AVERTISSEMENT

Les géomètres du siècle passé se sont beaucoup occupés de l'Analyse indéterminée qu'on appelle vulgairement Analyse de Diophante; mais il n'y a proprement que Bachet et Fermât qui aient ajouté quelque chose à ce que Diophante lui-même nous a laissé sur cette matière.

On doit surtout au premier une méthode complète pour résoudre en nombres entiers tous les Problèmes indéterminés du premier degré (*). Le second est l'auteur de quelques méthodes pour la résolution des équations indéterminées qui passent le second degré (**); de la méthode singulière par laquelle on démontre qu'il est impossible que la somme

(*) Voyez plus bas le § III. Au reste, je ne parle point ici de son Coin me m aire sur Diophante, parce que cet Ouvrage, excellent dans son genre, ne renferme, à propremenl parler, aucune découverte.

(** ) Ce sont celles qui sont exposées dans les Chapitres VIII, IX et X du Traité précédent. Billi les a recueillies dans différents écrits de Fermât, et les a publiées à la tête de la nom elle édition de Diophante. donnée par Fermât le ' '-.

ou la différence de deux carrés-carrés puisse jamais être un carré (*); de la solution d'un grand nombre de Problèmes très-difficiles et de plusieurs beaux Théorèmes sur les nombres entiers, qu'il a laissés sans démonstration, mais dont la plupart ont été ensuite démontrés par Euler dans les Commentaires de Pctersbourg ("*).

Cette branche de l'Analyse a été presque abandonnée dans ce siècle, et, si l'on en excepte Euler, je ne connais personne qui s'y soit appliqué ; mais les belles et nombreuses découvertes que ce grand géomètre y a faites nous ont bien dédommagés de l'espèce d'indifférence que lesautres géomètres paraissent avoir eue jusqu'ici pour ces sortes de recherches. Les Commentaires de Pétersbourg sont pleins des travaux d'Euler dans ce genre, et l'Ouvrage qu'il vient de donner est un nouveau service qu'il rend aux amateurs de l'Analyse de Diophante. On n'en avait aucun où cette science fût traitée d'une manière méthodique, et qui renfermât et expliquât clairement les principales règles connues jusqu'ici pour la solution des Problèmes indéterminés. Le Traité précédent réunit ce double avantage; mais, pour le rendre encore plus complet, j'ai cru devoir y faire plusieurs Additions dont je vais rendre compte en peu de mots.

La Théorie des fractions continues est une des plus utiles de l'Arithmétique, où elle sert à résoudre avec facilité des Problèmes qui, sans son secours, seraient presque intraitables; mais elle est d'un plus grand usage encore dans la solution des Problèmes indéterminés, lorsqu'on ne demande que des nombres entiers. Cette raison m'a engagé à exposer cette Théorie avec toute l'étendue nécessaire pour la faire bien entendre; comme elle manque dans les principaux Ouvrages d'Arithmétique et

(*) Cette méthode est détaillée dans le Chapitre XIII du Traité précédent; on en trouve les principes dans la Remarque de Fermât, qui est après la Question XXVI du Livre VI de Diophante.

(**) Les Problèmes et les Théorèmes dont nous parlons sont répandus dans les Remarques de Fermât sur les Questions de Diophante, et dans ses Lettres imprimées dans les Opéra mathematica,..., et dans le second volume des OEuvrcs de JVallis.

On trouvera aussi dans les Mémoires de V Académie de Berlin, pour les années 1770 et suivantes, les démonstrations de quelques Théorèmes de cet Auteur, qui n'avaient pas encore été démontrés.

ANALYSE INDETERMINEE. 7

d'Algèbre, elle doit être peu connue des géomètres : je serai satisfait si je puis contribuer à la leur rendre un peu plus familière. Je donne ensuite des applications nouvelles de cette Théorie à l'Analyse indéterminée. Je détermine les minima qui peuvent avoir lieu dans les formules indéterminées à deux inconnues, surtout dans celle du second ordre, et je démontre, relativement à celles-ci, des propositions remarquables qui n'étaient pas connues, ou qui n'avaient pas encore été démontrées d'une manière générale et directe. On remarquera principalement dans l'Article XXXIII une méthode particulière pour réduire en fractions continues les racines réelles des équations du second degré, et dans les Articles suivants une démonstration rigoureuse que ces fractions doivent toujours être nécessairement périodiques (*).

Les autres Additions concernent la résolution des équations indéterminées. Bachet avait donné, en 1624, la résolution complète des équations indéterminées du premier degré. Celle des équations du second degré n'a paru qu'en 1769, dans les Mémoires de l'Académie de Berlin. On la redonne ici simplifiée et généralisée de manière à ne rien laisser à désirer. A l'égard des équations indéterminées des degrés supérieurs au second, on n'a encore que des méthodes particulières pour les résoudre dans quelques cas, et il est à présumer que, pour ces sortes d'équations, la résolution générale devient impossible passé le second degré, comme elle parait l'être passé le quatrième pour les équations déterminées.

Enfin le dernier paragraphe renferme des recherches sur les fonctions qui ont la propriété que le produit de deux ou de plusieurs fondions semblables est aussi une fonction semblable; j'y donne une méthode générale pour trouver ces sortes de fonctions, et j'en fais voir l'usage pour la résolution de différents Problèmes indéterminés, sur lesquels les méthodes connues n'auraient aucune prise.

Tels sont les principaux objets de ces Additions, auxquelles j'aurais

(*) Dans cette nouvelle édition on a fait quelques changements à l'analyse du Problème I du § II, pour la rendre plus directe et plus facile à suivre.

pu donner beaucoup plus d'étendue, si je n'avais craint de passer de justes bornes. Je soubaite que les matières que j'y ai traitées puissent mériter l'attention des géomètres, et réveiller leur goût pour une partie de l'Analyse qui me paraît très-digne d'exercer leur sagacité.

§ I. - Sur les //'actions continues considérées par rapport

a V Arithmétique.

1 . Comme la Théorie des fractions continues manque dans les livres ordinaires d'Arithmétique et d'Algèbre, et que, par cette raison, elle doit être peu connue des géomètres, nous croyons devoir commencer ces Additions par une exposition abrégée de cette Théorie, dont nous aurons souvent lieu de faire l'application dans la suite.

On appelle, en général, fraction continue toute expression de cette

forme

où les quantités a, ]3, y, 5,... et b, c, d,,.. sont des nombres entiers positifs ou négatifs; mais nous ne considérerons ici que les fractions continues où les numérateurs b, c, d,... sont égaux à l'unité, c'est-à-dire, celles qui sont de la forme

a, (3, y,... étant d'ailleurs des nombres quelconques entiers positifs ou négatifs: car celles-ci sont, à proprement parler, les seules qui soient

ANALYSE INDETERMINEE. 9

d'un grand usage dans l'Analyse, les autres n'étant presque que de pure curiosité.

2. Mylord Brouncker est, je crois, le premier qui ait imaginé les fractions continues; on connaît celle qu'il a trouvée pour exprimer le rapport du carré circonscrit à l'aire du cercle, et qui est

mais on ignore le chemin qui y a conduit. On trouve seulement, dans Y Arithmetica infinitorwn , quelques recherches sur ce sujet, dans lesquelles Wallis démontre d'une manière assez indirecte, quoique fort ingénieuse, l'identité de l'expression de Brouncker avec la sienne, qui

3 3 5 5 7 est, comme l'on sait, —,—,',.,.' ' ' '■ il v donne aussi la méthode de ré- 2.4-4"-"- • •

duire, en général, toutes sortes de fractions continues à des fractions ordinaires. Au reste il ne paraît pas que l'un ou l'autre de ces deux grands géomètres ait connu les principales propriétés et les avantages singuliers des fractions continues; nous verrons ci-après que la découverte en est principalement due à Huyghens.

3. Les fractions continues se présentent naturellement toutes les fois qu'il s'agit d'exprimer en nombres des quantités fractionnaires ou irrationnelles. En effet, supposons qu'on ait à évaluer une quantité quelconque donnée a, qui ne soit pas exprimable par un nombre entier; la voie la plus simple est de commencer par chercher le nombre entier qui sera le plus proche de la valeur de a, et qui n'en différera que par une fraction moindre que l'unité. Soit ce nombre a, et l'on aura a— 'a.

égal à une fraction plus petite que l'unité, de sorte que — - sera, au

contraire, un nombre plus grand que l'unité; soit donc = b, cl,

10 ADDITIONS AUX ELEMENTS D'ALGEBRE DEULER.

comme b doit être un nombre plus grand que l'unité, on pourra chercher de même le nombre entier qui approchera le plus de la valeur de 6; et, ce nombre étant nommé /3, on aura de nouveau b — (3 égal à une fraction plus petite que l'unité, et par conséquent , fl sera égal à une

quantité plus grande que l'unité, qu'on pourra désigner par c; ainsi, pour évaluer c, il n'y aura qu'à chercher pareillement le nombre entier le plus proche de c, lequel étant désigné par y, on aura c — y égal à

une quantité plus petite que l'unité, et par conséquent sera égal

à une quantité d plus grande que l'unité, et ainsi de suite. Parce moyen il est clair qu'on doit épuiser peu à peu la valeur de a, et cela de la manière la plus simple et la plus prompte qu'il est possible, puisqu'on n'emploie que des nombres entiers dont chacun approche, autant qu'il est possible, de la valeur cherchée.

Maintenant, puisque ■■ = b, on aura

-, et a = <x -+- r:

de même, à cause de -r~~, ô = c, on aura

et, à cause de ■ = d, on aura pareillement

et ainsi de suite; de sorte qu'en substituant successivement ces valeurs,

on aura

fi + - Ê

et, en général,

II est bon de remarquer ici que les nombres a, fi, 7,..., qui représentent, comme nous venons de le voir, les valeurs entières approchées des quantités a,b,c,..., peuvent être pris chacun de deux manières différentes, puisqu'on peut prendre également, pour la valeur entière approchée d'une quantité donnée, l'un ou l'autre des deux nombres entiers entre lesquels se trouve cette quantité. Il y a cependant une différence essentielle entre ces deux manières de prendre les valeurs approchées par rapport à la fraction continue qui en résulte; car, si l'on prend toujours les valeurs approchées plus petites que les véritables, les dénominateurs fi, y, §,... seront tous positifs; au lieu qu'ils seront tous négatifs si l'on prend les valeurs approchées toutes plus grandes que les véritables, et ils seront en partie positifs et en partie négatifs si les valeurs approchées sont prises tantôt trop petites et tantôt trop grandes.

En effet, si a est plus petit que a, a — a sera une quantité positive; donc b sera positif et /3 le sera aussi; au contraire, a — a sera négatif si a est plus grand que a; donc b sera négatif et fi le sera aussi. De même, si fi est plus petit que b, b — fi sera toujours une quantité positive; donc c le sera aussi et par conséquent aussi 7; mais, si fi est plus grand que b, b — fi sera une quantité négative, de sorte que c et par conséquent aussi 7 seront négatifs, et ainsi de suite.

Au reste, lorsqu'il s'agit des quantités négatives, j'entends par quantités plus petites celles qui, prises positivement, seraient plus grandes; nous aurons cependant quelquefois, dans la suite, occasion de comparer entre elles des quantités purement par rapport à leur grandeur absolue; mais nous aurons soin d'avertir alors qu'il faudra faire abstraction des signes.

Je dois remarquer encore que si, parmi les quantités b, c, </,..., il s'en

trouve une qui soit égale à un nombre entier, alors la fraction continue sera terminée, parce qu'on pourra y conserver cette quantité même; par exemple, si c est un nombre entier, la fraction continue qui donne la valeur de a sera

En effet, il est clair qu'il faudrait prendre 7 = c, ce qui donnerait

et par conséquent ô" = oo , de sorte que l'on aurait