plus tôt (|ue vous pourrez. La matière est très digne de vous occuper, et vous êtes, si je ne me trompe, plus propre que personne à le traiter comme il le faut, témoins les essais que vous avez déjà donnés là-dessus; entîn je suis impatient d'eu l'aire mon profit. On a imprimé, il y a quelque temps, dans nos gazettes une lettre de vous à M. Euler, concernant la gratification que vous lui avez fait obtenir pour son Ouvrage sur la navigation ('). Je l'ai trouvée très belle et bien digne de l'un et de l'autre. Je vous en fais mon compliment comme d'une chose qui intéresse la gloire des sciences et qui fait beaucoup d'honneur à votre [)ays. Je vous réitère mes remerciements de la complaisance que vous avez eue de liàter l'envoi des livres qui m'étaient destinés. 31. de la Lande vient de mander à M. Bernoulli qu'il a encore quelques livres à m'envoyer et qu'il se charge de me les faire parvenir par le premier envoi qu'il lui fera; ainsi je me reposerai dorénavant sur les soins de M. de la Lande pour recevoir les Ouvrages de l'Académie; vous pourrez même lui remettre ce que vous aurez à m'envoyer. Je compte que M. d'Alembert aura reçu le paquet que je lui ai envoyé il y a quelque temps par une personne de la connaissance de M. Thiébaut, qui m'a assuré que le paquet serait remis promptement et franc de port. Il y a dans ce paquet un exemplaire de mes Mémoires pour vous; je vous demande d'avance votre indulgence : les sujets que j'ai traités ne vous paraîtront peut-être |)as bien intéressants; j'espère donner quelque chose de nueux dans le Volume prochain. Je n'entends plus parler de la Société de Turin, je crois que toutes les belles espérances qu'on avait s'en sont allées en fumée. Vous avez chez vous chaque jour de nouveaux sujets de consolation, par les ministres sages et vertueux que le Roi choisit. Je vous assure que j'y prends autant de part que si j'étais votre compatriote.
Adieu, mon cher et illustre ami, je vous prie de ne me répondre que lorsque vous n'aurez rien de mieux à faire; il me suffit d'avoir quel-
(•) roir la Lettre de d'Alembert à Lagrangc en date du i J décembre 1775. t. XIII, p. Sii. et la note 2.
(juofois de vos nouvoUos et d'être assuré de la continuation de votre amitié. Je vous embrasse mille fois de tout mon cœur.
A Monsieur le Marquis de Condorcet, Inspecteur général des Monnaies,
Secrétaire de l' Académie royale des Sciences, etc.,
rue de Louis-le-Grand, vis-à-vis la rue JSeuve-Stiint-Augustin,
à Paris.
A Berlin, ce 3 janvier (1777) [']■
.l'ai reçu, mon cher et illustre ami, tous les paquets que vous m'avez envoyés par M. Spener. Je ne puis vous dire combien je suis sensible à ces marques de votre souvenir et de votre amitié. Votre éloge de la Condaminc m'a paru extrêmement beau et m'a confirmé dans l'idée que je m'en étais faite d'après quelques morceaux que j'avais lus dans les journaux. Quelque peu ambitieux que je sois, je vous avoue que mon amour-propre est très flatté de l'idée d'avoir après ma mort un panégyriste tel que vous; je fais des vœux pour que vous puissiez surpasser Fontenelle en âge autant que vous le surpassez déjà dans tout le reste. Les Pensées de Pascal me font beaucoup de plaisir; l'éloge et les notes rendent cette édition bien précieuse; comme je ne la connaissais pas, je vous ai la plus grande obligation de m'en avoir envoyé un exemplaire. A l'égard de votre Ouvrage sur le commerce des blés (^), je n'en puis guère juger; il me semble que les données sont encore trop vagues jxMir qu'on puisse établir quelque chose de bien certain sur ce sujet; il ne m'a cependant pas moins plu par la manière dont il est écrit, et je vous remercie du plaisir que sa lecture m'a donné.
(1) Ms. f 34. — Celte Lettre, où une dcciiiruro a enlevé la date de Tannée, est de 1777, car il y est parlé de l'édition des Pcnsc'cx de Pascal, publiée par Condorcet en 1776.
(2) Lettres sur le coiniiicrcc des grai/is (anonyme). Paris, in-8°; 1775.
DE LVr.UANGE AVEC CO.NDORCET. k\
Je vais répondre niaiiiliMiaiit ;i volro lettre du G août. .le suis onchanlé (|ue vous avez gaùlc mon Mémoire sur les intégrales parliculiéres ; ce que vous ui'eu dites m'en donne une meilleure idée que je n'en avais; mais je n'ai iïarde de prendre vos éloges à la lettre. J'attends votre Ouvrage sur le Calcul intégral avec beaucoup d'impatience. Un pareil Ouvrage est devenu maintenant bien nécessaire, surtout après toutes les découvertes que vous avez faites dans cette matière; et il n'y a que vous qui puissiez le bien exéeutiM'.
Le tbéorème que ^I. luiler vous a envoyé revient à celui que j'ai trouvé dans mon Mémoire : Sur le milieu à prendre entre plusieurs obsermlions {Mém. de Turin, t. Y, p. 177); mais la méthode par laquelle vous le démontrez est la seule directe; peut-être par le moyen de cette méthode parviendrait-on à d'autres théorèmes du même genre pour les puissances supérieures au carré. J'ai vu, dans le dernier Volume des Transactions philosophiques, un théorème de M. Landen qui me parait bien singulier. Il réduit la rectification des arcs elliptiques à celle des arcs hyperboliques. Je n'ai pas encore eu le temps d'examiner s'il n'y a pas de paralogisme dans la démonstration.
Je vous prie de remercier de ma part M. de Vandermonde de la lettre dont il m'a honoré. Les théorèmes qu'elle contient sont très beaux; et je ne puis assez admirer avec combien de sagacité il traite ces sortes de matières si difficiles et si compliquées. Tout ce que j'ai vu de lui jusqu'ici me donne l'idée d'un génie bien rare, et je le crois destiné à faire les plus grandes découvertes dans l'Analyse. Je ne me presserai pas de lui répondre; en attendant, je vous prie de lui faire tous mes compliments.
On croit ici généralement que M. d'Alembert viendra cette année à Potsdam; je ne vous dirai pas combien je le souhaite, mais je n'ose encore m'en flatter. Si quelque chose pouvait augmenter ma joie de revoir M. d'Alembert, ce serait de pouvoir vous embrasser avec lui. Je vous assure que ce voyage vous ferait beaucoup de bien, et vous seriez reçu comme vous l'auriez été en Italie, et mieux en.core s'il est possible.
Embrassez bien 31. d'Alembert pour moi; je compte qu'il aura reçu XIV. 6
la lettre et les livres que M. Tliicbaut a bien voulu se charger do lui remettre de ma pari. Je lui ai envoyé, entre autres, un exemplaire des Tables astronomiques que l'Académie a fait imprimer; je n'en avais reçu que ce seul exemplaire; j'en ai maintenant quelques-uns dont je puis disposer. Si vous en souhaitez un, ce sera un grand plaisir pour moi d'avoir cette occasion de vous obliger. Adieu, je vous embrasse de tout mon cœur, et vous prie de ne pas oublier celui qui vous aime et vous respecte plus que personne au monde.
A Monsieur le Marquis de Condorcet,
Secrétaire de l'Académie royale des Sciences, etc.,
rue de Louis-le-Grand. vis-à-vis la rue Neuve-Saint-Augustin .
à Paris.
LAGRANGK A CONDORCET.
A Berlin, ce l'î avril 1776 (').
Je profite du départ d'un de nos libraires pour la foire de Lepizig, pour vous faire parvenir ce paquet, très enchanté d'avoir par là une occasion de me rappeler à votre souvenir et à votre amitié. Le Mémoire que je vous envoie est un de ceux que j'ai donnés dans notre Volume; pour 1771» lequel ne j)araitra peut-être que dans six mois. Comme il a rapport au (Calcul intégral, dont vous vous êtes occupé si longtemps cl avec tant de succès, je m'empresse de le soumettre à votre jugenienl, cl je vous prie de m'en dire votre avis librement et sans craindre d'oHeuser mon amour-propre. Si je n'avais craint de trop grossir ce pacjuet j'y aurais joint deux autres exemplaires du même Mémoire, l'un pour M. d'Alembert, l'autre pour M. de la Place; mais je compte trouver
(») Ms. f° 36.
DE LVr.RANGE AVEC CONDORCET. W
hionlôt une occasion plus coniiuodr pour cela; vu ;U(ondanl, vous pourrez le leur eoniuuiui(iuer si vous le jugezà propos.
Dites-moi si votre Ouvrage sur les séries est sous j)resse et quand je j)0urrai me flatter de le lire. J'en ai d'avance la meilleure opinion, et je ne doute pas qu'il ne soit digne de vous; la matière est aussi vaste (ju'intéressante, et mérite à tous égards de vous occuper.
.le viens de recevoir le premier Volume de vos Mémoires pour 1772, oii j'ai trouvé mon Mémoire sur les Tables des planètes imprimé (');.je remercie l'Auteur de l'Histoire (-) de la manière dont il en a parlé, (raillant plus que je suis persuadé qu'il ne mérite pas à beaucoup près les éloges qu'on lui donne.
Le petit Mémoire de M. de Vandermonde(') m'a plu singulièrement; je vous prie de lui en faire mon compliment. Je ne vous dirai rien de votre grand Mémoire ('), parce que je crois vous en avoir déjà parlé dans mes lettres précédentes; il est rempli d'idées sublimes et fécondes qui auraient pu fournir la matière de plusieurs Ouvrages; je l'ai relu dernièrement avec un nouveau plaisir et je me propose de le relire encore pour en mieux profiter.
Je m'attendais à trouver dans les Mémoires de 1772 les recherches de M. du Séjour sur les racines imaginaires; peut-être paraîtront-elles dans la seconde Partie de ces 3Iémoires (^); je les attends avec impatience, parce que j'ai depuis longtemps sur cet objet différents brouilliiiis (|ue je brûlerai avec plaisir si l'Ouvrage de M. du Séjour les rend inutiles. J'apprends qu'il vient de publier un Ouvrage sur l'anneau de Saturne (®); s'il a traité cette matière avec autant de netteté et d'exac-
(') C est le .Mémoire intiUilc : Rcc/icrc/ia sur la mnuicrc de fornicr des Tables des planètes d'après les seules observations, dont il a été question plus haut. p. 1 5.
(*) Voir le même Volume, p. 70.
( * ) Mémoire sur des irrationnelles de différents ordres avec une application au cercle, p. 489 à 49H-
(*) Reclicrclies de Calcul intc'^ral, ]). i à 98.
(}) En effet, elles sont imprimées dans le II" Volume (p. 877) de Tannée 1772, sous le litre de : Mémoire dans lequel on propose une méthode pour déterminer le nombre des racines réelles et des racines imogincùrcs des équations .
(*") Essai sur les phénomènes relatifs aux dispositions pe'riodiqucs de l'anneau de Saturne. Paris, in-S"; 1776.
titude que celle des comètes, il peut être assuré du suffrage et de la reconnaissance des savants.
Comme je me flatte que vous voyez quelquefois notre illustre ami M. d'Alembert, je vous prie de l'embrasser pour moi et de lui demander s'il a reçu une lettre que je lui ai écrite il n'y a pas longtemps ('); elle ne contient rien de particulier ni qui mérite réponse, mais seulement l'hommage des sentiments que je lui dois, et dont je me fais un devoir de lui renouveler les assurances de temps en temps. Je suis curieux de savoir la décision de l'Académie touchant le prix des comètes; quelle qu'elle soit, j'espère pouvoir me mettre sur les rangs pour l'année prochaine.
Adieu, mon cher et illustre ami, conservez-moi votre précieuse amitié, et n'oubliez pas celui qui vous aime et vous honore plus que jamais.
Ce [■>. juin (1777,1 [■]•
J'ai exécuté votre commission, mon cher et illustre ami, auprès de M. MargraflP; il m'a paru aussi sensible à cette distinction qu'on peut l'être dans son état, et il m'a chargé de vous en témoigner sa vive reconnaissance. J'ai toujours eu peu d'espérance de voir ici M. d'Alembert malgré les assurances que j'en recevais de tous côtés; et je crois, après tout, que, vu son aversion pour les voyages, il a Iden fait de rester chez lui. Je ne désespère pas de l'embrasser un jour, mais ce voyage dépend de quelques circonstances qui ne sont pas encore en mon pouvoir. Ce qui m'intéresse le plus, c'est qu'il se porte bien, et je suis enchanté que
(') Lo 23 mars {voir l. XIII, p. 3i4).
(■-) Ms. f° 38. — Cetlo LeUrc est de 1777, car il y est question de la nomination de Margraff comme Associé clranger de l'Académie, nomination qui fut annoncée à la (',oinpai:nie le 28 mai do celle année, par une Lettre d'Amelot, Secrétaire d'Étal {Proccs-rcrbaiix, niss., année 1777, f° 349).
DE LVGRANGE AVEC CONDORCEÏ. ko
vous inc (loiiiiit'z d'assez l)omios iKnivellos de sa santé. J'observe en général (|ue les gens de lettres, s'ils ne meurent pas d'indigestion, vivent assez longtemps, et les géomètres peut-être encore plus que les autres, témoin Newton, Bernoulli, etc. Je vous prie de l'embrasser de ma part, et de lui dire que j'ai reçu sa dernière lettre, à laquelle je n'ai pas encore répondu, parce que je me flattais toujours de pouvoir le faire de vive voix : je m'acquitterai de ce devoir incessamment.
J'ai reçu la deuxième Partie de vos Mémoires de 1772; je n'ai encore eu le temps que de les feuilleter; le Mémoire de M. de Yandermonde sur l'élimination m'a surtout frappé. Tout ce qui sort de sa plume me plait singulièrement; j'y trouve un air de simplicité, de généralité et d'originalité qui m'enchante. J'ai reçu aussi en même temps vos expériences sur le système des fluides. C'est un des Ouvrages les plus intéressants qui aient paru jusqu'ici par l'importance de la matière et par la délicatesse et la précision avec laquelle elle est traitée. Vous jugez bien (jne je n'ai pas manqué de lire la belle théorie que vous y avez ajoutée; vous vous moquez de moi quand vous dites qu'elle n'a d'autre avantage que d'être moins savante que la mienne; je crois au contraire que c'est ce que j'aurais dû dire de la mienne si la vôtre m'avait été connue. J'attends une occasion pour vous envoyer mes recherches sur les équations linéaires à diff"érences partielles et sur leur application aux problèmes de la théorie des hasards. Elles sont imprimées depuis longtemps, mais je n'ai pu trouver encore une conjoncture favorable pour vous les envoyer. Je serais flatté que vous y trouvassiez quelque chose à revendiquer; cela prouverait que j'ai profité de vos Ouvrages. J'attends avec impatience celui que vous m'annoncez sur le Calcul intégral, et je me propose aussi d'en faire bien mon profit. Quoique vous ne me disiez pas si vous êtes bien aise d'avoir un exemplaire de nos Tables astronomiques dont j'en ai envoyé un à M. d'Alembert, je vous le ferai néanmoins parvenir en même temps que mes Mémoires ; si vous ne vous souciez pas de ces sortes d'Ouvrages, vous pourrez en obliger quelqu'un de vos amis. On ini{)rime actuellement ici les Tables de Gardiner; mais l'rdition en sera plus commode, plus belle et infiniment plus complète
kO CORRESPONDANCE
que celle d'Avignon ('); je crois que vous ne serez pas fâché d'en avoir un exemplaire. Adieu, mon cher et illustre ami, conservez-moi votre précieuse amitié, que je regarde comme un des plus grands avantages que la Géométrie m'ait procurés, et croyez que personne au monde ne vous aime ni ne vous estime plus que moi. Je vous embrasse de tout mon cœur.
Berlin, ce -^ aoûL 1777 ('^).
Mon cher et illustre ami, je vous remercie bien tendrement de vos ioins obligeants. Si la personne en question avait pu prévoir qu'au cas que son Ouvrage ne pût être prêt pour le temps marqué l'Académie voudrait bien condescendre à ce qu'on lui en envoyât une partie d'abord et le reste ensuite, elle aurait pris de bonne heure des mesures pour cela; mais, dans l'état où est maintenant son travail, il est impossible de profiter de cette complaisance de l'Académie, à laquelle elle est d'ailleurs infiniment sensible. Je souhaite en mon particulier que vous ayez reçu d'assez bonnes pièces pour pouvoir donner le prix; car le sujet est très ingrat, et à moins que de répéter ce que d'autres ont déjà dit, ou de se jeter dans des digressions, il me parait difficile de se tirer d'affaire honnêtement. J'ai vu dernièrement M. Margraff qui m'a paru un \wu inquiet de ce qu'il ne reçoit point d'avis direct de l'Académie touchant son élection, de laquelle il est infiniment flatté. Je lui ai dit que cela pouvait venir de ce que le Ministre n'avait peut-être pas encore expédié la lettre, et (]ue la même chose m'était arrivée. Je vous prie de lui donner
('j Les Tables of logarit/inis, [)ar M. Gardiner, 174a, iii-4") rcimjirimécs à Avignon en 1770 par Pezcnas, le furent par Callet en 1-83 et 179). Lalande, dans sa Bibliograpliic asironomique, ne menlionnc pas l'édition annoncée jiar Lagrangc.
(2) Ms. f" 40.
1) !•: L V C, Il \ \ C, E A V E C C 0 N I) () U C E T. 47
coUo consolation le \)\i\> loi (iiio vous pourrez. Je coinplo (|ue .M. d'Alcinhcil aura [^Mit-tirc déjà roc'U un [)a([uo( (|ue je lui envoyai doptiis pou par un négociant d'ici. S'il l'a reçu et (|u'il vous ail conimuni(jué n)on .Mémoire sur les é([uations aux différences finies et partielles, comme je Von ai |)rié, obligez-moi de m'en dire votre avis. Embrassez toujours bien .M. d'Alembert pour moi, et dites-lui que M. Bitaubé m'a t'ait ses compliments et m'a lu l'article de sa lettre qui me regarde. Est-il vrai (juevous avez renoncé à votre place d'Inspecteur des Monnaies, comme on l'a annoncé dans quelques gazettes? Sachant combien je m'intéresse à tout ce (jui vous regarde, je me flatte que vous ne trouverez pas mauvais (|ue je vous demande ce qui en est. Adieu, mon cher et illustre ami, portez-vous bien et croyez qu'il n'y a personne au monde qui vous aime et vous honore plus que moi.
A Monsieur le Marquis de Condorcet,
Secrétaire perpétuel de l'Académie royale des Sciences, etc.,
Hôtel des Monnaies, à Paris.
A Berlin, ce ii août 1777 (').
Mon cher et illustre Confrère, un de mes amis (^) qui souhaiterait pouvoir concourir pour votre prix des comètes, mais qui, par des circonstances imprévues, et surtout parce qu'il a trouvé que la matière demandait plus de travail et de recherches qu'il n'avait cru d'abord, se voit dans l'impossibilité de vous faire parvenir sa pièce dans le temps fixé par le programme, m'a prié de vous demander s'il pourrait se flatter que sa pièce fût reçue au cas qu'elle ne fût envoyée qu'avant la fin
( ' ) Ms. f ^i.
(*) C'est Lagrange lui-môme.
(le cotte année. Vons ne devez point regarder cette demande comme une indiscrétion de la part de la personne qui m'a chargé de vous la faire; elle n'a aucune prétention au prix, et elle verra avec plaisir les succès des autres concurrents, soit qu'elle puisse être du nombre ou non. J'ai envoyé ces jours passés à M. d'Alembcrt un paquet contenant mes Mémoires pour le Volume qui est sous presse. Il y en a un très long, sur les équations aux diflerences finies et partielles, sur le(juel je suis empressé de savoir votre jugement. Son mérite, s'il en a quel- (ju'un, consiste moins dans la méthode que dans les applications que j'en fais à différentes questions de la théorie des hasards, et c'est surtout sur cette partie de mon travail que je vous demande votre avis. A'ous devez avoir reçu ma réponse à la lettre que vous m'écrivîtes pour m'annoncer l'élection de M. Margrafl"; je crains que ni vous ni moi nous n'ayons l'avantage de le posséder longtemps. Il est depuis deux ans paralytique de la moitié du corps, et il est maintenant obligé de garder le lit. .T'ai vu ces jours passés la foudre de bien près ; elle est tombée sur la maison que j'habite, et une grande flamme ondoyante a paru dans la chambre où j'étais, à environ f)'' du soir, venant d'un croc de fer (]ui est au milieu du plafond, et y a laissé une très forte odeur de soufre et de poudre à canon ; mais heureusement j'en ai été quitte pour la peur, et il n'y a eu absolument aucun dommage chez moi ; mais, dans l'appartement contigu au mien, ce coup de tonnerre a fait beaucoup de ravages, et, par les trous qu'il a laissés, on voit qu'il a choisi de préférence les endroits où il y a du fer, en brisant ce qui pouvait s'opposer à son passage. Adieu, mon cher et illustre ami, je vous (Mnbrassc de tout mon cœur et je vous souhaite une bonne santé. Mes compliments à M. d'Alembert; puisqu'il ne veut pas nous venir voir, il faudra bien que je me résolve à l'aller voir moi-même.
• yi monsieur le marquis de Condorcel,
Secrétaire perpétuel de l'Académie royale des Sciences, Jlàtel des Monnaies, à Paris.
A Berlin, co 27 septembre 1777 (').
Mon cher et illustre Confrère, M. Ritaubé, mon Confrère à l'Académie, et ddiii le mérite vous sera peut-être déjà connu, a bien voulu se charger (le viuis rriidic cette lettre et ce paquet. Il vient à Paris presque uniquement pour voir les gens de lettres, et vous jugez bien qu'il doit être empressé de faire votre connaissance. Vous trouverez en lui un homme qui joint beaucoup d'esprit et de lumières à une grande douceur dans le caractère; il est depuis longtemps ami de M. d'AIembert (-), et cela me dispense de vous en dire davantage. Le paquet que M, Bitaubévous remettra contient le Recueil de Tables astronomiques que notre Académie a fait imprimer l'année passée. C'est le meilleur cours d'Astronomie ([u'on puisse avoir, et je crois (jue vous en serez content. Ce qui augmente maintenant le mérite de cet Ouvrage, c'est que l'on vient de perdre celui à ([ui on le doit. M. Lambert est mort, avant-hier au soir, de consomption (^), fort regretté de tous ceux qui l'ont connu, par son profond savoir, et par la droiture et la bonté de son cœur. Je suis touché de cette perte au delà de tout ce que je puis vous dire, et je la regarde comme irréparable pour notre Académie en particulier, et pour les sciences en général. J'étais un peu prévenu contre lui lorsque j'arrivai ici; mais, dès que j'eus connu tout son mérite, je conçus pour lui la plus forte estime, et je n'ai pas à me reprocher d(^ ne lui avoir pas rendu du fond de mon cœur, en toute occasion, la justice qui lui était due. Il n'avait pas encore cinquante ans et était plein de santé il y a un an. Il a dépéri peu à peu et est mort sans s'en douter. C'est la plus grande perte que notre Académie put faire.
(')Ms. fM4-
(*) Foir la noie i de la page 79 du Tome XIII.
(') ^OTT-t. XIII, p. 333.
Ce que vous me mandez, louchant le prix de l'année prochaine, me fait beaucoup de plaisir ; mon ami prendra mieux ses mesures une autre fois; il est très aise que sa pièce n'ait pas été admise, parce qu'il se flatte de pouvoir la rendre moins défectueuse et moins imparfaite.
Je suis ravi que vous ne soyez pas mécontent de mon Mémoire sur les équations aux différences finies. Si j'y ai emprunté quelques-unes de vos idées, je vous prie de les reprendre et de les revendiquer sans cérémonie. Je l'ai composé presque tout d'un trait et d'après les idées qui se sont présentées d'elles-mêmes à mon esprit; ensuite je n'y ai plus touché, ayant aussitôt perdu cette matière de vue. .l'ai lu à M. Formey l'article de votre lettre qui h» regarde: il m'a chargé de vous remercier de la peine que vous avez prise de faire ses commissions; si vous lui faites un mot de réponse, il en sera charmé et flatté en même temps.
Adieu, mon cher et illustre ami, ayez bien soin de votre santé et souvenez-vous de celui qui vous aime, vous estime et vous honore })lus (jue personne dans le monde. Embrassez de ma part M. d'Alembert, et recommandez-moi à son amitié. Puisqu'il a reçu mes Mémoires, il aura reçu ma lettre qui y était jointe. J'ai reçu l'exemplaire de mon Mémoire sur les nœuds; je vous en suis inflniment obligé. Si j'avais pu en avoir aussi un de celui sur les satellites de Jupiter, cela m'aurait fait beaucoup de plaisir. Ces deux Mémoires sont peut-être ce que j'ai fait de plus supportable. Je vous embrasse de tout mon cœur.
A monsieur le marquis de Condorcel.
Secrétaire perpétuel de V Académie royale des Sciences, etc.,
Hôtel des Monnaies, à Paris.
LAGRAXGE A CONDORCET
A Berlin, ce 8 juin i778(').
Recovoz, mon clior et illustre ami, mon coinplimont sur volro Iriompho. Voire hclle pièce sur les coinèles a remporté la moitié de uotre prix double, c'est-à-dire le prix simple de m) ducats (-). Elle aurait remporté le prix eutier si elle avait conteuu l'application de votre théorie h quelque comète en particulier, condition portée par notre programme. La pièce qui a eu l'autre moitié du prix proposé renferme un(> tri's bonne méthode d'approximation pour le calcul des orbites des comètes d'après trois observations. Elle est de M. Tempelhofï', ea()itain(' d'artillerie, déjà connu par d'assez bons Ouvrages d'Analyse, et (|ui mériterait bien d'être de notre Académie; je souhaiterais fort ([ue cette circonstance lui en ouvrit l'entrée (''). M. Formey vous dira comment vous devez vous y prendre pour recevoir la médaille ou l'argent du prix. Il a dû vous écrire le lendemain de notre assemblée |)ublique dans laquelle on a ouvert les billets cachetés des pièces victorieuses, de sorte que vous avez peut-être déjà reçu sa lettre (^); la mienne est destinée uniquement à vous féliciter sur vos succès et à me féliciter moi-même d'avoir contribué en quelque façon à vous
(>) MS. f" 02.
(2) Foiri.Xm, p. 34o.
C) 11 ne devint Membre de l'Académie de Berlin que huit ans plus tard, en 1786. Voir plus haut la note i de la page a'J.
(*) Voici la Lettre que Formey écrivit à Condorcet. Elle est datée du 6 juin 1778. Nous la donnons d'après l'original conservé au i° 55 du manuscrit.
« Monsieur,
« Je suis bien charmé d'être appelé à vous annoncer la palme (jue notre Académie vient de vous décerner en couronnant le Mémoire (juc vous aviez fourni au concours sur la théorie des comètes. Ce prix, qui avait été renvoyé et rendu double, a été partage entre vous. Monsieur, et un capitaine d'artillerie au service de Sa Majesté. Dans le jugement porté sur les deux pièces couronnées, il a été dit que la vôtre renfermait une analyse nouvelle et profonde du problème proposé, mais sans aucune application particulière, et que l'autre offrait une
rendre justice. Je vous prie de m'cnvoyer votre programme pour 1780, Si je ne meurs pas entre ci et là, vous aurez sûrement quelque chose de ma façon. M. Girault de Kéroudou m'a envoyé, il y a déjà quelque temps, ses Leçons analytiques ('). Comme j'ai été indispose à peu pri's dans le temps où cet Ouvrage m'a été remis, je ne me rappelle pas si je l'en ai remercié; je vous prie de le lui demander de ma part en lui faisant des excuses de ma négligence au cas que je ne me sois pas encore acquitté de mon devoir envers lui, et en l'assurant (}ue je ne manquerai pas de la réparer autant qu'il me sera possihlc. J'ai lu son Ouvrage avec beaucoup de satisfaction ; il m'a paru clair, méthodique, concis et très propre à remplir l'objet auquel il est destiné. Je souhaiterais en avoir eu un pareil lorsque je commençai à étudier le Calcul différentiel. Adieu, mon cher et illustre ami, je vous embrasse de tout mon cœur. Je vous prie de présenter à M. d'Alembert l'assurance de mes tendres sentiments. J'ai reçu sa dernière lettre et son Discours (-) dont je suis enchanté. Je lui réponchai incessamment.
A Monsieur le Marquis de Condorcet,
Secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences, etc.,
Hôtel des Monnaies, à Paris.
méthode (J'appro\imalion pour le calcul des orbites des comètes, plus simple, plus directe et plus exacte que ce (pii a déjà été publié sur cette matière.
» Vous m'indiquerez, s'il vous plaît, Monsieur, la voie par laquelle je dois vous faire parvenir la médaille d'or, et vous m'en enverrez le reçu.
» Comme notre Typographie va un peu lentement, vous êtes le maître, Monsieur, si vous en avez des raisons, de mettre au jour votre Mémoire, quand et comment il vous plaira. »
(») Leçons analjtirfœs du calcul des fluxions et des flucntcs ou Calcul différentiel et intégral. Paris, in-8°, 1777 {voir le Tome XIII, p. 278, note ■>.).
(2) Le discours qu'il avait prononcé à l'Académie française à la réception de l'abbé Millol {voir t. XIII, p. 338, noie).
COnRESPONDANCE
DE
CORKESPONDANCI-
LVGRANGE AVEC LAPLACE.
A Berlin, co 1 3 mars 1775.
^loXSIEUR,
J'ai reçu votre 3Iémoire manuscrit sur l'intégration dos équations, etc., et je l'ai présenté à notre Académie (jui m'a d'abord chargé de vous faire ses remerciements. Comme ce n'est point l'usage chez nous de faire examiner j)ar des commissaires les Ouvrages et les pièces présentés, et encore moins d'en délivrer aux auteurs des rapports authentiques, comme cela se pratique à l'Académie des Sciences de Paris, je ne puis vous satisfaire à cet égard; mais il me semble que vous n'y devez avoir aucun regret. Les personnes de votre mérite n'ont pas besoin de se faire valoir par ces sortes de moyens; d'ailleurs le suffrage de M. d'Alembcrt ne doit rien vous laisser à désirer, et je suis très persuadé que l'Académie des Sciences ne manquera pas de vous rendre la justice (|ui vous est due, à moins que des raisons étrangères ne l'en empêchent, auquel cas je ne vois pas de quelle intluence pourrait être l'approbation de l'Académie de Berlin.
Je suis charmé de voir par votre lettre que vous conserviez le dessein
de venir ici ('); je souhaite de tout mon cœur (jue vous puissiez l'cxéculer, el je serais très flatté de pouvoir y contribuer en quelque chose; mais, ayant de nouveau réfléchi sur cette affaire, je suis (h' plus en plus convaincu que le meilleur et peut-être le seul moyen de la faire réussir est celui que j'ai conseillé à M. d'Alembcrt. Le Roi vient d'assigner une pension de 5oo écus sur la caisse de l'Académie à un M. Pilati, qui est l'auteur d'un Ouvrage italien intitulé : Délia riforma d'Iialia (-), mais il ne raj)oint mis de l'Académie, en sorte qu'elle doit regarder cela comm<' une perte; c'est pourquoi, en taisant votre acquisition, elle aura doublement sujet de se féliciter. De mon côté, je serai enchanté de pouvoir lier avec vous une connaissance plus intime, et votre amitié sera pour moi un avantage auquel je serai toujours infiniment sensible.
Je n'ai pas eu encore le loisir de lire votre ÎMémoire d'un bout à l'autre; mais ce que j'en ai lu suffit pour me donner la plus haute idée de vos talents. Votre théorie de l'intégration des équations linéaires à diff'érences finies est tri's belle et ne laisse, ce me semble, rien à désirer. Je ne sais si vous avez lu ce que j'ai donné autrefois sur cette matière dans le I"' Volume des Mélanges, de Turin; je n'avais fait alors que l'effleurer, et je me proposais toujours de l'approfondir davantage; mais vous venez de l'épuiser, et je suis charmé que vous ayez si bien rempli les engagements que j'avais contractés, à cette occasion, avec les géomètres. J'ai vu surtout, avec beaucoup de plaisir, l'application heureuse que vous avez faite à ces sortes d'équations de mon théorème sur la manière de trouver les intégrales complètes à l'aide des particulières. Quant aux séries récurro-réciirrenles à deux ou plusieurs indices variables, c'est une lualièie toute neuve <|ue vous avez l'honneur d'avoir défrichée le premier; cependant il me semble que vous ne l'avez pas envisagée avec toute la généralilé dont elle est
(1) Au commcnccmcnl de l'année, I.aplace avail eu la pensée d'entrer à l'Académie de Berlin « avec une pension sufTisanlc » {voir t. XIII, p. 254, 260 ).
(2) Le litre esl : Di uiia riforma d'italia, Villafranca, in-S"; ijCi;. — L'auleur, Carlantonio Pilali, né le iS décembre i7'33 à Tassulo dans le Trcnlin. v mourut le 27 décembre
DE L Vf. RANGE AVEC LAPLACE. 57
siiscojilihlf : l'ar les t''(Hiali()ns de ce i>-enre sont ^)arnii les ('Miualions ii (lilTrreiices finies ce qur les équations à dilÏÏ'ronees parlielles sont parmi les ('([nations dillerenlielles ordinaires. Si l'on a, par pxein|)le, r(''(|nation
K l'tant une constante, il est visible (juo son inlt-grale coniplète sei'a
„Vj:=\i" o{n — x),
o désignant une (onction arbitraire: d'où l'on voit que, pour résoudre ces sortes d'équations, il n'est pas nécessaire, comme vous paraissez le croire, d'avoir une solution particulière pour le cas de « = i ; qu'au contraire, cette solution particulière empêche qu'on ne parvienne à la solution générale.
('.omme notre Académie ne peut faire aucun usage de votre Mémoire, puisqu'elle ne lait pas imprimer les Mémoires présentés, je vous le renverrai par la première occasion que je pourrai trouver. M. d'Alembert pourra facilement vous procurer un libraire qui se charge de l'imprimer avec les autres dont vous me parlez et dont j'ai d'avance une wrande idée.
A l'égard de ma théorie de Jupiter et de Saturne, comme ce n'est (ju'un essai, il se peut que les équations séculaires que j'en ai déduites ne soient pas exactes faute de n'avoir pas poussé l'approximation assez loin; c'est aussi une des matières que je me proposais de discuter de nouveau lorsque je serais débarrassé de quelques autres travaux; je me féliciterai d'avoir été prévenu par vous si vos re(dierclu's ne me laissent plus rien à faire sur ce sujet.
il est vrai que les équations séculaires doivent être indépendantes de la position du plan de projection, comme le sont les mouvements moyens; mais cela ne doit proprement avoir lieu, ce me semble, que pour les équations séculaires vraies qui augmentent toujours avec le temps, et non pour celles qui ne sont (|u'apparentes, et qui dépendent de sinus et de cosinus d'angles; or celles que j'ai trouvées par ma tbéorie sont de cette dernière espèce.
J'ai riioniicur d'èd'c, avec la plus parfaite considération, ^Monsieur N'odc Irt's humble et très respectueux serviteur,
Dk la Grangr.
 Monsieur de Laplace, l'rofesseur de Mathématiques à l'Ecole royale iniliLaire (Jides),
à Paris.
Berlin, i3 jamier ijjô.
Je suis bien honteux, Monsieur et très illustre Confrère, d'avoir gardé avec vous un si long silence; je vous prie de vouloir bien en recevoir mes très humbles excuses, et d'être persuadé que, pour vous écrire rarement, je ne vous conserve pas moins inviolablement les vifs sentiments d'estime et d'amitié que je vous ai voués. Votre Mémoire sur fa probabilité des causes par les événements (') m'a beaucoup plu; je suis assuré qu'il ne peut manquer d'obtenir le suffrage de tous les géomètres, non seulement par la nouveauté de la matière, mais surtout par la dextérité singulière avec laquelle vous maniez ce genre d'Analyse.
Les remarques que vous faites sur l'aberration de la théorie ordinaire, lorsqu'on veut tenir compte de l'inégale possibilité des événements qu'on regarde communément comme également probables, m'ont paru aussi justes qu'ingénieuses; c'est une nouvelle branche très importante que vous ajoutez à la théorie des hasards, el (jui était nécessaire pour mettre cette théorie à l'abri de toute atteinte; on voit par là (|ne les conclusions que la théorie ordinaire donne ne peuvent être
( ' ) Publié dans le Tome VI, p. 621. du Recueil des Sai'aiit.i étrangers.
regardées, pour ainsi dire, ([iio comme les asymptotes de eelles t|iii oui véritablement lieu dans la nature, de la même manii're (|ne les vérités géométricjucs ne sont que les asymptotes des vérités physiques; et il est très important de pouvoir connaître, dans chaque cas, la loi dont ces conclusions peuvent s'éloigner ou s'approcher de leurs asymptotes. Ce que j'ai écrit sur la méthode de déterminer le milieu que l'on doit prendre entre plusieurs observations sera imprimé dans le V" Volume des Mélanges de Turin (') ; ce Mémoire, qui est assez long, était composé depuis quelques années; voyant qu'il me serait dilficile de le placer dans nos Mémoires, j'ai pris le parti, il y a un an, de l'envoyer à la Société de Turin. Il ne me reste qu'une idée confuse de la manière dont j'ai traité la question, de sorte que je ne puis vous dire jusqu'à quel point il peut y avoir de la conformité entre nos recherches; quant à celles de M. Daniel Bernoulli, c'était très peu de chose, du moins autant que je puis me le rappeler, le manuscrit étant entre les mains d(! son neveu qui est actuellement absent.
Je suis bien curieux de voir la démonstration de vos théorèmes de Calcul intégral, et la suite de vos recherches sur cette matière. Quoique tous les cas des équations aux différences partielles linéaires qu'on a résolus jusqu'ici soient réductibles à votre théorème I, je vous avoue que j'ai peine à comprendre qu'on puisse le démontrer d'une manière générale et rigoureuse; si vous avez réussi, vous pouvez vous flatter à juste titre d'avoir fait un grand pas dans cette matière.
Je ne vous ai pas renvoyé la copie de votre grand Mémoire, parce qne vous m'avez marqué que vous n'en aviez pas besoin ; je vous la renverrai néanmoins à la première occasion qui se présentera, parce qu'il me semble qu'elle peut ne pas vous être inutile. Je me proposais tonjours de me remettre à étudier toute la matière des hasards dont je mi; suis autrefois un peu occupé; mais j'ai toujours été distrait par d'autres
(') Mémoire sur l'atiUté de la méthode, de prendre le milieu entre les résultats de plusieurs observations, dans lequel on examine les avantages de cette méthode par le Calcul des probabilités et oii l'on résout différents problèmes relatifs à cette matière {voir t. H, p. 173, de la présente édition).
objets; j'altciidrai maintenant que vous ayez publié vos excellentes i-eclierches par lesquelles cette théorie a pris une face nouvelle et est devenue une nouvelle science.
Je vous prie de faire bien mes compliments très humbles à M. du Séjour, et de lui dire combien j'ai pris de part à ce qui le regarde dans la révolution qui vient d'arriver ('). J'ai l'honneur d'être avec la plus parfaite considération, IMonsieur,
Votre très humble et très obéissant serviteur.
De la Grange.
Berlin, lo avril 1775.
Monsieur et très illustre Confrère, j'ai reçu vos Mémoires, et je vous suis obligé de m'avoir anticipé le plaisir de les lire. Je me hâte de vous <>n remercier, et de vous marquer la satisfaction que leur lecture m'a donnée. Ce qui m'a le plus intéressé, ce sont vos recherches sur les inégalités séculaires. Je m'étais proposé depuis longtemps de reprendre mon ancien travail sur la théorie de Jupiter et de Saturne, de le pousser ])lus loin et de l'appliquer aux autres planètes; j'avais même dessein d'envoyer à l'Académie un deuxième Mémoire sur les inégalités séculaires du mouvement de l'aphélie et de l'excentricité des planètes, dans lequel cette matière serait traitée d'une manière analogue à celle dont j'ai déterminé les inégalités du mouvement du nœud et des inclinaisons, et j'en avais déjà préparé les matériaux; mais, comme je vois que vous avez entrepris vous-même cette recherche, j'y renonce volontiers, et je vous sais même très bon gré de me dispenser de ce travail, persuadé que les sciences ne pourront qu'y gagner beaucoup.
(') Il s'agil du rappel du Parlcuicnt, prononcé dans le lit de justice tenu le i) novembre 1774. Dionis du Séjour était alors conseiller à la troisième chambre dos Enquêtes.
DE LVr.RWr.E AVEC LVPLACE. 61
N'od'c luaniiTO ilc parvenir aux 0(|uali()ns (lilloriMiliolles en r ot on y est tri's hollo; voici ooninionl on peul (roiivcr dircclcment celles des excentricités et des aphélies. Je prends la solution du problème des trois corps de Clairant {Théorie de la Lune, p. G) et i'observ(> (|ne,
pnis(jue
f- ^ =z\ — sin//(i,'^— / £2 CCS M du) — cos«(c 4-/12 siii u du),
si l'on fait
g — j Q. cosu dit =: e sinl, c -+- fil slnudu = e cosi, on a
^ :=l — e CCS (u — 1 ), M/'
en sorte que e sera l'exentricité, et I le lieu de l'aphélie, et il est remarquable que les quantités e et I peuvent être regardées comme constantes pendant que les quantités r et m varient de dr et de du; car, comme
^ :=i — e sini sina — e cosI cosu, M/'
il suffit de démontrer que la différentielle de cette équation est nulle,
en ne faisant varier que les deux quantités esini, ecosl, c'est-à-dire
que
sinu d{esinI}-\- cosu <r/( ecosl) =: o;
mais
d{e sinI) =; — Q, cosu du, rf( ecosl) = £^sin« du;
donc, etc. Je fais donc
a;=:esinl, j^ecosl,
:ri— =1 — J^ sm u — y ces u,
et ensuite j'ai, en différentiant, les équations
dx = — i2 cos « du, rfy = £2 si n u du ;
si l'on substitue dans ces équations et dans les autres semblables les valeurs de r et de u, en x, y et /, et que l'on ne conserve que les termes oîi x, y, x' , y , ... seront linéaires et multipliés par des coefficients
constants, on anra les équations cherchées. Il faut seulement avoir soin (lo no pas rejeter clans la quantité Q les termes de la forme
f j: sia u dx, I X cos u du, I y sin u du, j y ces u du,
et les autres semblables, car ces termes, étant transformés en
— X cos " -H / cos u d.t, . . . ,
produiront dans les équations différentielles des termes de la forme demandée; à l'égard des quantités / co'S,udx, . . . , on pourra les négliger entièrement, à cause que dx est déjà très petit, de l'ordre des masses des planètes perturbatrices. Si vous jugez à propos de dire un mot de cette méthode dans vos nouvelles recherches sur les inégalités séculaires, je vous en serai infiniment obligé, ayant résolu de vous abandonner entièrement cette matière.
Je crois que vous avez raison à l'égard des équations du moyen mouvement : le vice de ma solution consiste, ce me semble, en ce que, n'ayant eu égard, dans les équations de y et r-, qu'aux termes où ces quantités sont linéaires, je n'aurais pas dû employer dans la valeur de o leurs carrés. Quant à l'équation séculaire de la Lnne, les anciennes observations sont rapportées dans V Almageste d'une manière si vague que je m'étonne que les astronomes en fassent cas de bonne foi; au reste, je souhaiterais que vous engageassiez quelqu'un à refaire le calcul de ces observations.
Votre méthode de faire disparaître les arcs de cercle m'a paru très élégante; j'en avais depuis longtemps imaginé une qui y a quelque rapport : ayant l'équation
où j est supposé très petit et où i2 est une fonction rationnelle et entière de y et de sin/, cos/, etc., j'observe que les deux premiers termes
donnent
r =/> sin/ -!- 7 ces/,
p et (f étant des constantes. Je fais maintenant
/ = /^ sin / + (/ cos / + :;+.. .
DE LAr.RAN(,E AVEC LAPLVCE. 63
o{ jo regarde en même temps/; el «7 comme variables; j'ai la transformée
cT-Z (d'-p dq\ . (d-q dp\
dt- \ dt- dt ) \ du- dt j
Je lais =0 les termes allectés de sin/ et co&t, et d'où résulteraient (les arcs de cercle dans l'intégrale; j'ai deux équations qui serviront à déterminer /v et r/. On peut étendre cette méthode à tant d'équations (ju'on voudra et lui donner toute l'exactitude qu'on désirera.
Vous avez bien nettoyé fa matière des intégrales particulières; je n'ai encore eu le temps que de parcourir votre beau IVIémoire sur ce sujet, ainsi que celui sur la théorie des hasards; je me propose d'y revenir et de les étudier à fond. Ils me paraissent très propres à soutenir la haute opinion que vos autres Ouvrages ont déjà donnée de votre génie.
Je vous prie de remercier, de ma part, M. du Séjour du beau présent dont il m'a honoré; j'ai lu son Ouvrage avec le plus grand plaisir et le plus grand intérêt, et j'ai beaucoup admiré l'élégance et la simplicité des méthodes qu'il a employées pour résoudre des questions d'ailleurs très compliquées; les applications numériques qu'il en a faites continuellement sont une des parties de son travail qui mérite le plus la reconnaissance des savants et du public : je vous prie de l'assurer de la mienne en particulier, pour le plaisir que la lecture de cet Ouvrage m'a fait. Je me réserve à lui écrire directement lorsque j'aurai reçu son Mémoire sur les racines imaginaires, dont j'ai d'avance une grande opinion.
Je finis, Monsieur, en vous assurant que personne ne saurait être plus flatté que je ne le suis de votre amitié, ni plus jaloux de la mériter et de l'augmenter; je vous prie de compter sur la mienne à jamais. Monsieur et très cher Confrère.
Votre très humble et très obéissant serviteur,
De la Grange.
LAGMNGE A LAPLACE
Berlin, to mai 1776.
Monsieur,
Les deux Mémoires ci-joints font partie du Volume qui est sous presse et qui paraîtra dans peu; comme ils roulent sur des matières sur lesquelles vous vous êtes déjà exercé avec tant de succès, j'ai cru devoir vous en faire hommage; je vous demande comme une marque d'amitié à laquelle je serai infiniment sensible de me dire votre avis sur ces Mémoires, et surtout sur le premier qui concerne les intégrales particulières ('). Il m'a paru qu'on pouvait encore glaner après vous, et je serai bien flatté d'avoir pu ajouter quelque chose à votre travail. Je n'ai pu avoir les figures du deuxième Mémoire, mais je crois qu'elles sont très faciles à suppléer; d'ailleurs, j'aurai soin de vous les envoyer dès que je pourrai les avoir; je ne veux pas manquer pour cela cette occasion de vous envoyer le Mémoire, parce que je ne sais pas quand je pourrai en retrouver une. Je vous fais mille remerciements de ce que vous avez bien voulu faire imprimer ma méthode de trouver les équations difïërentielles des variations des éléments des planètes; il me semble que vous lui avez fait beaucoup trop d'honneur, et ma reconnaissance n'en est que plus vive. J'ai deux grands Mémoires sur cette matière que j'ai lus l'année passée à l'Académie, mais je doute que je les fasse jamais imprimer, surtout sachant que vous vous en occupez; d'ailleurs j'ai déjà traité ce sujet, quoique d'une autre manière, dans une pièce sur les satellites de Jupiter. En appliquant aux planètes les formules que j'ai données pour les satellites, on aura les variations des (pialre éléments, excciilricilé, ;iphélie, inclinaison, nirnd, en vertu de leur attraction mutuelle. Je nie suis toujours proposé
( ' ) Sur les intégrales particulières des équations différentielles { Mémoires de l'Académie de Berlin, p. 197-275, année 1774, ct t. IV, p. 5, de la présente édition).
(le faire celte application, mais je compte que votre travail le rendrait maintenant inntile.
Je viens de lire à l'Académie deux Mémoires sur l'intéffralion des é({uations linéaires à diirérences partielles et sur leur usage dans la théorie des hasards (') : vous jugez hien que c'est votre heau travail sur cette matière qui m'a engagé à m'en occuper; je me flatte d'avoir aussi été asscv, heureux pour y ajouter (|nel(jue chose; au reste, tnon Ouvrage sur cette matièi-e diflere autant du vôtre (|ue celui sur les intégrales particulières didere du vôtre sur le même sujet; il n'y a guère entre eux que le sujet de commun. Je ferai imprimer ces Mémoires dans le Volume prochain, et je vous en enverrai aussitôt un exemplaire pour en savoir votre jugement dont je connais tout le prix.
Les changements qui sont arrivés à l'École Militaire ( - ) doivent en avoir aussi apporté à votre situation ; je serais charmé, pour la part que je prends à tout ce qui vous regarde, de savoir jusqu'à quel point ces changements ont pu influer sur votre sort. J'ai l'honneur d'être, avec tous les sentiments d'estime, d'amitié et de reconnaissance que vous m'avez inspirés et que je conserverai toute ma vie, Monsieur et très cher C". on frère.
Votre très humhle et très obéissant serviteur.
De L.vgr.vnge.
(') Rccitcrcitcs xur les mita récurrentes dont les ternia varient de plusieurs uianièrcs différentes ou sur l'intégration des équations linéaires aux différences finies et partielles, et sur l'usage de ces équations dans la théorie des hasards {Mémoires de l'Académie de Berlin, y. 183-9.7-2; ijjS), et t. IV, p. i5i de la préseiUe édition.
( 2 1 Du 1"' février au 9.8 mars 1776, des arrôts du (Conseil et des roglemeuts avaient modifié lorganisation de 1 École Militaire.
