DO

les termes suivants s'évanouissant vis-à-vis de la quantité infinie oc ; or — = o ; donc on aura simplement

Ce cas arrivera toutes les fois que la quantité a sera commensurable, c'est-à-dire qu'elle sera exprimée par une fraction rationnelle; mais, lorsque «sera une quantité irrationnelle ou transcendante, alors la fraction continue ira nécessairement à l'infini.

. . A 4. Supposons que la quantité a soit une fraction ordinaire „•> A et B

étant des nombres entiers donnés; il est d'abord évident que le nombre

entier a qui approchera le plus de ^ sera le quotient de la division

de A par B; ainsi, supposant la division faite à la manière ordinaire, et

nommant a le quotient et C le reste, on aura ït — a ~ r' donc Z> = -:

pour avoir de même la valeur entière approchée /3 de la fraction ^r» il n'y aura qu'à diviser B par C, et prendre pour jS le quotient de cette division; alors, nommant D le reste, on aura b — fi = r;, et par conséquent c- jr;on continuera donc a diviser C par D, et le quotient sera

la valeur du nombre y, et ainsi de suite; d'où résulte cette règle fort simple pour réduire les fractions ordinaires en fractions continues :

Divisez d'abord le numérateur de la fraction proposée par son dénominateur, et nommez le quotient a. ; divisez ensuite le dénominateur par le reste, et nommez le quotient ]3 ; divisez après cela le premier reste par le second reste, et soit le quotient y; continuez ainsi en divisant toujours l avant- dernier reste par le dernier, jusqu'à ce qu on parvienne à une division qui se fasse sans reste, ce qui doit nécessairement arriver, puisque les restes sont tous des nombres entiers qui vont en diminuant ; vous aurez la fraction continue

qui sera égale à la fraction donnée.

5. Soit proposé de réduire en fraction continue la fraction -ô«— ; on

divisera donc 1 io3 par 887, on aura le quotient 1 et le reste 216; on divisera 887 par 21 G, on aura le quotient f\ et le reste 23; on divisera 2i 6 par 23, ce qui donnera le quotient 9 et le reste 9; on divisera encore 23 par 9, on aura le quotient 2 et le reste 5 ; on divisera 9 par 5, on aura le quotient 1 et le reste /j; on divisera 5 par /j» on aura le quotient 1 et le reste 1 ; enfin, divisant f\ par i, on aura le quotient 4 Bl le

14 ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE D'EULER. reste nul, de sorte que l'opération sera terminée. Rassemblant donc par ordre tous les quotients trouvés, on aura cette série i , 4» 9» 2> 1 » ' » 4» d'où l'on formera la fraction continue

i io3 i

6^ Comme, dans la manière ordinaire de faire les divisions, on prend toujours pour quotient le nombre entier qui est égal ou moindre que la fraction proposée, il s'ensuit que, par la méthode précédente, on n'aura que des fractions continues, dont tous les dénominateurs seront des nombres positifs.

Or on peut aussi prendre pour quotient le nombre entier qui est immédiatement plus grand que la valeur de la fraction, lorsque cette fraction n'est pas réductible à un nombre entier, et pour cela il n'y a qu'à augmenter d'une unité la valeur du quotient trouvé à la manière ordinaire; alors le reste sera négatif, et le quotient suivant sera nécessairement négatif. Ainsi on pourra à volonté rendre les termes de la fraction continue positifs ou négatifs.

Dans l'exemple précédent, au lieu de prendre i pour le quotient de no3 divisé par 887, je puis prendre 2; mais j'aurai le reste négatif — 671, par lequel il faudra maintenant diviser 887 ; on divisera donc 887 par — 671, et l'on aura ou le quotient — 1 et le reste 216, ou le quotient — 2 et le reste — 455. Prenons le quotient plus grand — 1 , et alors il faudra diviser le reste — 671 par le reste 216, d'où l'on aura ou le quotient — 3 et le reste — 23, ou le quotient — 4 et le reste iq3. Je continue la division en adoptant le quotient plus grand — 3; j'aurai à diviser le reste 216 par le reste — 23, ce qui me donnera ou le quotient — 9 et le reste 9, ou le quotient — 10 et le reste — 14. et ainsi de suite.

ANALYSE INDETERMINEE. 15

De cette manière on aura

i io3

où l'on voit que tous les dénominateurs sont négatifs.

7. On peut, au reste, rendre positif chaque dénominateur négatif, en changeant le signe du numérateur; mais il faut alors changer aussi le signe du numérateur suivant; car il est clair qu'on a

ht -+■ . m

Ensuite on pourra, si l'on veut, faire disparaître tous les signes — de la fraction continue, et la réduire à une autre où tous les termes soient positifs; car on a, en général,

comme on peut s'en convaincre aisément, en réduisant ces deux quantités en fractions ordinaires.

On pourrait aussi, par un moyen semblable, introduire des termes négatifs à la place des positifs, car on a

I(i ADDITIONS AUX ELEMENTS D'ALGEBRE D'EULER.

d'où l'on voit que, par ces sortes de transformations, on peut quelquefois simplifier une fraction continue et la réduire à un moindre nombre de termes; ce qui aura lieu toutes les fois qu'il y aura des dénominateurs égaux à l'unité positive ou négative.

En général il est clair que, pour avoir la fraction continue la plus convergente qu'il est possible vers la valeur de la quantité donnée, il faut toujours prendre pour a, |3, y,... les nombres entiers qui approcbent le plus des quantités a, b, c,..., soit qu'ils soient plus petits ou plus grands que ces quantités; or il est facile de voir que si, par exemple, on ne prend pas pour a le nombre entier qui approebe le plus, soit en excès ou en défaut, de a, le nombre suivant /3 sera nécessairement égal à l'unité; en effet la différence entre a et a sera alors

plus grande que -•, par conséquent on aura b — - - < 2; donc |3 ne

pourra être qu'égal à l'unité.

Ainsi, toutes les fois que dans une fraction continue on trouvera des dénominateurs égaux à l'unité, ce sera une marque que l'on n'a pas pris les dénominateurs précédents aussi approchants qu'il est possible, et que, par conséquent, la fraction peut se simplifier en augmentant ou en diminuant ces dénominateurs d'une unité, ce qu'on pourra exécuter par les formules précédentes, sans être obligé de refaire en entier le calcul.

8. La méthode du n° 4 peut servir aussi à réduire en fraction continue toute quantité irrationnelle ou transcendante, pourvu qu'elle soit auparavant exprimée en décimales. Mais, comme la valeur en décimales ne peut être qu'approchée, et qu'en augmentant d'une unité le dernier caractère on a deux limites entre lesquelles doit se trouver la vraie valeur de la quantité proposée, il faudra, pour ne pas sortir de ces limites, faire à la fois le même calcul sur les deux fractions dont il s'agit, et n'admettre ensuite dans la fraction continue que les quotients qui résulteront également des deux opérations.

Soit, par exetnple, proposé d'exprimer par une fraction continue le rapport de la circonférence du cercle au diamètre.

Ce rapport exprimé en décimales est, par le calcul de Viète,

3,jAi5q26535..., de sorte qu'on aura la fraction '4' 92 à réduire

' ^ v ^ ioooooooooo

en fraction continue par la méthode ci-dessus; or, si l'on ne prend que la fraction '^T 9,on trouve les quotients 3, 7, 1 5, 1 et si l'on prenait

la fraction plus srrande — - — > on trouverait les quotients 3, 7, 16,...; r ° 1 00000 *

de sorte que le troisième quotient demeurerait incertain; d'où l'on voit que, pour pouvoir pousser seulement la fraction continue au delà de trois termes, il faudra nécessairement adopter une valeur de la périphérie qui ait plus de six caractères.

Si l'on prend la valeur donnée par Ludolph en trente-cinq caractères, et qui est

et qu'on opère en même temps sur cette fraction et sur la même, en y augmentant le dernier caractère 8 d'une unité, on trouvera cette suite de quotients

de sorte que l'on aura

périphérie

diamètre

Comme il y a ici des dénominateurs égaux à l'unité, on pourra sim- VII. 3

plitier la fraction, en y introduisant des termes négatifs, par les formules du n° 7, et l'on trouvera

périphérie 3 i

diamètre

ou bien

périphérie diamètre

itt i

9. Nous avons montré ailleurs comment on peut appliquer la Théorie des fractions continues à la résolution numérique des équations, pour laquelle on n'avait encore que des méthodes imparfaites et insuffisantes. \ Voyez les Mémoires de l'Académie de Berlin pour les années 1767 et 1768 (*)]. Toute la difficulté consiste a pouvoir trouver dans une équation quelconque la valeur entière la plus approchée, soit en excès ou en défaut, de la racine cherchée, et c'est sur quoi nous avons donné les premiers des règles sûres et générales, par lesquelles on peut non-seulement reconnaître combien de racines réelles positives ou négatives, égales ou inégales, contient la proposée, mais encore trouver facilement les limites de chacune de ces racines, et même les limites des quantités réelles qui composent les racines imaginaires. Supposant donc que x soit l'inconnue de l'équation proposée, on cherchera d'abord le nombre entier qui approchera le plus de la racine cherchée, et, nommant ce

(*) OEuvres de Ixigrange, t. II. p. 538 et 58 1.

nombre «, il n'y aura qu'à faire, comme on l'a vu dans le n° 3,

ce == a H — (je nomme ici ce, y, z,... ce que j'ai dénoté dans l'Article

cité par a, b, c, ...); et, substituant cette valeur à la place de ce, on aura, après avoir fait évanouir les fractions, une équation du même degré en y, qui devra avoir au moins une racine positive ou négative plus grande que l'unité. On cherchera donc de nouveau la valeur entière approchée de cette racine, et, nommant cette valeur jS, on fera ensuite

y — |3 4- -, ce qui donnera de même une équation en z, qui aura aussi

nécessairement une racine plus grande que l'unité, et dont on cherchera pareillement la valeur entière approchée y, et ainsi de suite. De cette manière la racine cherchée se trouvera exprimée par la fraction continue

qui sera terminée si la racine est commensurable, mais qui ira nécessairement à l'infini si elle est incommensurable.

On trouvera dans les Mémoires cités tous les principes et les détails nécessaires pour se mettre au fait de cette méthode et de ses usages, et même différents moyens pour abréger souvent les opérations qu'elle demande; nous croyons n'y avoir presque rien laissé à désirer sur ce sujet si important.

Au reste, pour ce qui regarde les racines des équations du second degré, nous donnerons plus bas (nos 33 et suivants) une méthode particulière et très-simple pour les convertir en fractions continues.

10. Après avoir expliqué la génération des fractions continues, nous allons en montrer les usages et les principales propriétés.

Il est d'abord évident que, plus on prend de termes dans une fraction continue, plus on doit approcher de la vraie valeur de la quantité qu'on

a exprimée par cette fraction; de sorte que, si l'on s'arrête successivement à chaque terme de la fraction, on aura une suite de quantités qui seront nécessairement convergentes vers la quantité proposée. Ainsi, ayant réduit la valeur de a à la fraction continue

on aura les quantités

ce, x - ^, a

ou bien, en réduisant,

(3 py -f- 1

qui approcheront de plus en plus de la valeur de a.

Pour pouvoir mieux juger de la loi et de la convergence de ces quantités, nous remarquerons que, par les formules du n° 3, on a

a = oc -f- t ' 0 — p -i — i c -- y -;- -. ■> • • • •>

d'où l'on voit d'abord que a est la première valeur approchée de a: qu'ensuite, si l'on prend la valeur exacte de a, qui est — j- — > et qu'on y substitue pour b sa valeur approchée |3, on aura cette valeur plus approchée T 'i qu'on aura de même une troisième valeur plus approchée

de a, en mettant d'abord pour b sa valeur exacte - — — ? ce qui donne a ~ fi — — -? et prenant ensuite pour c la valeur approchée y,

par ce moyen la nouvelle valeur approchée de a sera

(a(3 4- i)y -h oc

continuant le même raisonnement, on pourra approcher davantage, en mettant, dans l'expression de a trouvée ci-dessus, à la place de c sa va-

leur exacte ' — -. — » ce qui donnera

et prenant ensuite pour rf sa valeur approchée ô\ de sorte qu'on aura pour la quatrième approximation la quantité

[(q(3 -n)yH-«]3 + «|3 i ((3y-M)â+(3

et ainsi de suite.

De là il est facile de voir que, si par le moyen des nombres a, ]3, y. #,.. on forme les expressions suivantes

A = a, Ai =i,