I ) TC

après

')log^

depuis

o jusqu a s — Qo, est tou-

jours égal à zéro. Comme vous aurez tiré sans doute ce beau théorème — — -} depuis X = o jusqu'à x = ^, est égal à

— -y je suis curieux d'apprendre où s'en trouve la démonstration;

/• sin — ^ r

car, quoiqu'il nio soit connu depuis plus de quarante ans, je n'en ai néanmoins pu trouver une démonstration formelle que depuis peu de temps, et que je n'ai pas encore publiée.

J'attends avec beaucoup d'impatience de voir les profondes recherches que vous aurez communicjuées sur ce sujet à l'Académie royale de Berlin.

Le paradoxe dont vous me parlez mérite sans doute toute l'attention des géomètres : que la différence entre ces deux formules intégrales

/ T-^ et / r~i' comprise entre les mêmes termes o et i, soit égale

à loff — '■ — > dont le dénouement consiste sans doute en ce que l'une

et l'autre intégrale devient infiniment grande, où l'égalité n'empêche point que leur différence ne puisse être indéterminée, comme il arrive

dans ces formules plus simples / — et / ^' prises depuis o jusqu'à co

où la différence peut devenir égale à une quantité quelconque, comme en prenant y = a:-, il y aura, sans doute.

Je suis tombé ces jours-ci sur un problème mécanique qui m'a tourmenté beaucoup, quoiqu'il paraisse fort simple au premier coup d'œil. Il s'agit de déterminer le mouvement dont une barre descend en glissant sur un axe cylindrique, comme cette figure représente (Jig. 2). L'analyse m'a d'abord conduit à deux équations différentio-différentielles, assez semblables à celles qui expriment le mouvement d'un corps attiré vers deux points fixes; mais, jusqu'ici, je n'en ai pu tirer qu'une seule équation intégrale, en négligeant même le frottement; mais, si l'on en voulait tenir compte, je ne vois d'autre ressource que

nï CORRESPONDANCE

de poursuivre le mouvement de la barre quasi pas à pas, et c'est sur ce pied que j'ai développé un cas déterminé.

Fis. 2.

En parcourant le dernier Volume des Mémoires de Berlin, je ne fus pas peu surpris qu'il puisse encore être question d'un satellite de Vénus et même d'un tel, qui renverserait tous les principes de l'Astronomie; et je n'aurais pas cru non plus que le principe do la raison suffisante osât encore paraître sur le théâtre.

Je suis entièrement convaincu, qu'à moins que vous ne réussissiez à retrouver les démonstrations perdues de Fermât, elles resteront perdues à jamais. Tous mes soins là-dessus ont été inutiles jusqu'ici, sans en exclure celui où il s'agit de prouver que cette égalité

est toujours impossible, à moins que l'exposant n ne soit au-dessous de 2. Nous avions cru autrefois que cette impossibilité s'étendait plus loin, à ces formules

à^±b^—z\ a'' ± b"^ ± c'^ = z\ a^± b'± c'± cP = z\ ...;

mais il n'y a pas longtemps que j'ai été convaincu de la fausseté de la seconde, ayant trouvé quatre nombres a, b, c, d, tels ([uc a" -\- h' ± c" ^ d\

Vous recevrez en peu de temps le Volume XVIII de nos Commentaires, et la première classe du Tome XIX est déjà imprimée. J'y ai donné une idée d'étendre la Table des nombres premiers jusqu'au delà d'un million, où j'ai même donné tous les nombres premiers entre

loooooi) et i()02()ot); un tel (Jiivragc (IciiiaiKhM'ait un Volume in-4'' (le la même épaisseur (jue nos Commentaires.

Je finis, Monsieur, ayant l'honneur d'être, avec les sentiments du plus parlait dévouement,

Votre très humble et très obéissant serviteur,