LAGRANGE A LORGNA
Berlin, 25 juin 1770.
Monsieur, Je vous (lois bien des excuses d'avoir été si longtemps sans avoir
(1) Los dix lettres qui suivent ont été publiées avec un long commentaire par le prince Boncompagni dans lo tome VI, mars 1873, de son Bullettino di hlhliografa délie Scierize inatematiche e fisiche, p. i3i et suiv. Les originaux sont conserves dans la bibliothèque communale de Vérone.
Antonio Maria Lorgna, géomètre, né à Cerea le 18 octobre 1735, mort à Vérone le 28 juin
riionneur do vous répondre, ol d(> vous rcniorcic'r du beau présent (') que M. Formey m'a fait de votre part. 31. le comte Bernini, en m'envoyant votre Lettre, de Silésie, m'avait fait l'honneur de me niar(|uer qu'il comptait de passer par Berlin à son retour en Italie. J'ai donc remis de jour en jour à vous écrire, dans l'espérance de pouvoir vous faire parvenir plus sûrement ma lettre et mes remerciements par le moyen de ce seigneur, mais ne l'ayant pas encore vu jusqu'à présent, et ne sachant pas même s'il est encore en Silésie ou non, je ne veux pas différer davantage à m'acquitter envers vous de mon devoir. J'ai lu vos Ouvrages avec beaucoup de satisfaction, et j'y ai surtout admiré la netteté et l'élégance avec laquelle vous avez traité des matières aussi importantes que difficiles. Je voudrais bien pouvoir vous offrir aussi quelque chose de ma façon; mais, jusqu'à présent, il n'y a rien d'imprimé de moi que ce qu'on trouve dans les Mémoires de la Socié/é de Turin, et dans les derniers Volumes de l'Académie de Berlin. J'ai donné dans ceux-ci (année 1767) un Mémoire Sur la résolution numérique des équations (^), où j'ai fait un grand usage de la méthode des substitutions des nombres naturels à la place de l'inconnue, que vous avez aussi employée avec succès dans votre beau Mémoire Sur la résolution des équations cubiques et carré-carrées ('); mais, pource qui regarde l'approximation, j'ai suivi une méthode différente de la méthode ordinaire de Newton, qui ne me paraît pas exempte d'inconvénients; on imprime même actuellement dans le Volume de l'année 1768 (*) un autre Mémoire sur la même matière, qui par son importance me parait mériter que les géomètres s'en occupent plus qu'ils n'ont fait jusqu'à présent. Il ne serait pas impossible que je fisse un voyage en Italie ou l'année prochaine ou celle d'après; et vous jugez bien que je passerai par Vérone, ne fût-ce que pour avoir l'honneur de vous y voir et de
( ') Il s'agit probablement de l'Ouvrage intitulé : Opuscida matlicmatica cl plijslca;^^rona, 1770, in-4°.
(2) Foir la présente édition, T. Il, p. 539.
(') De œquationum cubicaruin et biquadraticanun resolutione. Ce Mémoire fait partie des Opusculn tria ad res matheniaticas pertincntia, 1767, in-4''.
(*) Foir la présente édition, T. II, p. 58i.
2oi LETTRES ET PIÈCES DIVERSES.
vous assurer de l'estime infinie avec laquelle j'ai l'honneur d'être,
Monsieur,
Votre très humble et très obéissant serviteur,
De Lagrange.
LE MEME AU MEME
Berlin, i" juillot i;;}.
Monsieur,
L'Académie acceptera avec reconnaissance la dédicace de l'Ouvrage que vous avez dessein de lui présenter ('); et elle a chargé M. Formey de vous marquer ses sentiments sur ce sujet, comme vous pourrez le voir par la Lettre ci-jointe. D'après ce que vous me dites de votre nouvelle méthode pour la sommation des séries, je ne doute pas que ce ne soit une découverte fort importante dans l'Analyse, et qui fasse beaucoup d'honneur à son auteur; il ne tiendra sûrement pas à moi que l'Académie ne lui rende la justice qui lui sera due. Lorsque vous voudrez nous faire parvenir des exemplaires de votre Ouvrage, je vous prierai d'adresser le paquet à M. Formey, parce que, en qualité de Secrétaire, il a tous les ports francs. Je crois qu'il ne vous sera pas difficile de le faire tenir ici par la voie de Vienne, qui, si elle n'est pas la plus courte, me paraît du moins devoir être la plus commode et la plus facile. Quant à mon voyage en Italie, je n'en ai pas abandonné le projet; mais, comme il dépend de différentes circonstances qui ne sont pas en mon pouvoir, je ne puis savoir d'avance quand je pourrai l'exécuter. Un des principaux motifs (|ui me le font désirer est l'envie de coMiiailn' personnellement j)lusieurs persoiuu's de mérite (jui font honneur à leur |)ays, et à la tête desquels je crois devoir vous placer.
(') Spcdincn de scricbus co/ivergeiitiùns- ; Wévone, 1/75, iii-4°. — \ o'ir BuUeitino, p. 102.
J'ai l'honneur d'être avec la plus parfaite considération, Monsieur, Votre très humble et très obéissant serviteur.
De Lagrange.
3Io.\siF.uu,
LE MEME AU MEME
Berlin, le 23 février [i77()|.
M. Formey m'a remis votre Lettre et un exemplaire de votre bel Ouvrage sur les séries; je vous remercie de l'une et de l'autre; je suis d'autant plus sensible à l'attention dont vous m'honorez que je la regarde comme une marque flatteuse de votre estime et de votre amitié pour moi, et je vous prie d'être persuadé du vif désir que j'ai de les mériter.
La méthode que vous employez pour la sommation des séries est une des plus belles découvertes qu'on ait faites dans cette matière; elle a même plus d'étendue que vous ne lui en donnez, puisqu'elle s'applique aussi aux séries dont chaque terme est le produit du terme précédent par un ou plusieurs facteurs donnés. Je ne doute pas que vous n'ayez trouvé cette méthode de vous-même, mais elle ne pouvait rester si longtemps inconnue aux géomètres. Aussi a-t-elle été déjà donnée par M. Euler dans le Tome VI des anciens Commentaires de Pétorsbourg (') dans un Mémoire intitulé : Methodus geiieralis sammandi progressiones. Je trouve même qu'elle n'a pas été inconnue à Leibnitz, comme on le voit par les Lettres XXXVII etXXXVllI du Commercium. phUosophicum et mathematicum, imprimé à Genève en 174^. On voit, de plus, par la lettre XXXIX, que Jean Bernoulli avait aussi déjà eu l'idée de réduire la sommation des séries des puissances réciproques à la quadrature des hyperboles de différents ordres. Mais la difficulté de
(') Ce volume est de l'année ijSg.
la sommation de ces sortes de séries consiste à trouver une méthode directe qui les réduise à la quadrature du cercle, ou aux logarithmes, et c'est à quoi on n'a pu parvenir jusqu'à présent, du moins pour les puissances impaires supérieures à la première. Quoique vous ayez été prévenu par ces grands géomètres, il n'y a pas moins de mérite de votre part à avoir fait cette découverte après eux; et je vous rends de mon côté toute la justice qui vous est due à cet égard.
. J'ai l'honneur d'être avec la plus forte estime et la plus parfaite considération, Monsieur,
Votre très humble et très obéissant serviteur.
De Lagrange.
A Monsieur Lorgna, Colonel des Ingénieurs et Professeur de Mathématiques, à Verona.
LE MEME AU MEME
Berlin, 12 mai 1:
Monsieur,
Je réponds à la fois à vos deux Lettres du 5 mars et du j*^'' avril, que j'ai reçues presque en même temps. Je suis très sensible à tout ce que vous me dites d'obligeant et de flatteur, et à tout l'intérêt que vous prenez à ce qui me regarde; je ne puis mériter ces sentiments de votre part que par le désir que j'ai de m'en rendre digne, et je vous demande comme la grâce la plus flatteuse de me procurer des occasions de vous convaincre de toute l'estime et de toute l'amitié que vous m'avez inspirées. Je me tiendrai toujours très honoré de la correspondance d'une personne de votre mérite, et je ne plaindrai point les frais de poste pour recevoir des nouvelles de vos travaux, et de ceux de mes autres compatriotes qui font honneur à l'Italie.
Des deux équations que vous me proposez, je ne m'attacherai qu'à
celle (Ml y comme un peu plus simple, l'autre n'étant d'ailleurs, comme vous le remarquez, qu'une transformation de celle-ci par la substitution de —^ — à la place de y.
Je remarque d'abord que cette équation
(I H- 9--) d-7 + 12.- dj(b — 2 )(1:;2 (, ^ 3c)"3 dj^— (i — 3i)"^ds2=: o,
étant du second ordre, son intégrale complète doit renfermer deux constantes arbitraires; ainsi l'intégrale que vous trouvez
(i-h3cf (1-3:;)^
est doublement incomplète; et comme, d'ailleurs, vous n'exigez qu'une seule condition, savoir, que r = o lorsque :: = o, il s'ensuit que, après avoir satisfait à cette condition par le moyen d'une des arbitraires, l'expression de y doit encore en contenir une qui pourra être tout ce qu'on voudra.
La valeur précédente de y ne peut pas servir à trouver l'intégrale complète, mais elle sert, du moins, à simplifier l'équation en y faisant évanouir les termes en z seul; car, faisant
, = ,(ljtli)!(iz:l£l
et substituant, on aura
{i -f- g Z-) d- 1 -h 12 z dt à: — 2 1 dz- = o.
J'observe présentement qu'on peut satisfaire à cette équation par cette valeur de /, savoir
comme on peut s'en assurer par la substitution; d'où, ;i cause de l'ambiguïté du signe de y — i t>t de ce que la variable / entre dans tons les termes de la proposée sous une forme linéaire, je conclus tout de suite l'intégrale com[)lète de cette équation, laquelle sera
^ := A ( 14- 3s v/^)' 4- B ( I - 3^ V^-^) ' . XIV. 33
A cl B étant doux constantes arl)ilranTs. Ainsi, l'inléi-ralc conipli'lc do la proposée en y sera
Pour déterminer les deux constantes A et B, supposons en vénérai (|uc.
dr
lorsque z = o, on doive avoir y = a et -j- = h; donc
(I on
et substituant,
(i-^3z^/^iy-(^-'^z^^,y (i + 3^)^+(.-3..)-'
Ces deux expressions
(i + 3.-v/^)V(i-33v/:^/ et (. + 3cv/~iy-(.-3.-v/~iV^ 3 2 y/— I
(juoique sous une forme imaginaire, sont néanmoins lonjours réelles, comme on peut s'en convaincre en réduisant en série les deux radicales cubiques. D'ailleurs il est facile de prouver ([ne, si l'on prend un angle o dont la tangente soit égale à '\z, les deux (|uanli(és dont il s'asit deviendrfuit
y/n-g^î^cos^ el v/i + gs-sm^- Enfin, si l'on fait l'équalion du (roisii'me degré en .r,
