IV

Ueilin, jo décembre 177O.

Monsieur et tués illustre Confrère,

Je comptais attendre pour vous écrire que je pusse vous envoyer en même temps un exemplaire de mes recherches Swr l'intégration des équations linéaires aux différences finies partielles, (h)nt l'impression est presque achevée. Mais votre dernière k^ltre me détermine à ne pas différer davantage ma réponse.

Il est vrai que j'ai eu autrefois l'idée de donner une traduction de l'Ouvrage de Moivre, accompagnée de notes et d'additions de ma façon ('), et j'avais même déjà traduit une partie de cet Ouvrage; mais j'ai depuis longtemps renoncé à ce projet, et je suis enchanté d'apprendre que vous en avez entrepris l'exécution, persuadé qu'elle répondra à la haute idée qu'on a de tout ce qui sort de votre plume. Je vous exhorte donc aussi de mon côté à continuer ce travail, et j'applaudis d'avance à vos succès de tout mon cœur. Comme mon Mémoire sur les équations finies contient la solution analytique de quelques problèmes de Moivre qui ne sont résolus dans son Traité que par des voies indirectes et quelquefois sans démonstration, vous jugerez si vous pouvez en faire quelque usage. Je vous assure que je n'ai aucune pré- Icntion à cet égard, et je ne vous demande d'employer le peu que j'ai l'ait (juc lorsque vous n'aurez rien de mieux à y substituer.

J'ai lu tous vos Mémoires avec autant de plaisir que d'admiration : ils n'oni fail (|u'augmenter en moi l'opinion (jue j'ai depuis longtemps

(') .le crois qu'il s'agil du Traité inliluié : J'Iic doclrinc <if cluinccs-, or a mcthod of calculating tite probnbiiitics of rvcnis i/iplar, qui a eu plusieurs édilions; la première est de 1716, la dernière de lySG, iu-,i". Abraham Moivre, habile géomètre, né le a6 mai 1667 à Vilry en Champagne, mort à Londres le ^,7 novembre 1754. Il était protestant et, lors de la révocation de l'cdit de Nantes, il fut enfermé au prieuré de Saint-Martin. Il recouvra sa liberté en 1688, et se retira immédiatement en Angleterre.

(lt> v()lr(> i^t'-nit». Votre méthode pour faire disparaître les arcs do oenic est (les plus ini2;éni(>uses; elle parait seulement n'avoir pas toute la siniplieité ({u'ou pourrait désirer, et dont je ne doute pas (ju'elle ne soit susceptible: mais vous êtes mieux en état d'en juger que moi. A'oli'e théorème sur les sphéroïdes homogènes en équilibre est très exact et très beau; je rii'en suis assuré par une méthode différente de la vôtre, la(juelle m'a conduit à le généraliser un peu. .l'attends avec impatience la suite de vos recherches sur ce sujet, ainsi (|ue sur l'intégration des équations aux différences partielles; personne ne lit vos Ouvrages avec plus de plaisir que moi, et n'en fait mieux son profit; aussi personne ne vous rend peut-être plus de justice que moi, ni avec plus de sincérité. Votre démonstration du théorème de Fermât sur les nombres premiers de la forme Sn-h 3 est ingénieuse; je démontre aussi ce théorème ainsi qu'un grand nombre d'autres dans mon Mémoire sur ce sujet, que, faute de place, je suis aussi obligé de renvoyer à un autre Volume. C'est une grande satisfaction pour moi de voir que vous avez pris goût à ces sortes de recherches ; je crois que vous êtes le seul (jui ayez lu mon dernier bavardage sur ce sujet; mais votre suffrage me suffit, et je croirai toujours avoir travaillé utilement lorsque je pourrai le mériter.

Je suis charmé que mon travail sur les intégrales particulières vous ait plu, et je suis très sensible à ce que vous me dites de flatteur sur ce sujet; je vous en remercie de tout mon cœur. Votre objection conlrc la méthode du P. Boscowich me paraît très fondée. J'ai fait des remarques semblables sur rinsuffisance de la méthode proposée par Bouguer dans les Mémoires de 1733 ('), à laquelle celle du P. Boscowich a peut-être beaucoup de rapport. Cette méthode de Bouguer est très belle et réduit le problème au premier degré; mais, comme les inconnues s'y trouvent déterminées par des expressions dont le numérateur et le dénominateur sont très petits du second ordre, en supposant les observations peu éloignées entre elles, et la portion d'orbite rectiligne, il s'ensuit qu'une

(') De 1(1 ddterminntioit de l'orbite des comèfef, p. 33i du Volume de 1733.

(i('s polilc erreur dans les observations doit en causer une très grande dans les résultats. Je crois qu'en général cet inconvénient doit avoir lieu dans toutes les méthodes où l'on veut déterminer des inconnues finies et dilFérentes entre elles par des quantités finies, d'après des données dont les différences sont très petites.

Je lirai avec bien du plaisir vos réflexions sur la détermination de l'orbite des comètes; j'ai aussi donné, il y a deux ans, à l'Académie, un Mém()ire sur ce sujet (jui n'a pu, comme bien d'autres, être imprimé jusqu'ici, faute de place.

Recevez tous les vœux que je fais pour vous dans ce renouvellement d'année, ainsi que les assurances de la haute estime et du parfait dévouement avec lesquels j'ai l'honneur d'être, 3lonsieur et très cher Confrère,

Votre très humble et très obéissant serviteur,

De Lagrange.

Berlin, T' septembre 1777.

MONSIELU ET TUÈS ILLLSTRE CONFRÈUE,

J'ai reçu, il v a deux mois, votre beau Mémoire sur l'inléa-ration des équations aux dilférences partielles ('); je ne vous en ai pas remercié d'abord, parce que j'ai voulu auparavant le lire et l'étudier, afin d'être en élal de vous en dire mon avis; de plus, j'ai voulu attendre (|ue je pusse vous envoyer en même temps le Mémoire sur les équations aux différences finies et parlielles que je vous avais annoncé, et (|ue vous paraissiez désirei*. Je joins à ce JMémoire la suite de mes recherches

(') Mémoire sur /'i/sagc du calcul aux différences partielles dans la théorie des suites {Mémoires de V Acadcinie des Science^:, année 1777, p- <)9-i'22).

DE LVr.RANGE AVEC LAPLACE. G'J

trAi'ithniéti(jUO, que je ne nie suis liàté de faire [)araitre que parcM^ (|ii(' vous m'y avez encouragé pai' voire sufTi'ai>e. Je souincls le (oui à votre jugement, et je vous aurai une véritable obligation de me dire sincèrement ce que vous en pensez. Je suis surtout impatient de savoir votre sentiment sur la manière dont je traite les équations aux difïerences tinies et partielles, ainsi que sur les autres objets contenus dans le même Mémoire.

Je vous prie de faire mille compliments de ma part à M. Messier ('), et de lui dire que son 31émoire sur l'anneau de Saturne n'a pu être imprimé dans le Volume qui est sous presse à cause de la planche; le libraire (jui publiait nos Mémoires vient d'y renoncer, et cela a causé des délais et quelques disputes qui sont maintenant terminées. L'Académie a résolu de publier dorénavant ses Mémoires pour son propre compte, et l'on va mettre sous presse le Volume de 1777, qui paraîtra infailliblement à Pâques prochain; le Mémoire de 31. Messier y est destiné inévitablement.

C'est avec le plus grand plaisir que j'ai lu votre Mémoire sur le ('aïeul intégral aux différences partielles; j'en suis content au delà de tout ce que je puis vous dire. Les articles IV, VII, X et XIII renferment autant de découvertes qui font le plus grand honneur à votre génie; je vous en félicite, et j'y applaudis de tout mou cœur. Vous jugez bien que je n'ai pu lire ces recherches sans faire plusieurs remarques tendant à les généraliser et à les simplifier; par exemple, il me semble qu'on peut démontrer, en général, que l'intégrale de toute équation linéaire aux différences partielles doit contenir au moins une fonction arbitraire délivrée du signe / ; car, si l'expression de l'intégrale contient un terme de la forme /yoç(ô)c?9 oh p soit une fonction donnée de 0 seul, il n'y a qu'à faire

(') Ce Mémoire parut dans le Volume de l'année 1776, p. 3i2-336. Charles Messier, astronome, né à Badonviiicr f Lorraine 1 le 76 juin 1730, mort à Paris le i -> avril 1817. Il était membre de l'Académie de Berlin depuis 1769.

et l'on fora disparaître le signet; mais, si /j contient deux variables, X et y, 0 étant une fonction donnée des mêmes variables, alors je remarque que l'intégrale fp'::ji(^)M ne peut avoir une valeur déterminée, à moins qu'on ne suppose que cette intégrale doive être prise en regardant comme constante une fonction donnée de x et de r; et, pour lors, il est clair qu'en nommant ^ cette fonction, on pourra ajouter à l'intégrale //>cp(0)r/G la quantité '|(p), c'est-à-dire une fonction quelconque de p. En général, il me semble que c'est un principe qu'on doit nécessairement admettre dans le Calcul intégral, (jue toute expression intégrale simple qui contient plus d'une variable sous le signe suppose ([u'il y ait autant de fonctions données des mêmes variables qu'il y a de ces variables moins une, lesquelles demeurent constantes pendant l'intégration, et alors il est visible qu'on peut ajouter à l'intégrale une fonction quelconque de ces fonctions données. J'ai voulu étendre la méthode de l'article VU aux équations d'un ordre supérieur au second; mais, après plusieurs tentatives, je me suis convaincu qu'elle ne s'applique avec succès qu'aux équations de la forme

d^z Oz „ dz d'-z ^d'z

dxdy dx ' dy dr''^ dy

il est vrai aussi que j'ai remarqué que toute intégrale de la forme

ô = AX4-B^+C^+..., cix dx^

X étant une fonction indéterminée de .r, conduit nécessairement h une équation dilïerentielle de la forme précédente; d'où il seml)le qu'on pourrait conclure, en général, que toute équation aux différences partielles linéaires qui est susceptible d'une intégrale finie, de quelque ordre que l'équation soit, est nécessairement réductible à une forme plus simple, dans laquelle la différence d'une des variables ne passera pas le premier degré, et ne se trouvera que dans deux termes, .l'ai fait beaucoup d'autres remarques relatives à l'intégration des équations d'un ordre supérieur au second; elles pourront me fournir la matière

l)i: LM.RANGE AVEC LAl'LACE. 71

il'im ^loinoiro, si je ne suis pas prévenu sur co sujot par vous ou par quoique autre.

Si vous voyez 31. du Séjour, je vous prie de lui renouveler l'assurance des vifs sentiments d'estime et d'amitié que je lui ai voués : je viens de lire ses recherches sur les racines imaginaires (' ), et j'en suis extrêmement content; si sa méthode s'applique avec autant de succès aux équations ilu cinquième degré, je la regarde comme une des plus l)fllcs découvertes qu'on ait faites : c'est pourquoi je suis impatient de voir la suite de ses recherches. Je le suis également de lire celles que vous m'annoncez sur les oscillations des fluides qui recouvrent les planètes, et sur l'équilihre des sphéroïdes hétérogènes et non de révolution; je compte de supprimer ce que j'ai trouvé sur ce dernier sujet, jusqu'à ce que j'aie vu le résultat de votre travail, et j'en ferai de même à l'égard d'un Mémoire sur les racines imaginaires, que j'ai composé depuis longtemps; je serai charmé que l'Ouvrage de M. du Séjour le rende inutile.

Adieu, mon cher et illustre Confrère; je vous prie de me regarder comme un de ceux qui vous aiment et vous admirent le plus, et qui sont le plus portés à vous rendre toute la justice que vous méritez. J'ai toujours envisagé la Géométrie comme un objet d'amusement plutôt que d'ambition, et je puis vous assurer que je jouis beaucoup plus des travaux des autres que des miens, dont je suis toujours mécontent; vous voyez par là que, si vous êtes exempt de jalousie par vos propres succès, je ne le suis pas moins par mon caractère. Le plaisir de m'entretenir avec vous m'a entraîné, et il ne me reste de papier que pour vous embrasser.

( ' ) Mémoire daui lequel on propose une luc'tliodc pour dcterni'uier le nombre dex racines réelles et des racines imaginaires des e'quations {Recned de l' Acadénne')^ année \~~i-., II' Partie, p. 377. Le Volume porte la date de 177G.

LAPLACE A LAGRANGE

Monsieur et très illustre Confrère,

3 février 1778.

Je profite do l'occasion que m'offre le retour de M. Bitauhé à Berlin pour vous faire part des vœux que je forme, au commencement de cette année, pour tout ce qui peut intéresser votre bonheur, et pour vous renouveler les sentiments profonds d'estime et d'amitié que vous m'avez inspirés. J'ai reçu les beaux Mémoires que vous m'avez envoyés, et je les ai lus avec la plus grande satisfaction ; j'ai surtout admiré vos recherches sur le Calcul intégral aux différences finies partielles, et les applications que vous en faites à l'analyse des hasards; il me paraît difficile d'y rien ajouter qu'en faisant des recherches analogues sur les équations linéaires aux différences partielles dont les coefficients sont variables, mais vous nous promettez de les considérer dans un autre Mémoire, et je l'attends avec la plus vive impatience.

Avant que d'avoir reçu votre beau travail, j'avais commencé quelques recherches sur le cas où les coefficients sont constants, et je faisais usage d'une méthode analogue à celle dont on s'est servi pour les suites récurrentes. Je considérais, par exemple, l'équation

(i) o = Aj„,,„ -H B r,„,,„ -h C/„,,„, + D,r,„,,„i

comme résultante du développement de la fraction

A-i-B^ + Cc + D^j:'

o{x) étant une fonction arbitraire de .r; car il est clair que si l'on développe cette fraction et que l'on nomme y,„,;j le coefficient du terme x"'z", on aura l'équation (i). Il ne s'agit donc que de déterminer ce coefficient pour avoir la valeur de ->',„„; pour cela, je mets la fraction

précédento sous cottt" tormo

'c j-lKr'

'^(-r) étant une fonction arbitraire de x; le coefficient de -" sera donc

Il ne s'agit plus que d'avoir la valeur de x'" dans cette quantité; pour

cela, je développe (-^ — b~^) *^" «<^'i"ic, et j'ai, au lieu de cette quantité, celle-ci

N + N' ^ + N" ^2 + N'" 07' + ... ; donc

Pour avoir le coefficient de x"' dans cette quantité, il faut connaître, dans le développement de ']^(x), les coefficients de x"', x"'~', .t'" -, ...; or, ']'(x) étant une fonction arbitraire, on peut représenter par T(m) le coefficient dex'", T{m) étantune fonction arbitraire de tw; on aura donc, pour le coefficient de x"\ dans le développement de ( -^ — ~ "^j '^(x),

Nr(wO + N'r(m — i)4-N"r(m — 2)+...; donc

/„,,„ = N T{m ) + NT(m — i) + . . . ,

résultat entièrement conforme au vôtre. Je n'avais pas poussé plus loin ces recherches, sachant que vous vous occupiez du même objet, et persuadé que vous n'y laisseriez rien à désirer.

Votre solution du problème des parties dans le cas de trois ou d'un plus grand nombre de joueurs est fort générale et fort simple; celle que j'en ai donnée dans mes recherches est très compliquée : j'en ai donné une autre beaucoup plus simple dans Verrata des Mémoires des Savants étrangers pour l'année 1773 ('). Il s'y est glissé une légère faute

('; Voyez le Recueil des Savants étrangers, t. VI, p. G'ji cl suiv., année 177I, cl Mémoires de l'Académie^ p. 34 1, année 1773.

Ta. correspondance

d'impression on co qn'on a ôeril 1 an lion do V; mais le problème le plus (linîcile Ai' tonte cette analyse est celui àî^ la durée des parties en rabattant, et j'ai lu avec le plus grand plaisir la belle solution que vous on donnez. C'est avec le même plaisir que j'ai lu votre méthode pour intégrer les équations linéaires aux différences finies et aux dillerences inliiiimcnt petites, lorsqu'elles ont un dernier terme, et lorsqu'on sait les intégrer en supposant ce dernier terme nul. ('otto manière do faire varier les constantes arbitraires me paraît être de la plus grande utilité dans l'Analyse et surtout pour les approximations. Vous avez eu la bonté d'approuver l'usage que je crois en avoir fait le premier, pour faire disparaître les arcs de cercle des intégrales des équations du mouvement des corps célestes. Je ne doute pas que les applications que vous vous proposez d'en faire au système du monde ne répandent un très grand jour sur toute l'Astronomie physique.

Recevez encore, mon cher Confrère, mes remerciements pour le plaisir que m'a causé la lecture de vos recherches arithmétiques; votre travail est une des plus belles choses que l'on ait faites sur cette branche de l'Analyse. Je m'attendais bien à y trouver la démonstration de ce théorème de Fermât, que le double de tout nombre premier de la forme 8«— I est la somme de trois carrés; j'en ai autrefois cherché la démonstration, et j'avais réduit, comme vous, la difficulté à démontrer ce théorème pour les nombres premiers de la forme i^n — i; mais j'y fus arrêté, et j'ai bien sujet de m'en consoler, puisque vous avez éprouvé le même sort. C'est en quelque sorte une tache pour la Géométrie moderne que l'on n'ait pu retrouver encore les démonstrations dos théorèmes que Fermât nous a laissés, et qu'il nous assure avoir démontrés. Si quoiqu'un peut effacer cette tache, assurément c'est vous, et je ne doute point que vous ne nous rendiez un jour les démonstrations de Format avec un grand nombre d'autres théorèmes entièrement nouveaux. Le grand géomètre avait certainement une méthode toute particulière et peut-être fort simple qui l'a conduit aux différents (héorèmes qu'il nous a laissés, et dont la démonstration ne nous paraît aussi difficile que parce que nous n'avons point encore retrouvé le fil do ses idées.

Je 110 ino lasso j)()inl ilo lire voiro l'xcollcnl Méiuoii'c sur les iiilôgrales particulières. Jo lo regarde comme un chef-d'œuvre d'Analyse, par l'importance du sujet, par la beauté de la méthode et par la manière élégante dont vous le présentez. En généralisant le paradoxe qui a donné lieu aux premières recherches des géomètres sur cet objet, j'en ai tiré une méthode assez simple pour avoir les intégrales des équations algébriques toutes les t'ois ([u'elles en sont susceptibles, (lelte méthode est fondée sur ce ((ue l'on |)cut toujours obtenir celle intégrale par des diirérenlialions successives. Pour vous en donner une idée, considérons l'équation

dv

p étant fonction de x et de j, et supposons que son intégrale soit de la

forme

o ^ a 4- a'''jc + a-^'/ H- xy,

a, à'K a'-' étant des coefficients constants indéterminés; en diOerentiant cette intégrale et substituant au lieu de -7- sa valeur/; ou autre,

o = rt'" + a'-'/j -h j -h xp; dillérentiant encore, on aura

dx ^d^;-^'^+^^^+-^5^'

ce qui donne soit

ip

dp dp '

il-^Pdy

dp , ^dp et l'on aura, en dillereiilianl,

ôx ' ùy

dp' dp'

dy Si cello équation est idontiquc, l'équation en -j- aura pour intégrale

une équation de la forme

o = a 4- «"* -f -1- rt'^'/ -+- cc}'] et, si/>'+ £c est fonction de x et de j, l'intégrale sera

o == a'" + /)'+ ic,

rt"' étant l'arbitraire. L'équation

dp' dp'

ox ^ dy

est une équation aux dilTérences partielles du second ordre entre x, y, p et ses différences partielles; son intégrale renferme toutes les valeurs ào p, telles que l'équation -7- =/^ est susceptible d'une intégrale de cette forme

o = a -t- a'-^'i X -\- a'--'' y + xy; et soit a''^= t'(^) eta'-'=: '|(«), on aura

en diflerentiant, on aura

en éliminant « de cette valeur de p, au moyen de l'équation (2), on aura l'intégrale complète de l'équation précédente aux différences partielles du second ordre, puisque cette intégrale dépend des deux fonctions arbitraires 9(«) et '\i{a)', on aura ensuite toutes les solutions particulières, au moyen des équations

dx ^ dy

^^ = o et ^ = o.

oa aa

Vous voyez ainsi que toutes les équations différentielles dont l'intégrale est algébrique offrent des paradoxes analogues à celui ((ui l'ait l'objet du Mémoire de M. Clairaut ('), et que l'on peut toujours dé-

(' ) Voir dans les Mémoires de l'Acadcnuc de 1740, p. a*)'}, le Mémoire de Clairaut, sur l'i/itegration ou la construction des équations différentielles du premier ordre.

(ermincr ces intégrales par tlo simples difTôrcntiations, ce que vous trouverez, je crois, plus simple que la méthode que IM. Fontaine a donnée pour cet objet dans le Recueil de ses 3Iémoires. Le développement de cette idée fait l'ohjet d'un Mémoire assez étendu, que je vais lire incessamment à l'Académie.

Je suis infiniment sensible aux choses obligeantes que vous avez bien voulu m'écrire relativement à mes recherches sur le Calcul intégral aux différences partielles; vos remarques sont très fines et très intéressantes : le moyen que vous employez pour faire voir que l'une des fonctions arbitraires doit exister dans l'intégrale débarrassée du signe f s'était aussi présenté à moi, mais je vous avoue qu'il ne m'avait point paru assez rigoureux; maintenant que j'y réfléchis de nouveau, il me semble, comme à vous, qu'il doit suffire. Dans l'extrait assez peu juste que M. de Condorcet a fait de mon Mémoire dans VHistoire de l'Académie pour l'année 1773 (' ), ce géomètre croit qu'on peut prouver a priori que les deux fonctions arbitraires sont à la fois débarrassées du signe j , ce qui est évidemment faux, comme je le lui ai fait remarquer à lui-même.

C'est avec la plus grande impatience que j'attends le Mémoire que vous m'annoncez sur les équations linéaires aux différences partielles des ordres supérieurs au second, et dont vos belles remarques me donnent d'avance la plus haute idée. Si je n'ai pas le mérite d'être utile à la Géométrie par moi-même, je me félicite au moins d'avoir donné occasion à plusieurs excellents Mémoires dont vous l'avez enrichie, et, comme je la cultive sans prétention et uniquement pour elle-même, je vous assure que je jouis autant de vos succès que s'ils m'étaient propres.

Si ^r. Bitaubé eût resté quelques semaines de plus à Paris, je l'aurais prié de se charger pour vous d'un Mémoire de moi sur le système du monde, dont l'impression est déjà fort avancée. L'objet de ce Mémoire est en grande partie le flux et le reflux de la mer, la précession des

(') Voir le Volume de 1773, Histoire, p. i3 et suiv.

équinoxes et la nutatioii de Taxe de la Terre, qui résultent de ce phéiiomène; car j'ai observé que l'attraction et la pression du fluide qui recouvre la Terre, et dont la figure est continuellement changée par l'action du Soleil et de la Lune, peuvent influer sensiblement sur le phénomène de la précession des équinoxes, et qu'il peut en résulter des quantités du même ordre que celles que produit immédiatement l'action de ces deux astres sur la partie solide de la Terre. Cette matière importante méritait sans doute d'être traitée par un géomètre plus habile, et je m'estimerais heureux si mes recherches peuvent vous engager à la considérer. Je vous les enverrai aussitôt qu'elles seront imprimées.

Le plaisir de m'entretenir avec vous m'a entraîné, et je commence a m'apercevoir de la longueur de ma lettre; je finis donc ici mon bavardage, en vous assurant que personne n'admire plus vos rares talents, ne vous aime plus véritablement et ne désire plus sincèrement votre amitié que moi; c'est dans ces sentiments que j'ai l'honneur d'ètrfs Monsieur et très cher Confrère,

Votre très humble et très obéissant serviteur,

Laplace.

LAPLACE A LAGMNGE.

Paris, ■!') février 1778.

Monsieur et très illustre Confrère,

Je vous envoie le premier exemplaire des recherches que je vous ai annoncées dans ma dernière lettre ('). Je les soumets à votre jugement et je vous prie de me mander ce que vous en pensez; elles roulent en

(*) Voir Mémoire sur la précession des équinoxes {Mémoires de l'Académie, année •777, P- 329).

graiulo partie sur le (lux et le reflux dv la uier, nialière délieale et très eonipliquée ; je m'estimerais heureux si je pouvais avoir ajouté quelque ehose à ce que l'ou a fait avant moi, sur cette même matière. Vous y verrez la solution complète du problème qui fait l'objet du Traité de la cause des vents de M. d'Alembert ('), et dont cet illustre auteur n'a donne la solution que dans le seul cas où l'astre qui attire un fluide qui recouvre une planète immobile est lui-même immobile; mais il y a beaucoup de mérite à avoir résolu ce cas, quoique très particulier, et je pense qu'il ne doit pas avoir lieu d'être mécontent de la manière dont j'ai parlé de son travail. Je désire bien de savoir ce que vous pensez de ma deuxième méthode pour déterminer les oscillations de la mer; il m'a paru qu'elle donnait, d'une manière assez simple, la partie des oscillations du fluide qui est indépendante de sa figure et de son mouvement primitifs; or cette partie est la seule qu'il soit intéressant de connaître, puisque l'autre doit être détruite à la longue. Je serai fort aise surtout de savoir votre avis sur l'explication que je trouve, du peu de différence qui existe entre les deux marées d'un même jour, différence qui serait énorme, suivant les résultats de Newton, dans les grandes déclinaisons du Soleil et de la Lune. Je vous avoue que ce peu de conformité avec la théorie et les observations m'avait toujours frappé. M. Daniel Bernoulli tâche à la vérité d'en rendre raison, dans sa pièce sur le flux et le reflux de la mer (-), en disant que les changements qui sont dus a la rotation de la Terre sont trop vites pour que les marées puissent s'y accommoder; mais vous verrez, je crois, par l'art. XIX de mes recherches, que cette raison est de peu de valeur, puisque la différence des deux marées d'un même jour pourrait être fort grande, malgré cette vitesse de rotation, dans une infinité d'hypothèses sur la profondeur de la mer, et que, dans les mêmes hypothèses où elle est très petite ou nulle, lorsqu'on a égard au mouvement de rotation de la Terre, elle serait très

(») Re/lexions sur la caufe générale det vents. Paris, 1747, in-4°. Co Mémoire avait obtenu un prix à l'Académie de Berlin en 1747.

Ç-) Traite sur le flujo et le reflux de la mer. Mémoire couronné par l'Acadcmio des Sciences en 1740. Il est imprimé au tome IV du Recueil des prix.

considérable, si l'on supposait la Tcrro immobile, en transportant en sens contraire à l'astre son mouvement angulaire de rotation; on pourrait cependant dire alors avec M. Bernoulli que les changements qui sont dus au mouvement de l'astre sont trop viles pour que les marées puissent s'y accommoder.

La longueur de ces recherches m'a empêché d'insérer dans ce même Volume ce qui est relatif à la précession des équinoxes et aux oscillations, de l'atmosphère; mais je ne crois pas que cette suite tarde à être imprimée, et je vous l'enverrai aussitôt. Je désirerais bien que ces faibles productions pussent m'acquittcrdc ce que je vous dois, par rapport aux excellents Mémoires que vous me faites l'amitié de m'envoyer ; mais je sens que, malgré tous mes efforts, je ne pourrai jamais être dispensé de la reconnaissance. Au reste, ce sentiment, loin de m'être pénible, m'est extrêmement doux, parce que rien ne peut me flatter davantage que cette marque d'amitié de la part d'un des hommes pour lesquels j'ai le plus d'estime, et dont j'admire le plus les talents.

Il ne paraît rien de nouveau , en Géométrie, à Paris ; mais on imprime actuellement un Ouvrage de M. Bézout, dont l'objet est une théorie générale de l'élimination entre un nombre quelconque d'équations et d'inconnues, quel que soit le degré des équations ('). Je ne connais cet Ouvrage que par la lecture que l'auteur en a faite à l'Académie, et par le peu qu'il m'en a dit; il m'a paru très bon, et d'autant plus intéressant qu'il me semble que les recherches des géomètres s'étaient jusqu'ici bornées à éliminer entre deux équations et deux inconnues.

M. du Séjour va faire imprimer incessamment une très belle théorie de l'inflexion des rayons de lumière, lorsqu'ils traversent les atmosphères des planètes et de leurs satellites; il se propose de vous en envoyer un exemplaire, lorsqu'elle sera imprimée. Il me charge dans ce moment de vous renouveler les assurances des vifs sentiments d'estime et d'amitié que vous lui avez inspirés. Adieu, mon très cher et très illustre Confrère, aimez-moi toujours un peu, et soyez persuadé que

( ' ) Théorie générale des équations algébriques, 1 779, in-4°

pcrsoniK' ne vous aimo plus véritablement et u'attaclie plus de prix (|ur moi à votr(> estime et à votre amitié. Je lerai tout mon j)ossible pour mériter l'une et l'autre, et je les regarderai comme la |)ius précieuse récompense de mon travail, si je suis assez heureux pour y parvenir. J'ai l'Iionneur d'être, avec tous les sentiments que vous me connaissez. Monsieur et très cher Confrère,

Notre très humble et très obéissant serviteur,

Laplace.

LAPLACE A LAGMNGE.

Paris, T9 novembre 1778.

3l0NSIEUR ET TUÉS ILLUSTRE CONFRÈRE,

Voici le premier exemplaire de la suite de mes recherches sur plusieurs points du système du monde ('), et je m'empresse de vous l'envoyer, en vous priant de me marquer ce que vous en pensez. Je suis infiniment sensible aux choses flatteuses que vous avez bien voulu m'écrire, relativement à mes premières recherches, et je vous remercie surtout bien sincèrement du conseil que vous m'avez donné sur la précision et la clarté que tout lecteur est en droit d'attendre de ces sortes de matières; je me propose aussi d'y donner une attention particulière, dans les recherches que je publierai par la suite; vos Mémoires, et principalement ceux que vous avez donnés en dernier lieu, sont des modèles parfaits en ce genre, et ils ne me paraissent pas moins recommandables par l'élégance que par les découvertes sublimes qu'ils renferment. Les remarques que vous m'avez envoyées sont très belles; j'ai été surtout charmé de la manière dont vous ramenez à une seule équation aux

(') Rcchcrclteii sur plusieurs points du sjstcme du monde {Mc'inoires de l'Académie, année 1775, p. 73, et année 1776, p. 177).

diU'érencos partielles le cas de n = o. Vous verrez dans l'art. XXlIi (fu'eii employant la méthode de l'art. XIII je parviens à une équation dilTérentielle d'une forme à peu près semblable. Quant à l'équation (5) de l'art. IV' , que vous prétendez illusoire, il me paraît qu'elle est donnée par la nature même du problème, et qu'elle peut servir à faire connaître que, depuis la surface du sphéroïde jusqu'à celle du fluide, les vitesses horizontales sont très sensiblement les mêmes, et c'est uniquement sous ce point de vue que j'en ai fait usage dans l'art. VIII.

Je serai fort aise de savoir votre avis sur la partie de mes recherches qui concerne l'équilibre ferme des planètes; mes résultats sont bien contraires à ce que M. l'abbé Boscowich a avancé à ce sujet; mais, quoique j'aie eu lieu" de me plaindre de ce savant, dans une dispute que j'ai eue autrefois avec lui sur les orbites des comètes, et dont je crois vous avoir rendu compte alors, je me suis cependant abstenu de le nommer, pour éloigner tout ce qui pourrait avoir l'air d'anciennes querelles, dont je suis autant l'ennemi par principe que par caractère.

Vous trouverez à la fin de ce Mémoire une nouvelle démonstration assez simple de mon théorème sur la loi de la pesanteur à la surface des sphéroïdes homogènes en équilibre; comme je ne doute pas que vous n'y soyez parvenu d'une manière beaucoup plus générale, et que vous n'ayez embrassé un plus grand nombre d'objets, je verrai avec le plus grand plaisir vos recherches sur cette matière. J'attends avec une vive impatience le Mémoire que vous m'avez annoncé, et je me fais d'avance une véritable fête de le recevoir. Personne ne vous lit avec plus de plaisir que moi, parce qu'aucun géomètre ne me paraît avoir porté à un aussi liant point que vous toutes les parties qui constituent le grand analyste; permettez cet aveu à ma reconnaissance, puisque c'est principalement par une lecture assidue de vos excellenis Onvrag(^s (|ue je me suis formé.

M. Bitaubé a pu vous dire que je lui ai parlé de vous dans ces termes, et c'est ce que je ne cesse de répéter à mes amis. Oserais-je vous prier de faire de ma part mille compliments à ce digne académicien, et de lui témoigner combien je suis sensible à son souvenir? iM. Ii' inar({uis de

Caraoeioli, anibassadoiir do Naples à la (]our de Franco, nous fait cspériM- (|iio vous fcrc/, bientôt un voyage à Paris; je désire biiMi vivement de vous y voir et de vous y embrasser; en attendant ce plaisir, recevez de loin, je vous prie, l'assurance do l'estime profonde et de ramilié sincère avec lesquelles je serai toute la vie, jMonsiour et très cher Confrère,

\'otre très humble cl très obéissant serviteur,

Laplace.

LAPLACE A LAGRANGE

IMONSIEUR ET TRÈS ILLUSTRE CoNFRÈRE,

Paris, 9 juin 1779.

Je profite de l'occasion que m'offre M. le marquis de Condorcet pour VOUS remercier des excellents Mémoires que vous avez eu la bonté de m'envoyer; je ne saurais vous dire jusqu'à quel point j'en ai été enchanté. La méthode directe et générale que vous substituez au parallélogramme de Newton, dans celui qui a pour objet l'usage des fractions dans le Calcul intégral, est très ingénieuse, et ce Mémoire, ainsi que celui sur les suites, est entièrement digne de votre génie; mais ce (jui m'a le j)lus intéressé, ce sont vos recherches sur l'altération du moyen mouvement des planètes. L'application heureuse de la belle méthode que vous avez exposée, au commencement de votre Mémoire, sur les différences finies partielles, la formule extrêmement simple à laquelle vous parvenez pour la variation du grand axe, la remarque très tine que cette formule est intégrable en n'ayant égard qu'à la variation des coordonnées de la planète troublée, et la conséquence qui en résullr (|ii(', toutes les fois que les moyens mouvements des planètes sont incommensurables entre eux, les variations de leurs grands axes sont nécessairement périodiques; tout cela, joint à l'élégance et à la

simplicité de votro analyso, m'a causé im plaisir que je ne puis vous rendre. Lorsque ](; trouvai le grand axe constant, dans le cas des orbites peu excentriques, je pressentis que cela devait avoir lieu quelle que fût rexcentricité des orbites, et je me proposais d'en faire un jour l'objet de mes recherches; mais je suis doublement charme que vous m'ayez prévenu à cet égard, parce que vous avez exécuté ce travail infiniment mieux que je ne le puis faire, et que d'ailleurs votre autorité est bien propre à détruire le préjugé que les recherches antérieures et celles de M. Euler pouvaient élever dans l'esprit des astronomes contre l'exactitude de mes résultats. Je souhaite que cela puisse déterminer quelques-uns d'entre eux à soumettre à un nouvel examen les observations d'après lesquelles on a cru reconnaître une inégalité dans les mouvements moyens de Jupiter et de Saturne, inégalité qui, si elle existe, ne peut être l'effet de leur action mutuelle, puisque, pour la trouver dans les termes proportionnels au carré des masses perturbatrices, il faudrait, comme je l'ai observé, avoir encore égard aux excentricités des orbites, ce qui ne produirait que des quantités absolument insensibles. J'ai su par M. d'Alembert que vous avez reçu la suite de mes recherches sur le système du monde; si vos occupations vous laissent le loisir de les parcourir, vous m'obligerez infiniment de m'en dire votre avis, comme je crois vous en avoir déjà prié dans la lettre qui y était jointe; je finis en vous assurant que rien ne peut ajouter aux vifs sentiments d'amitié, d'estime et de reconnaissance dont je suis pénétré pour vous, et avec lesquels je serai toute la vie, 3Ionsieur et très cher Confrère,

Votre très humble et très obéissant serviteur,

Laplace.

Berlin, 3 juilIoL 1779.

3l0xNSIEUR ET TRÈS ILLUSTRE CONFRÈRE,

Les Mémoires que vous m'avez fait riionneur de m'envoyer me sont parvenus clans une conjoncture où j'étais occupé moi-même de quelques recherches que je ne pouvais interrompre, et dont je craignais que la lecture de votre Ouvrage pût me distraire. Par cette raison, j'ai cru devoir remettre cette lecture au temps où je serais entièrement débarrassé de mon travail ; et il est arrivé que différentes circonstances, et surtout la malheureuse habitude que j'ai contractée de refaire plusieurs fois les mêmes choses jusqu'à ce que j'en sois passablement content, ont prolongé ce travail beaucoup au delà du temps que j'avais fixé. ^ oilà ce qui a retardé si longtemps ma réponse et mes remerciements. Je vous supplie de ne pas m'en savoir mauvais gré et de me pardonner ma négligence, qui a presque été involontaire et que je me suis souvent reprochée.

Vos nouvelles recherches sur le flux et le reflux de la mer m'ont plu infiniment; elles ne me paraissent laisser rien à désirer sur ce sujet, qu'on peut regarder comme un des plus difficiles et des plus importants du système du monde. La manière dont vous déterminez l'équilibre ferme des planètes est très ingénieuse, et me paraît la seule qu'on puisse employer pour avoir une solution générale et rigoureuse du problème. Je vous loue de n'avoir pas fait mention de votre querelle avec le P. Boscowich; j'en aurais fait de même à votre place; je regarde les disputes comme très inutiles à l'avancement des sciences et comme ne servant qu'à faire perdre le temps et le repos.

J'ai beaucoup admiré votre solution du problème de la précession des équinoxes, et je regarde comme une découverte bien curieuse et bien importante la partie de cette solution qui concerne la réaction des eaux. Il est très remarquable qu'il i\\'n résulte que des termes de la

même forme que ceux qui vionnont de l'action des astres, et cela me fait croire qu'il doit y avoir un chemin direct de parvenir aux mêmes résultats, indépendamment de la détermination du mouvement des eaux. Je me propose de méditer cette matière à loisir, et, si je trouve quelque chose qui puisse mériter votre attention, je ne manquerai pas de vous en faire part.

Je doute que ma démonstration de votre beau théorème sur la loi de la pesanteur soit plus simple (jue celle (|ue vous venez de donner; comme elle se trouve dans des paperasses que j'ai perdues depuis longtemps, je ne puis dans ce moment vous en rien dire ; j(> la chercherai, et si, après la vôtre, elle peut avoir encore quelque mérite (ce dont je doute fort), je vous la communiquerai, puisque vous paraissez le désirer.

J'ai lu à l'Académie un assez long Mémoire sur le problème de la détermination des orbites des comètes ('), où j'ai non seulement vérifié et confirmé votre remarque sur l'insuffisance et sur l'illégitimité du mouvement uniforme et rectiligne dans l'intervalle des trois observations, quelque petit que soit cet intervalle; mais je démontre rigoureusement que le problème ne peut jamais être abaissé au-dessous du septième degré, même en supposant les intervalles entre les trois observations infiniment petits, de sorte que ce degré est la véritable limite fixée par la nature même du problème, et au delà de laquelle on ne saurait aller sans renoncer à l'exactitude nécessaire.

Je vais maintenant vous communiquer quelques remarques que j'ai faites sur votre méthode de faire disparaître les arcs de cercle, et qui pourront peut-être contribuer à la rendre })Ius lumineuse et plus générale. Je considère la formule (j) de la page 2(Si (^Mémoires de l'Académie, année 1772), et je fais les coefficienis de sin/ el de cos/ égaux à s et à //, en sorte que

u =q-\- a Ipt — aM — ( 1 8 /^ -t- .5/^- -f- Se/- ) 4- ~ ;

(1 ) Voir t. V, p. 4^9 de la présente édition.

la ([uestion est de réduire, s'il est possible, ces expressions de ^etde // à une autre forme, où il n'y ait point d'arc de cercle /.

Comme p et q sont des constantes arbitraires, je tire les valeurs de ces constantes pour pouvoir ensuite les ftiire disparaître par la dilFérentiation; j'ai, en ne poussant l'approximation que jusqu'aux a-,

p =1 s -^ y. lut — 7r \ — • ( 1 8 /'- -i- 5 5- -t- 5 «- ) -^- /- ' — L

q ^^ u — X Ist + ot.- \ ~ (18/-+ 5*2 + 5m^) — 1-— •

Je did'érentie, et je dégage ensuite les différences -7-, --j-; en divisant par les quantités qui les multiplient, il me vient, en négligeant toujours les a%

— -h xlu — 01- — ( 1 8 /- + 05^ + 5 w'^ ) = o, at 12

-r — X Is -i- oâ — (18^^-1- 5**-+- 5«-) = o, at 12 ^

équations semblables à cellesque vous trouvez entre/?, 7 et T (p. 283), et qui, étant intégrées comme ces dernières, donneront des valeurs de i^, // en t, sans arcs de cercle. Si maintenant on substitue les valeurs de p ^\. q en s et u, dans les autres termes de la formule (5), on a, en négligeant toujours les a%

y^=^l — (t — y.l){2l^ -^ s'^-r- lû) 4- ss'mt + u CCS t

[su ly-salX . V u^ — s- clis- — m^)! -l-a(^^-^-jsm2.4-«[^-^+. 3 J'^'"'

+ ^ (3«2— 52)sin3^4-^(«-2- 3i2)cos3^.

On voit que les arcs t disparaissent d'eux-mêmes, non seulement dans les équations différentielles

d.<! du

mais encore dans l'expression de j; sans cette condition, l'élimination

des arcs (le cercle deviendrait impossible; et, si l'on était assuré a priori que cette condition doit avoir lieu, on simplifierait beaucoup les calculs précédents, car il n'y aurait qu'à rejeter d'abord les termes afTectés

de /, dans les valeurs de s, u, -.-» -t-^ ce qui donnerait

s^zp, ii — q, y = — oc/y-h a^ -^ (i8/- + 5/j-+ 57-),

du iy}p ^ ., „

— —alp '- (18/--1- jp-~h .u/-),

dt ' 13

f pq •2y.pnl\ y =^ i — . ■ -+- p sin l ~r q cos < + a sin 2 / l —^ ^-^— 1 4- ... ;

en sorte qu'il n'y aurait plus qu'à éliminer/? et g, au moyen des deux premières équations /> = ^, g = 11; or, de ce que l'équation difTérentielle en y ne contient point /, mais seulement dt, il n'est pas difficile d'en conclure que l'expression dey, ainsi que les équations en s, u et /, ne doivent pas non plus contenir l'arc t.

Il ne me reste de papier que pour vous embrasser et vous renouveler les assurances des sentiments que je vous ai voués pour la vie, et avec lesquels j'ai l'honneur d'être. Monsieur et très cher (Confrère,

A'oire très humble et très obéissant serviteur,

De Lagrange.

LAPLACE A LAGRANGE

Paris. 3o juillet 1779.

Monsieur et très illustre Confrère,

J'ai l'honneur de vous envoyer la fin de mes recherches sur le système du monde et le premier exemplaire d'un Mémoire sur les suites, dans lequel j'ai eu pour objet de rassembler sous un seul point de vue les différents théorèmes que l'on a trouvés sur cette matière, et prin-

n K L A c, n A \ r. e A^ e c i, mm. a c e. 89

cipalonionl ooiix (l(»nl vous l'ave/. (Miricliic. Je suis Mcn cliarnu' do voir ([uc iiios ilci'nièros rcclicrrlios oui [)u mériler voire sulTrago ; jo le regarderai toujours eouime la récompense la plus ilalteuse de mou travail, lorscjue je serai assez heureux pour l'obtenir.

Il nie parait certain, comme vous le croyez, que l'on peut déterminer les mouvements de l'axe de la Terre, indépendamment de la détermination du mouvement des eaux. (Vest un des objets dont je me >uis occupé depuis (juebjue temps, et j'ai l'ait sur cela plusieurs recherches que je me propose de rédiger et de donner au public, si je ne suis j)as prévenu par vous. Je les aurais entièrement abandonnées en apprenant (jue vous avez le dessein de vous occuper du même sujet, sans la liaison naturelle qu'elles ont avec d'autres objets qui me l(>s ont fait entreprendre. Il est assez remarquable qu'en partant des suppositions que Newton a adoptées dans sa théorie de la figure de la Terre et du reflux de la mer, il ne peut y avoir ni précession ni nutation; cette proposition, qui est un corollaire de mes formules générales, peut se démontrer très simplement par le raisonnement suivant, que j'ai inséré, en forme d'addition, dans Verrala de nos Mémoires. Si l'on conçoit une masse fluide liomogène, tournant sur son axe et en équilibre en vertu de l'attraction réciproque de toutes ses parties, et de celles du Soleil et de la Lune, il est démontré que tout canal rentrant en lui-même, pris dans cette masse, sera en équilibre; d'où il suit qu'il ne peut y avoir aucune tendance au mouvement dans l'axe même de rotation. Or il est clair que la même chose doit encore subsister, en supposant qu'une portion de la masse fluide vienne à se consolider et à former le sphéroïde de révolution que recouvre la mer.

Vos remarques sur ma méthode de faire disparaître les arcs de cercle sont très belles et m'ont fait le plus grand plaisir. Cette matière est très délicate; je l'ai envisagé(î d'une manière métaphysique et qui me paraît assez simple dans l'fvra/a de nos Mémoires pour l'année 17720. Je ne sais si vous la connaissez; elle est fondée sur ce que les termes proporlioiincls aux j)uissances du temps dans les intégrales dont il

( ' ) Voir plus haut, p. 73.