XIV. 3o
Je finis en vous assurant des sentiments de respect et d'attachement avec lesquels j'ai l'honneur d'être, Monsieur,
Votre très humble et très obéissant serviteur,
A.- F. Lexeli..
Voici encore un tort curieux problème analytique de M. Euler qu'il
a trouvé en traitant des corps solides dont les surfaces peuvent être
déployées sur des plans : Trouver six quantités l, m, n, A, u., v, telles que
les formules
i dx H- >. dy, m dx -1- p. dy, n dx -t- v dy
soient intégrahles et qu'on ait
l^ + m- -h n- =z i , >.- H- jjL= + v- =; I , /X -t- m/J. H- «v 33 o.
J'en ai trouvé cette solution :
Sur une surface sphérique, soit décrite une ligne courbe quelconque
xMO, soit POQ un grand cercle qui touche MO en 0, et posons
PO = MO et PO ± QO — 90°.
Soient de plus trois points A, B, C tellement situés que les arcs AB, AC, BC soient chacun égaux à ()0°; et joignons AP, BP, CP; AQ, BQ, CQ. A présent, si l'arc MO est nommé w, que ^ soit une quantité variable indépendante de w, on doit prendre
a; ^ (})(w) + ssinw et j := 4'(&j) + 5 cosw,
m: i.Ac, Il VNC.E AN Ec i:i ij:r. 235
où 9(ctj), 'y(co) soiil (les Ibnclioiis (|n('l('{tn(|ti('s de (o; mais les (|ii;mtités À. IX. V seront égales aux cosinus des arcs AP, BP, C-P, de lacmc que /. f>i, n aux cosinus (h^s arcs AQ, lîQ, CQ.
(Au verso, do la main do Lagran^o :
licpoiidii dans une Lettre à M. Eulcr du ib juillet 177'i.)
EULER A LAGRANGE
c • . n-, 1 24 soptembre „ ,,^
Saiiit-Pelersbour<r, -^ ^ i--3 (').
a octobre
MoNSIElR ET TRKS HONORE CoNFRÈRE,
Ayanl enfin reçu la traduction française de mon Algèbre, j'ai l'honneur de vous témoigner ma très parfaite reconnaissance de la peine que vous vous êtes donnée d'y ajouter vos très profondes recherches sur l'Analyse indéterminée, et je vous prie de vouloir bien présenter tant à ^I. Bernoulli qu'aux libraires mes très humbles remerciements.
J'ai lu avec la plus grande satisfaction les excellents Mémoires (hjul vous venez (renrichir les Mémoires de l' Académie royale de Berlin; les belles démonstrations que vous y donnez du théorème de 31. Waring (-) m'ont causé un très grand plaisir, et j'en ai aussi trouvé une démonstration fondée sur des principes tout à fait diflerenfs.
Soit 2/>+ I le nombre premier dont il s'agit, et il est certain qu'il y a toujours une infinité de nombres a, tels que les puissances i.a.a'-.a\.. jusqu'à «-''"', étant divisées par ^p— i, produisent des restes tout différents entre eux, de sorte que «-^ soit la première puissance après l'unité (jui reproduise le reste i, d'où il s'ensuit ({ue la |)uissance a'' donne — i pour reste, (^omme donc tous les restes mentionnés sont
(') Ms. in-4", f" 40. — Opcrn postuma, l. I, p. 583.
(') Edouard Waring. né à Shrewsbury en 1734, mort en 1798.
inégaux outre eux, leur nombre élaut ip, tous les nombres i.2.3. '|...2/> V seront compris. Soit maintenant M le 'produit de tous ces nombres i .■i.'i.\...'ip, et il est clair que ce produit M, étant divisé par -ip -}- \ , laissera le même reste que le produit de toutes les puissances rap|)orlées; or ce produit est ouvertement a'''-^-", que je représente j)ar ce |)roduit rr^'/' 'V/^, dont le premier fact(nir (i-i'P-*' étant une puissance de a-'' laissera l'unité pour reste, mais l'autre facteur a'' donnera le reste — i; d'où il est clair (jue le reste qui résulte de cette puissance entière sera égal à — i, de sorte qu'aussi le produit .M doit donner le même reste, d'où il s'ensuit que la formule M -h i sera divisible par U> nombre proposé 2/j -+- i .
Or, pour ce qui regarde le nombre a, il faut qu'il soit tel que la formule x'- — a ne puisse jamais devenir divisible par le nombre premier ■2p -\- i; ainsi, par rapport à cliaquc nombre premier 2yy + i , tous les nombres se partagent en deux classes : la première de ceux (jue je nommerai h, d'où la formule x'- — h peut devenir divisible par 2/>-h i , et l'autre classe contient les nombres a dont je viens de parler. Pour trouver dans cliaque cas ces deux classes de nombres indiqués par les lettres h et (t, j'ai trouvé, par liasard, une règle très facile, qui méi'ile d'autant plus d'attention que je ne suis pas en état d'en donner une démonstration riafoureuse.
Pour cet effet, il faut diviser les nombres premiers en deux classes : l'une de la forme .\n — i et l'autre de la forme de 4« + i- Soit donc, |)reniièremen(, le nombre premier proposé de la forme \ii — i, et j'en forme une progression contenue dans ce terme général ji-\-z- + z, la- (|uelle sei'a i)ai' conséquent
II, /i + 2, « + 6, n-\-\î, n -\- -20, « H- i5o, /i + 4?,, «-+-56, n-h'-i, ...,
et je puis démontrer que tous les termes de celte série sont compris dans la classe des nombres marqués par h, de sorte qu'une foi-ninb* X- — b puisse devenir divisible par \n — i, ou bien tous ces nombres sont aussi tels que la formule />-"'— i soit toujours divisible par l\n ~ \, d'où il faut pourtant excepter les cas où b serait égal ■a f\n — v
Di: i.vciî wci: wec euler. 237
011 un iiiuUi[iI('; mais, pour ce (|U(' je ne [uiis pas ciicoro (h'inoiid'ci'. c'est que. non scnlonicnl (ous les It'rnu's do i-cttc progression, mais aussi lous les diviseurs de ehaeun, a|)partiennen( à la classe des nonii)res b\ et, en elîet, on observera toujours que, si <^/ est un diviseur de quelques-uns d(> ces termes, on rencontrera toujours dans la inrme progression un terme de la forme dk'- qui est équivalent au nombre d. Soit, par exemple, le nombre premier proposé \n — i =^ -i, et parlant /i = 18 = .i.y-, et la progression sera
18, 20, '^'i, 3o, 38, 48, Go, ~'\, 90, 108, ..., et l'on voit d'abord (jue les nombres de la classe h sont
Pour le nombre 2 la chose est claire, puisqu'il se trouve déj;» dans le ]uemier terme, multiplié par le carré 9; et le nombre 3 se trouve, multiplié par le carré iG, dans le terme 4<^; ensuite le second terme 20 reuterme le nombre 5 mullijjlié par le carré 4-
Pour les nombres premiers de la forme '\n h- i , je forme d'abord la progression de cette formule n — x ~ oc'-, qui sera
//, Il — >, n — 6, Il — I ■?., n — 20, Il — 3o, n — \i, n — 56, n — 72, ... ;
et, lorsque ces termes deviennent négatifs, on n'a qu'î» les traiter comme |)Osilifs, puisque si h est un t(d nombre, non seulement la formule x'- — h, mais aussi x- -\- h pouna devenir divisible [)ar '\u -+- i. Ici la même propriété a lieu que non seulement (ous les termes de cette progression, mais aussi tous leurs diviseurs, fournissent des nombres de la classe 6, et tous les nombres qui ne s'y trouvent pas sont ceux qui constituent la classe a; ainsi, prenant pour exemple '.\ri + 1 = 8c) ou bien «= 22, notre progression sera
22, 20, lO, 10, 2, 8, 20, 3'|, 5o, 68, 88, iio, i3'i, 160, ...;
d'où l'on vf)it d'abord ({ue la classe des nombres b contient
où il ('s( clair qiio le nombre 2 so roiiconlrc liii-inèmo dans cciie sério: et pour le nombre 11, en prenant r = 3'3, le terme de la progression sera 1100 = 11.10-; mais il est ici tri's remarquable que cetle belle propriété n'a lieu que si le nombre ^/i — i ou /|«h-i est premier, car, prenant par exemple 4/* — i = 35 ou // = 9, la progression sera
9, II, i5, 21, 29, 39, 5i, 65, 81, 99, 119, 1', I, ifw, ...
ici, quoique 3 divise plusieurs de ces termes, cependant il ne s'y trouvera aucun qui ail la forme 3X-, et il en est de même des nombres 5.7 et d'autres qui sont multipliés par 3.
Je suis fort assuré que la considération de ces circonstances pourra conduire à des découvertes très importantes.
Vous aurez vu, Monsieur, dans mon Algèbre, que le problème de trouver 4 nombres dont les produits 2 à 2, en y ajoutant l'unité, deviennent des nombres carrés, m'a fort embarrassé; et je n'ai pu même assigner, en général, des nombres entiers satisfaisants, quoique je me sois presque souvenu que ce problème a été résolu par Ozanam; mais l'occasion m'a manqué de faire des recherches là-dessus. Or, depuis, j'ai trouvé cette solution assez générale :
Ayant pris à volonté deux nombres m et n, tels que mn + i = /-, les quatre nombres cherchés seront
(I) m, (III) m^n-^îl,
(II) n, (IV) 4/(/+,;0(/+'0,
où le nombre /peut être pris tant négatif (|ue positif. Peut-être (jue cette solution se trouve dans l'Algèbre d'Ozanam ('); mais je n'aurais jamais cru que l'Analyse fût suftisante d'étendre (-) celte question jusqu'à cin(j nombres, et je fus ces jours-ci très agréablement surpris lorsque je rencontrai les cinq nombres suivants
A = i, B = 3, C=:8, D 1=120 et
(•) Nouveaux cléineiil s d'Algèbre. Amsterdam, 1702, in-8°. (*) C'est-à-dire qu'au moyen de l'Analyse, on pût étendre...
((ui salislont an\ dix l'oiidilioiis pi'csrrilcs de la iiianiJ'rc suivante :
(I) AB^ ! = .>-, (VI) (;i)+i = 3i%
(II) ACH-. = 3S (VII) AE + ,= (^y,
(III) AD-T-i = iiS (VIII) BE-Mi^f'^Y,
(IV) BC-Mz=5% (IX) CE + i = ('^y\
(V) BD + .= r(r, (X) DE + i = (^Y';
el de là je suis parvenu, mais par une méthode très indirecte que je ne saurais expliquer clairement, à donner une solution assez générale; car ayant établi, par les formules données, les quatre premiers nombres A, B, C, D, je fais
A + B + C + D =/>, AB + AC + Al) + BC + BI) -^CD-q, ABC + ABD + ACD + BCD = / , ABCD = s,
et alors le cinquième nombre sera
et, par rapport à ces nombres, cette propriété est fort remarquable,
(ju'on aura toujours
1 + 7 -{-s — lp-.
Cette matière paraît bien digne d'être mise dans tout son jour, mais je m'en sens incapable.
La résolution de la formule a.r- + i=j^ m'a causé autrefois bien de la peine, par rapport aux nombres a qui demandent de très grands nombres pour x et r, comme Gi et roç); mais je viens de trouver un théorème qui conduit d'abord à la solution de ces cas et d'autres semblables.
Connaissant pour le nombre a les valeurs r et s, telles que
(lu'oii [)r(Miii('
p =z rs el y = 5^+ 2,
cl cnsuilc
cl il y iuii'a cerlaiiu'iiu'iil
où il faut rcinarcjiici' que, puisque /• est par sa nature un nombre iin- |)air, ces deux expressions pour j;* et v donneront des nombres entiers; ainsi, pour le cas a = (ir, on aura d'abord r= ), .v = 39, et de là on lire les grands nombres a' vi y rap|)ortés dans ma Tabl(>.
M. Lexell et moi venons de remettre ii M. le chevalier ïricjuel (juelques Mémoires pour les Actes de l'Académie royale de Turin; il m'a assuré avant son départ que vous y serez incessamment rappelé, el que Sa Majesté le Roi régnant veut remettre son Académie dans son [)remier état florissant; dans ce cas, l'Académie de Berlin serait bien à plaindre.
Vous voyez, Monsieur, (jue je vous ai découvert mon cœur tout entier, et je vous prie de me continuer riionneur de votre amitié en vous assurant que je serai toujours avec le plus inviolable attaclienn'ut,
iMonsieur,
Votre très humble et très obéissant serviteur,
Léonard Euler.
EULER A LAGRANGE
Domino cKLrnriïniMO de Lagrarige S. P. D. Leonaudi's Eileu ('),
Sequens Iheorema allentione geometrarum liaud indignum, et analysin prorsus singularem postulare videlur.
(') Ms. iil-4°, f" 43. — Opéra poslaina, t. Il, |). 585
Theorema demonstrandum . — Si formula (liUVrcnlialis ~ '^ ita integretiir ut, facto a- = o, intégrale evaneseal, (um vero slatuatur a? = i, ejus valor sequalis est logarithmo binarii, ubi quideni logarithmi hyperbolici sunt intelligciuli.
De la main do Lagrange : reçu le iÇ> janvier 1775, répondu le 10 février.
EULER A LAGRANGE
A Saint-Pétersbourg, ce 23 mars 1775 (').
Monsieur et très honoré Confrère,
Il est bien glorieux pour moi d'avoir pour successeur à Rerlin le plus sublime géomètre de ce siècle, et il est certain que je n'aurais pu rendre à l'Académie un plus grand service qu'en prenant mon congé, et, à cet égard, je puis me vanter d'une grande supériorité sur vous, vu que vous ne lui sauriez jamais rendre un tel service.
J'ai parcouru avec la plus grande avidité les excellents Mémoires dont vous avez enrichi les derniers Volumes de Berlin et de Turin, où je n'ai pu assez admirer l'adresse et la facilité avec lesquelles vous traitez tant d'objets épineux qui m'ont coûté bien de la peine. Tel est le mouvement d'un corps attiré vers deux points fixes, et surtout l'intégration de cette équation différentielle
m dx __ n dy
V/A -4- Ba; + Cx^ + Da;» + Ea;* ^A -l- Bj -h Cj* + Hy' -t- Ej* toutes les fois que les deux nombres m et n sont rationnels. Cette
(') Ms. f° 44. — Opéra postuma, t. II, p. 586.
