L. EuLER

A Monsieur de Lagrange, membre de V Académie royale des Sciences et Belles-Lettres, et Directeur de la Classe de Mathématiques, à Berlin,

EULER A LAGRANGE

Saiiit-Pélei'sbourg, ce yî février 1768 ( 1 }. Monsieur,

^'otre lettre du 29 décembre de l'année passée m'a été remise à peu

(') Ms. f° 23. — Opéra postuina, t. II, p. 569.

près en même temps que j'ai reçu le dernier Volume des Mémoires de l'Académie de Berlin, où je me suis d'abord fait lire votre excellent Mémoire sur le tautochronisme ('), puisque cette matière m'a autrefois tenu fort au coeur, et que j'ai aussi fait une analyse de la méthode de M. Fontaine, que vous trouverez dans le Volume X de nos Commentaires (-). Mais votre méthode est beaucoup plus ingénieuse, et la lecture m'en a causé un vrai plaisir, quoique l'espérance d'y trouver des tautochrones pour toutes les hypothèses possibles de la résistance n'a |)as été entièrement remplie. Or j'en ai d'abord découvert la source

dans la formule ^> à une fonction quelconque de laquelle vous égalez

le (emps par un arc indéfini, ou bien à une fonction de nulle dimension des quantités X et A. Mais vous conviendrez aisément que la supposition d'une telle fonction apporte à la solution une très grande limitation, attendu qu'on pourrait imaginer une infinité d'autres ex-

pressions également propres à représenter le temps -r-'' -r' et qu'on

supposât le temps égal à une fonction quelconque de toutes ces foi-mules ensemble, mais l'exécution mènerait à des calculs presque insurmontables.

J'ai aussi déjà remarqué, dans le Volume II de ma Mécanique, que les cas où la résistance serait comme le cube ou quelque puissance plus haute de la vitesse ne sauraient être résolus par de telles fonctions de nulle dimension, mais (ju'il faut l'ccourir à des fonctions de plusieurs dimensions, où je crois avoir indiqué la vraie route pour parvenir à la résolution de tels cas, mais qui, cependant, est trop embarrassante pour que j'aie pu en faire l'application à d'autres cas que celui où la résistance en elle-même est extrêmement petite. J'ai aussi vu (jue les trois méthodes de M. d'xVlembert, dans le même Volume de Mémoires ('), sont assujetties à la même restriction. Au reste, je crois devoir avertir que feu M. J. BernouUi n'a trouvé la taulochrone pour

( ') Sur les courhcx tautochrones {voir t. II, p. 817 de la présente édition). (*) Dilucidationes de tautoclironis in medio resislente, année 1766, t. X. (') Sur les tautochrones, année 1765, t. XXI. p. 38i-4i3.

la rosistaiit'O proporfionnoUc au cai'rt' de la vilosso (|ira|)i'ès que je lui on avais communiqué ma solution, et il n'a jamais dil (ju'il en avait (ait lo promicM- la découverte.

Je suis extrêmement ravi, Monsieur, (|ue mes i-eclierclies sur le mouvement d'un corps attiré à deux centres de Ibrccs fixes aient mérité votre attention; mais vous n'en avez vu que ce qui a été inséré dans les ^lémoires de Berlin et (jui regarde principalement les courbes algébriques que ma solution renferme ( ' ). Or j'en ai composé encore deux autres .Alémoires, dont l'un se trouve dans le Volume X de nos (lommeiitaires et l'autre dans le Volume XI (-). Dans le dernier, j'ai réussi à déterminer le mouvement dudit corps, lorsqu'il ne se meut pas dans le même plan, et je suis extrêmement curieux d'apprendre, à quel égard vous avez donné à ce problème une plus grande étendue. Si vous avez réussi de donnera l'un des deux centres de force un mouvement autour de l'autre, quoiqu'il ne fût que circulaire et uniforme, je le regarderai comme la plus importante découverte dans l'Astronomie.

L'impression de mon Calcul intégral avance assez passablement, et le premier Tome est déjà achevé, que je tâcherai de vous envoyer au plus tôt et peut-être accompagné du second; il y en aura trois Volumes en tout.

Je n'ai reçu qu'un exemplaire du N'olume III des iMémoires de Turin et je vous en ai déjà, si je ne me trompe, présenté mes très humbles remerciments. Comme je suis hors d'état de lire et d'écrire moi-même, je suis d'autant plus curieux de profiter des écrits des autres, mais principalement de vos recherches, qui sont toujours marquées d'un très éminent degré de profondeur. Je vous prie dojic de me conserver toujours votre amitié et bienveillance, et d'être assuré que je ne ces-

(') Problème. — Un corps étant attiré en raison réciproque quarrée des- distances vers deicr points fixes donnés, trouver le cas oii la coitrlje décrite i)ar ce corps sera algébrique. T. XVI. année 1760, p. ■n^-i^cj.

(*) Ces deux Mémoires sont compris sous le môme titre : De motu corporis ad duo centra virlum fixa attracti. T. X, année 1766, p. 207, et tome XI, année 17G7, p. rîî des T^ovi Comnientarii.

serai jamais d'être, avec une très respectueuse considération, Monsieur,

Votre très humble et très oijéissant serviteur,