VII
or, par la loi des fractions intermédiaires, il est clair que, à cause de
cTetË
= x , on pourra insérer entre les fractions ~ et ~- une infinité de
fractions intermédiaires, qui seront
sD-t-C
2D, -H- Ci'
Ainsi, dans ce cas, on pourra, après la fraction p- dans la première
suite de fractions, placer encore les fractions intermédiaires dont nous parlons, et les continuer à l'infini.
Problème.
1 9 . Une fraction exprimée par un grand nombre de chiffres étant donnée, trouver toutes les fractions en moindres termes qui approchent si prés de la vérité, qu'il soit impossible d'en approcher davantage sans en employer de plus grandes.
Ce Problème se résoudra facilement par la théorie que nous venons d'expliquer.
On commencera par réduire la fraction proposée en fraction continue par la méthode du n" 4, en ayant soin de prendre toutes les valeurs approchées plus petites que les véritables, pour que les nombres p, y, ô, . . . soient tous positifs; ensuite, à l'aide des nombres trouvés a, |3, y,..., on formera, d'après les formules du n° 10, les fractions
-r-' tt' tt-'-"5 dont la dernière sera nécessairement la même que la A, B, L, ^
fraction proposée, parce que dans ce cas la fraction continue est terminée. Ces fractions seront alternativement plus petites et plus grandes que la fraction donnée, et seront successivement conçues en termes plus grands; et de plus elles seront telles, que chacune de ces fractions approchera plus de la fraction donnée que ne pourrait faire toute autre fraction quelconque qui serait conçue en termes moins simples. Ainsi
l'on aura par ce moyen toutes les fractions conçues en moindres termes que la proposée, qui pourront satisfaire au Problème.
Que si l'on veut considérer en particulier les fractions plus petites et les fractions plus grandes que la proposée, on insérera entre les fractions précédentes autant de fractions intermédiaires que l'on pourra, et l'on en formera deux suites de fractions convergentes, les unes toutes plus petites et les autres toutes plus grandes que la fraction donnée (nos 16, 17 et 18); chacune de ces suites aura en particulier les mêmes
propriétés que la suite des fractions principales — » ^-> p->"-; car les
Ai Ui L|
fractions, dans chaque suite, seront successivement conçues en plus grands termes, et chacune d'elles approchera plus de la fraction proposée que ne pourrait faire aucune autre fraction qui serait pareillement plus petite ou plus grande que la proposée, mais qui serait conçue en termes plus simples.
Au reste, il peut arriver qu'une des fractions intermédiaires d'une série n'approche pas si près de la fraction donnée qu'une des fractions de l'autre série, quoique conçue en termes moins simples que celle-ci; c'est pourquoi il ne convient d'employer les fractions intermédiaires que lorsqu'on veut que les fractions cherchées soient toutes plus petites ou toutes plus grandes que la fraction donnée.
Exemple 1.
20. Suivant La Caille, l'année solaire est de 365J51'48ID49S> et par conséquent plus longue de 5h4^m49s flue l'année commune de 365J; si cette différence était exactement de G heures, elle donnerait un jour au bout de quatre années communes; mais, si l'on veut savoir au juste au bout de combien d'années communes cette différence peut produire un certain nombre de jours, il faut chercher le rapport qu'il y a entre
a4'' et 5h48ro495, et l'on trouve que ce rapport est — °; de sorte qu'on
peut dire qu'au bout de 86400 années communes il faudrait intercaler 20929 jours pour les réduire à des années tropiques.
36 ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE D'EULElt.
Comme le rapport de 86/400 à 20929 est exprimé en termes fort grands, on propose de trouver en des termes plus petits des rapports aussi approchés de celui-ci qu'il est possible.
On réduira donc la fraction q°° en fraction continue par la règle
donnée dans le n° 4-, qui est la même que celle qui sert à trouver le
plus grand commun diviseur de deux nombres donnés : on aura
Te
Connaissant ainsi tous les quotients a, /3, y, . . ., on en formera aisé-
ment la série -r--, -rr-»" • •> de la manière suivante A, B,
(ijj
où l'on voit que la dernière fraction est la même que la proposée. Pour faciliter la formation de ces fractions, on écrira d'abord, comme
ANALYSE INDETERMINEE. 37
je viens de le faire, la suite des quotients 4» 7- r et l'on placera audessous de ces coefficients les fractions y, ^, -h-,..., qui en résultent.
La première fraction aura toujours pour numérateur le nombre qui est au-dessus, et pour dénominateur l'unité.
La seconde aura pour numérateur le produit du nombre qui est audessus par le numérateur de la première, plus l'unité, et pour dénominateur le nombre même qui est au-dessus.
La troisième aura pour numérateur le produit du nombre qui est au-dessus par le numérateur de la seconde, plus celui de la première; et de même pour dénominateur le produit du nombre qui est au-dessus par le dénominateur de la seconde, plus celui de la première.
Et, en général, chaque fraction aura pour numérateur le produit du
nombre qui est au-dessus par le numérateur de la fraction précédente,
plus celui de l'avant-précédente, et pour dénominateur le produit du
même nombre par le dénominateur de la fraction précédente, plus celui
de l'avant-précédente.
Ainsi
et ainsi de suite; ce qui s'accorde avec les formules du n° 10.
Maintenant on voit, par les fractions T, 4^, -^,..., que l'inteicalation la plus simple est celle d'un jour dans quatre années communes, ce qui est le fondement du Calendrier julien; mais qu'on approcherait plus de l'exactitude en n'intercalant que sept jours dans l'espace de vingt-neuf années communes, ou huit dans l'espace de trente-trois ans, et ainsi de suite.
On voit de plus que, comme les fractions f, •—, ^ sont alternativement plus petites et plus grandes que la fraction fjjfjnj ou j^jà^—,->
J ' 4 " -49s l'intercalation d'un jour sur quatre ans sera trop forte, celle de sept
jours sur vingt-neuf ans trop faible, celle de huit jours sur trente-trois ans trop forte, et ainsi de suite; mais chacune de ces intercalations sera toujours la plus exacte qu'il est possible dans le même espace de temps.
Or, si l'on range dans deux séries particulières les fractions plus petites et les fractions plus grandes que la fraction donnée, on y pourra encore insérer différentes fractions secondaires pour compléter les séries; et pour cela on suivra le même procédé que ci-dessus, mais en prenant successivement à la place de chaque nombre de la série supérieure tous les nombres entiers moindres que ce nombre (lorsqu'il y en a).
Ainsi, considérant d'abord les fractions croissantes
/, 33 161 2865 864oo i' 8' 3g' 694' 20939'
on voit qu'à cause que l'unité est au-dessus de la seconde, de la troisième et de la quatrième, on ne pourra placer aucune fraction intermédiaire, ni entre la première et la seconde, ni entre la seconde et la troisième, ni entre la troisième et la quatrième; mais, comme la dernière fraction a au-dessus d'elle le nombre i5, on pourra, entre cette fraction et la précédente, placer quatorze fractions intermédiaires, dont les numérateurs formeront la progression arithmétique
et dont les dénominateurs formeront aussi la progression arithmétique 694 -1- 1 349, 694 4- 2 . 1 349, 6g4 -!- 3 . 1 349, Par ce moyen, la suite complète des fractions croissantes sera
l'iOC^
ig58o
Et, comme la dernière fraction est la même que la fraction donnée, il est clair que cette série ne peut pas être poussée plus loin.
De là on voit que, si l'on ne veut admettre que des intercalations qui pèchent par excès, les plus simples et les plus exactes seront celles d'un
ANALYSE INDETERMINEE. 39
jour sur quatre années, ou de huit jours sur trente-trois ans, ou de trente-neuf jours sur cent soixante et un ans, et ainsi de suite. Considérons maintenant les fractions décroissantes
QÇ) 128 270/1 5569
7 ai 055 ij')9
et d'abord, à cause du nombre 7 qui est au-dessus de la première fraction, on pourra en placer six autres avant celle-ci, dont les numérateurs formeront la progression arithmétique l\-\-\, 2.4 + 1, 3.4 + ij.--» et dont les dénominateurs formeront la progression 1, 2, 3,...; de même, à cause du nombre 3, on pourra placer entre la première et la seconde fraction deux fractions intermédiaires, et entre la seconde et la troisième on en pourra placer quinze, à cause du nombre 16 qui est au-dessus de la troisième; mais entre celle-ci et la dernière on n'en pourra insérer aucune, à cause que le nombre qui est au-dessus est l'unité.
De plus il faut remarquer que, comme la série précédente n'est pas terminée par la fraction donnée, on peut encore la continuer aussi loin que l'on veut, comme nous l'avons fait voir dans le n° 18. Ainsi l'on aura cette série de fractions décroissantes
1255 l4 l6 IJ77 1738 1899 2060 2221 2382 2543
1Ô4' 343"' 1ÏÏ7' 42?' "46Ô' "499"' "538"' "577"' 6Ï6"'
270^ 5J69 g rgfîf) 178369 2 fi '1 7 69 351169 43756g 655 i34g 22278 43^07 6'|i36 85u65 I0J99'|
lesquelles sont toutes plus petites que la fraction proposée, et en approchent plus que toutes autres fractions qui seraient conçues en termes moins simples.
On peut conclure de là que, si l'on ne voulait avoir égard qu'aux intercala lions qui pécheraient par défaut, les plus simples et les plus exactes seraient celles d'un jour sur cinq ans, ou de deux jours sur neuf ans, ou de trois jours sur treize ans, etc.
Dans le Calendrier grégorien, on intercale seulement quatre-vingt-dixsept jours dans quatre cents années; on voit par la Table précédente qu'on approcherait beaucoup plus de l'exactitude en intercalant cent neuf jours en quatre cent cinquante années.
Mais il faut remarquer que dans la réformation grégorienne on s'est servi de la détermination de l'année donnée par Copernic, laquelle est de 365j 5u49m2°s- En employant cet élément, on aurait, au lieu de la fraction f^-fo» celle-ci f££-f£, ou bien ff^; d'où l'on trouverait, par la méthode précédente, les quotients 4, 8, 5, 3, et de là ces fractions principales
qui sont, à l'exception des deux premières, assez différentes de celles que nous avons trouvées ci-dessus. Cependant on ne trouve pas parmi ces fractions la fraction ~~ adoptée dans le Calendrier grégorien; et cette fraction ne peut pas même se trouver parmi les fractions intermédiaires qu'on pourrait insérer dans les deux séries f, ^f- et ■2^-, ff^; car il est clair qu'elle ne pourrait tomber qu'entre ces deux dernières fractions, entre lesquelles, à cause du nombre 3 qui est au-dessus de la fraction ~\, il peut tomber deux fractions intermédiaires, qui seront ■2~ et —-; d'où l'on voit qu'on aurait approché plus de l'exactitude si dans la réformation grégorienne on avait prescrit de n'intercaler que quatre-vingt-dix jours dans l'espace de trois cent soixante et onze ans. Si l'on réduit la fraction -—■ à avoir pour numérateur le nombre
86400, elle deviendra IHH , ce qui supposerait l'année tropique de 365J5h49mi2s.
Dans ce cas l'interpolation grégorienne serait tout à fait exacte; mais, comme les observations donnent l'année plus courte de plus de 20 secondes, il est clair qu'il faudra nécessairement, au bout d'un certain espace de temps, introduire une nouvelle intercalation.
Si l'on voulait s'en tenir à la détermination de La Caille, comme le dénominateur 97 de la fraction ~^ se trouve entre les dénominateurs
ANALYSE INDETERMINEE. 41
de la cinquième et de la sixième des fractions principales trouvées ci-devant, il s'ensuit de ce que nous avons démontré (n° 14) que la fraction -~ approcherait plus de la vérité que la fraction ±~; au reste, comme les Astronomes sont encore partagés sur la véritable longueur de l'année, nous nous abstiendrons de prononcer sur ce sujet; aussi n'avons-nous eu d'autre objet, dans les détails que nous venons de donner, que de faciliter les moyens de se mettre au fait des fractions continues et de leurs usages; dans cette vue nous ajouterons encore l'Exemple suivant.
Exemple II.
21. Nous avons déjà donné (n° 8) la fraction continue qui exprime le rapport de la circonférence du cercle au diamètre, en tant qu'elle résulte de la fraction de Ludolph; ainsi il n'y aura qu'à calculer, de la manière enseignée dans l'Exemple précédent, la série des fractions convergentes vers ce même rapport, laquelle sera
3 23 333 355 10.3993 m^3'|S 2o8.3'|i .312689 8.3.3719 1 146408 4272943 1 7 10O n3 3jio2 3J2ij 66317 99,532 26538i 36491 3 i36oiao
5'| 193^1 80 1 'J38.Ï7 165707065 2^58.10922 4 1 1557987 1068966896 i725o33 2j3io58j 527/(6197 7823(3779 131002976 3'|026273i
•?J'i<)'l9'779 6 167950 ^.Ij 1^88.5.392687 2io5.33'|.3i'|r 17 8.3.36621 65.3 r .358778.5776203 8uÔ28'|38 1963319607 '1738167652 6701/187 JJ9 567663097408 11/(3027682075
1709690779483 285i7i8'|6i558 /j'1,'185'167702853 i363o8i2i57oi 17 *
570667 '19.320677^1 61.3^899525', 170', 5 .3o->'|627.3i>.3.37.3592i 66637.445593888887 i8i6'i9io'|8ii'|37'| 1953799169684491 9627687726852338 2i2o8i7'|623389i6; '
43ooio9/|65gioGg2.'|.'5 qG 'f GGQ3 1 5 .5 1 .'Î9 3o.'( 3/j .5 .307670 ',07 17.30.37.3588 1.36876735467187340 8'(2 ',685874265 13207 979345322893700547
ki ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE D'EULEK.
Ces fractions seront donc alternativement plus petites et plus grandes que la vraie raison de la circonférence au diamètre, c'est-à-dire que la première f sera plus petite, la deuxième ^ plus grande, et ainsi de suite, et chacune d'elles approchera plus de la vérité que ne pourrait faire toute autre fraction qui serait exprimée en termes plus simples, ou, en général, qui aurait un dénominateur moindre que le dénominateur de la fraction suivante; de sorte que l'on peut assurer que la fraction f approche plus de la vérité que ne peut faire aucune autre fraction dont le dénominateur serait moindre que 7; de même la fraction ^ UP~ prochera plus de la vérité que toute autre fraction dont le dénominateur serait moindre que 10G, et ainsi des autres.
Quant à l'erreur de chaque fraction, elle sera toujours moindre que l'unité divisée par le produit du dénominateur de cette fraction par celui de la fraction suivante. Ainsi l'erreur de la fraction f sera moindre que |, celle de la fraction ~ sera moindre que ^ï^, et ainsi de suite. Mais en même temps l'erreur de chaque fraction sera plus grande que l'unité divisée par le produit du dénominateur de cette fraction par la somme de ce dénominateur et du dénominateur de la fraction suivante; de sorte que l'erreur de la fraction f sera plus grande que £, celle de la fraction ^ plus grande que ,— fir» et ainsi de suite (n° 14).
Si l'on voulait maintenant séparer les fractions plus petites que le rapport de la circonférence au diamètre d'avec les plus grandes, on pourrait, en insérant les fractions intermédiaires convenahles, former deux suites de fractions, les unes croissantes et les autres décroissantes vers le vrai rapport dont il s'agit; on aurait de cette manière
„ . , prripli.
tractions plus petites que .. '
' diam.
i 8 u 22 29 30 Ifi 5o 07 o'i 71 78 8j 92 99
333 688 mV3 i3p 8 i7.S3 2108 2'|63 106 21g 332 /j'|j 558 671 78')
ANALYSE INDETERMINEE. W
, . pértpli.
tractions plus grandes que ' ,. * —
r ° 2 diain.
1 2 3 4 ■' (j 7 1XJ 3aai3 99JJ- ob.'igi3 172S00J 272JJOID
1657070G5 4 "557987 i'jSoSt'iSSS
Chaque fraction de la première série approche plus de la vérité que ne peut faire aucune autre fraction exprimée en termes plus simples, et qui pécherait aussi par défaut; et chaque fraction de la seconde série approche aussi plus de la vérité que ne peut faire aucune autre fraction exprimée en termes plus simples, et péchant par excès.
Au reste, ces séries deviendraient fort prolixes si l'on voulait les pousser aussi loin que nous avons fait celle des fractions principales donnée ci-dessus. Les hornes de cet Ouvrage ne nous permettent pas de les insérer ici dans toute leur étendue; mais on peut les trouver au besoin dans le Chapitre XI de Y Algèbre de Wallis (Operum malhemat. vol. II).
Remarque.
22. La première solution de ce Problème a été donnée par Wallis dans un petit Traité qu'il a joint aux Œuvres posthumes d'Horrocius, et on la retrouve dans l'endroit cité de son Algèbre; mais la méthode de cet Auteur est indirecte et fort laborieuse. Celle que nous venons de donner est due a Huyghens, et l'on doit la regarder comme une des principales découvertes de ce grand Géomètre. La construction de son automate planétaire parait en avoir été l'occasion. En effet, il est clair que, pour pouvoir représenter exactement les mouvements et les périodes des planètes, il faudrait employer des roues où les nombres des dents fussent précisément dans les mêmes rapports que les périodes dont il s'agit; mais, comme on ne peut pas multiplier les dents au delà d'une certaine limite dépendante de la grandeur de la roue, et que
d'ailleurs les périodes des planètes sont incommensurables ou du moins ne peuvent être représentées avec une certaine exactitude que par de très-grands nombres, on est obligé de se contenter d'un a peu près, et la difficulté se réduit à trouver des rapports exprimés en plus petits nombres, qui approchent autant qu'il est possible de la vérité, et plus que ne pourraient faire d'autres rapports quelconques qui ne seraient pas conçus en termes plus grands.
Huyghens résout cette question par le moyen des fractions continues, comme nous l'avons fait ci-dessus; il donne la manière de former ces fractions par des divisions continuelles, et il démontre ensuite les principales propriétés des fractions convergentes qui en résultent, sans oublier même les fractions intermédiaires. (Voyez, dans ses Opéra posthuma, le Traité intitulé Descriptio automati planelarii.)
D'autres grands Géomètres ont ensuite considéré les fractions continues d'une manière plus générale. On trouve surtout dans les Commentaires de Pétersbourg (tomes IX et XI des anciens et tomes IX et XI des nouveaux) des Mémoires d'Euler remplis des recherches les plus savantes et les plus ingénieuses sur ce sujet; mais la Théorie de ces fractions, envisagée du côté arithmétique, qui en est le plus intéressant, n'avait pas encore été, ce me semble, autant cultivée qu'elle le méritait : c'est ce qui m'a engagé à en composer ce petit Traité pour la rendre plus familière aux Géomètres. [Voyez aussi les Mémoires de Berlin pour les années 1767 et 1768 (*).]
Au reste, cette Théorie est d'un usage très-étendu dans toute l'Arithmétique, et il y a peu de problèmes de cette science, au moins parmi ceux pour lesquels les règles ordinaires ne suffisent pas, qui n'en dépendent directement ou indirectement. Jean Bernoulli vient d'en faire une application heureuse et utile dans une nouvelle espèce de calcul, qu'il a imaginé pour faciliter la construction des Tables de parties proportionnelles. (Voyez le tome I de son Recueil pour les Astronomes.)
(*) OEuvres de Lagrtmge, t. II, p. 538 et 58 1.
§ II. — Méthodes pour déterminer les nombres entiers qui donnent les minima des formules indéterminées à deux inconnues .
Les questions dont nous allons nous occuper, et pour lesquelles nous allons donner des méthodes directes et générales, sont d'un genre entièrement nouveau dans l'Analyse indéterminée. On n'avait point encore appliqué cette Analyse aux Problèmes de maximis et minimis; nous nous proposons ici de déterminer les miniina des fractions rationnelles, entières et homogènes a deux inconnues, lorsque ces inconnues doivent être des nombres entiers. Cette recherche nous conduira encore à la Théorie des fractions continues, et servira a donner à cette Théorie de nouveaux degrés de perfection.
Problème I.
23. Etant donnée une quantité positive a, et supposant que y et z ne puissent être que des nombres entiers positifs et premiers entre eux, on demande de trouver les valeurs de ces nombres qui rendront la formule y — az un minimum [abstraction faite du signe) relativement à tous les nombres plus petits qu on pourrait substituer pour y et z.
Soient/? et q des nombres entiers et premiers entre eux, qui, étant substitués pour y et z dans la formule y— az, la rendent plus petite que si l'on y substituait d'autres nombres moindres que p et q. Donc prenant pour r et s des nombres quelconques entiers positifs et premiers entre eux, mais moindres que/? et q, il faudra que la valeur de p — aq soit moindre que celle de r—as, abstraction faite des signes de ces quantités, c'est-à-dire en les prenant l'une et l'autre positivement. Prenons rets tels que l'on ait ps — qr — ±i, le signe supérieur ayant lieu lorsque p — aq sera positif, et l'inférieur lorsque p — aq sera négatif. (Nous verrons dans un moment qu'il est toujours possible de trouver il< !8 nombres qui satisfassent a celte condition.) Je vais prouver que tous
4(i ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE D'EULER.
les autres nombres moindres que/? et </, qu'on substituerait pour y et z, rendraient la formule y — az (abstraction faite du signe) plus grande que p — aq et que r — as.
En effet, il est clair qu'on peut supposer, en général,
y—pt-\-m, z=ql-hsu,
i el // étant deux inconnues; or, par la résolution de ces équations, on a
sr — iz qy — pz
ps — qr qr — ps
donc, à cause de ps — qr = ± i ,
t = ±(sr— rz), u = zt{qy — pz);
d'où l'on voit que t et u seront toujours des nombres entiers, puisque p, q, r, s et y, z sont supposés entiers.
Donc, Jet u étant des nombres entiers, etp, q, r, s des nombres entiers positifs, il est clair que, pour que les valeurs de y et z soient moindres <jue celles de p et q, il faudra nécessairement que les nombres t et // soient de signes différents.
Maintenant je remarque que la valeur de r — as sera aussi de différent signe que celle de p — aq; car, faisant p — aq = P et / — as = R,
on aura
mais l'équation ps — qr — ± i donne = ± — ; donc
q s qs^
donc, puisqu'on suppose que le signe ambigu soit pris conformément à
celui de la quantité p — aq ou P, il faudra que la quantité soit
positive si P est positif, et négative si P est négatif; or, comme s est
ANALYSE INDETERMINEE. 47
< </ et que R est > P (hypothèse), il est clair que sera à plus forte
raison > - (abstraction faite du signe); donc la quantité sera
toujours de signe différent de -> c'est-à-dire de R, puisque s est positif:
donc P et R seront nécessairement de signes différents.
Cela posé, on aura, en substituant les valeurs ci-dessus de jet z,
r — a z = (p — aq ) t -+- ( r — as ) u = P l ■+- R u ;
or, t et a étant de signes différents, aussi bien que P et R, il est clair que P; et Rw seront des quantités de mêmes signes; donc, puisque t et u sont d'ailleurs des nombres entiers, il est visible que la valeur de y — ai sera toujours plus grande que P et que R, c'est-à-dire, que les valeurs de p — aq et de r — as, abstraction faite des signes.
Mais il reste maintenant à savoir si, les nombres/? et q étant donnés, on peut toujours trouver des nombres r et s moindres que ceux-là, et tels que/w — qr '= ± i , les signes ambigus étant à volonté ; or cela suit évidemment de la Théorie des fractions continues; mais on peut aussi le démontrer directement et indépendamment de cette Théorie. Car la difficulté se réduit à prouver qu'il existe nécessairement un nombre entier positif et moindre que/j, lequel, étant pris pour r, rendra qr± i divisible par/»; or supposons qu'on substitue successivement à la place de r les nombres naturels 1, 2, 3,... jusqu'à/?, et qu'on divise les nombres q ± 1 , jq ± 1 , 3q ±: 1 , . . . , pq ± 1 par/?, on aura p restes moindres que p, qui seront nécessairement tous différents les uns des autres; car, si par exemple mq ±1 et nq ± 1 (m et n étant des nombres entiers différents qui ne surpassent pas/?), étant divisés par/?, donnaient un même reste, il est clair que leur différence {m— n)q devrait être divisible par p; or c'est ce qui ne se peut, à cause que q est premier à p, et que m — n est un nombre moindre que/?. Donc, puisque tous les restes dont il s'agit sont des nombres entiers positifs moindres que/? et différents entre eux, et que ces restes sont au nombre de p, il est clair qu'il faudra nécessairement que le zéro se trouve parmi ces restes, et conséquent menl
qu'il y ait un des nombres q ±1, o.q±\, Zq ± i , . . . , pq ± i qui soil divisible par/?; or il est clair que ce ne peut être le dernier; ainsi il y aura sûrement une valeur de r moindre que p, laquelle rendra rq ± i divisible par p; et il est clair en même temps que le quotient sera moindre que q; donc il y aura toujours une valeur entière et positive de /• moindre que/), et une autre valeur pareille de s et moindre que q, lesquelles satisferont à l'équation
qr±i s = 5 ou ps — qr = ± i .
24. On voit par là que les nombres r et s sont, parmi les nombres moindres que p et q, ceux qui rendent la formule y — az le plus petite.
Nous dénoterons, pour plus de simplicité, les nombres r et s par p, et q, ; on aura ainsi la condition pqt — qp, = ± i , et les quantités p — aq, p, — aq, seront les deux minima consécutifs dans la série des valeurs de y — az, en prenant pour y el z tous les nombres qui ne surpassent pas/? et<7 : ces minima seront de signes contraires, et le second immédiatement plus grand que le premier.
Il est clair qu'on peut trouver de même deux autres nombres p., et q2
moindres que p, et q,, et qui aient avec ceux-ci la même relation que
Pt et qK ont avec p et q. Ainsi, comme p, — aq, est de signe contraire à
p — aq, il faudra faire
PiÇi — ?i/>3 = rpi;
et la quantité p-t—aq* sera de signe contraire à p, — aq, et plus grande que celle-ci; mais en même temps elle sera plus petite que toute autre valeur de y— az, tant que jet z seront moindres que/?, et q,. En continuant le même raisonnement, on trouvera encore des nombres/>3, q3 moindres que p2, q2, tels que
jM3 — q,p3 = ±i,
et qui rendront la quantité p3 — aqs du signe contraire à p2 — aq2 et plus grande que p2 — aq2, mais moindre que si l'on prenait pour p3 et qA d'antres nombres moindres que/>2 et q2, et ainsi de suite.
On aura de cette manière deux suites de nombres entiers décroissants p, pit p.2, p3,..., q, qt, q.it , q3,..., tels que
pqi — qp,z=±i,
et qui donneront la suite des minima
p — aq, p, — aq„ p2 — aq2, p3 — aq3, . . .
de la formule y — az; ces minima seront successivement de signes différents, et formeront une suite croissante, telle que chaque terme, comme p2 — aq2, sera un minimum relativement aux valeurs de y et z moindres que p, et q.
D'où il s'ensuit que les termes correspondants des deux séries p, pt, /;2,..., q, qt, q2,... ont des propriétés analogues, et résolvent tout le Problème proposé.
Il ne s'agit donc plus que de trouver les deux séries.
Pour cela, je remarque : i° qu'en ajoutant ensemble les équations
pql — qpl = ±i, piq2 — qlp2 = zçii, on a
{p — pî)qi — {q — qi)pi = o, savoir q,{p — p2) = p{{q — q,);
donc, puisque cette équation doit subsister en nombres entiers, et que p,, q, sont premiers entre eux, en vertu de l'équation pq, — qp, — ± i , il faudra que p — p2 soit divisible par/?,; ainsi, nommant \x le quotient de cette division, on aura
p —p. = (jp>, et p = fj.p, -j- o,\ alors l'équation deviendra
fj.q, = q — q„ ce qui donne de même q = [j.q, -+- q2.
Vil. 7
On trouvera de la même manière, en ajoutant ensemble les deux
équations
plq1 — qip7 = +.\, p>q3 — q,p3~±i,
et faisant des raisonnements semblables,
p, = p,p2+p3, qi = p,q,-hqi,
jx, étant un nombre entier, et ainsi de suite. Donc la loi des deux séries dont il s'agit sera
/?i = fti/>2+/?3, q, = p.. q* + îs.
pi = p.iP»-t-pt, Çî=/*î<73.-t-<7«,
Pz — p-i/>( + Pi, q3 = y-3q* + q^,
les nombres p., fi.,, p.2,... étant tous entiers positifs, et les nombres p, pit Pi, p3,-.-, q, q,, q-i, q3,-.. formant deux séries continuellement décroissantes.
On voit par cette loi qu'il suffira de connaître les nombres \x, p.,, p.2,... pour pouvoir trouver tous les termes des deux séries, lorsqu'on en connaîtra les deux derniers.
La substitution des valeurs précédentes donne
p — aq = p(p,—aq,)-+-p2 — aq„ p, — aq, = p., {p, — aq*) -+- p3 — aq3, p, — aq, = p,(p3 — aq3) + pt — aqk, p3 — aq3 — (j.3 {p, — aq, ) -4- pt — aqb,
d'où l'on tire
aq
pi — aq,
p* — aq, p-, — aq,
p, — agi
aq,
- aq,
aq3
- aq,
(tq>
p3 — aq3 p3 — aq3
ANALYSE INDETERMINEE. 51
On a vu plus haut que les quantités p — aq, p, — aq,, p2 — aq2 forment une suite de ternies qui vont en augmentant, et qui sont alternativement positifs et négatifs; d'où il suit que les fraetions — — -->
ont toutes des valeurs négatives et moindres que
l'unité, et qu'au contraire les fractions -^ — ^~ , — — — — sont toutes 1 p,— aq, fh — aq,
positives et plus grandes que l'unité. Ainsi, comme les valeurs des premières sont renfermées entre les limites zéro et — i , on pouri a substituer ces limites à leur place, ce qui donnera
aq,— p, ^ aq. - p, pt — aq,
. nq, — P^^ p-x — aq*
aq, - p,
p3 — aqt p3 — aij3
- aq,
-aq2
aq,
Il est clair que ces limites suffiront pour déterminer les nombres p.,
(X,, \u puisqu'on sait que ces nombres doivent être tous entiers. Par
ce moyen, la détermination de p. ne dépendra que des quatre termes P\i Pn <7i. ^2» celle de \x, ne dépendra que de p2, p3, q2, q3, et ainsi de suite; par conséquent, en connaissant les valeurs de p,, p2 et q,, q2, on trouvera d'abord p., ensuite on aura/? et q par les formules/? = /*/?, -+- jd2> q = p.^( -(- q2, données ci-dessus.
De même, en connaissant seulement les termes p2,p3, q2, q3, on trouvera d'abord p., par la condition de
aq, — p, aq, — p-,
pi — aq* pt—aqt
ensuite on aura pt, q, par les formules/;, = p.,p2-+- p3, q, — >J.,q2 -h y..; de là on trouvera p., et enfin p et q, et ainsi de suite.
D'où l'on peut conclure qu'il sullira de connaître les deux, derniers termes de chacune des deux séries correspondantes /;, />,, p2, />,,...,
52 ADDITIONS AUX ELEMENTS D'ALGEBRE D'EULEH.
<]< ^i» <7-> y.!»--- pour pouvoir remonter de la successivement à tous les autres termes, et connaître les deux séries entières.
Ce Problème est donc réduit maintenant à trouver les deux derniers termes de ces séries.
Pour cela je remarque que, par leur nature, elles doivent se terminer l'une et l'autre à zéro; car les formules /> = /i./?,+/>2, />, = /i.,/7a-h/?3,... font voir que p. est le quotient et p2 le reste de la division de p par/;,, que p., est le quotient etjp3 le reste de la division de p2 par/?,, et ainsi de suite, de manière que p2, p3, . . . sont les restes que l'on trouve en cherchant le plus grand commun diviseur des deux nombres/? et/?, qui sont supposés premiers entre eux; par conséquent on doit nécessairement parvenir à un reste nul. On doit dire la même chose des nombres q2, q3,..., qui ne sont que les différents restes qui résulteraient de la recherche du commun diviseur de q et q,.
Supposons que la série q, q,, q2,... se termine avant sa correspondante p,pt, p2,..., et soit, par exemple, qk — o; donc l'équation
/hqi — ÇiPi =q=i
se réduira à
d'où, a cause que q3 et /?., ne peuvent être que des nombres entiers positifs, il suit que q3 — \ et p,, = i; ainsi les deux quantités p3 — aq3, p,, — aq,, deviendront p3 — a et r . Mais nous avons vu que ces quantités doivent être des signes différents, et que, abstraction faite des signes, la seconde doit être plus grande que la première, ces quantités étant deux termes consécutifs de la série des minima; donc il faudra que a—p3^>o
et <i; par conséquent
Ainsi p3 sera connu, parce que, devant être un nombre entier, il ne pourra être que le nombre entier qui tombera entre a et a — i.
Donc, en général, dans le cas dont il s'agit, les deux derniers termes de la série q, g,, q2,... seront i, o; et les correspondants de la série p.
ANALYSE INDETERMINEE. 53
p, , /?2)... seront a, i, en dénotant par a. le nombre entier qui tombe entre a et a — i.
Supposons maintenant que ce soit la série p,p,,p2,... qui se termine la première, et soit pk = o, par exemple; alors l'équation
PiÇi — q3pi ='-pi,
devenant
donnera, par la raison que p3 et qh doivent être entiers positifs, pa=i, <74= i; de sorte que les deux quantités/?;, — aq3,pk — aqk, qui doivent être de signe contraire, et la seconde plus grande que la première, deviendront i — aq-i — a; d'où il suit qu'il faudra que i — aq3 > o et <a;
ce qui donne q3 < - et qt 4- i > -■> et par conséquent
c'est-à-dire que q3 devra être le nombre entier qui tombera entre -
et i .
Donc, en général, dans ce second cas, les deux derniers termes de la série/?, pt,p2,... seront i, o; et les correspondants dans la série q, q,, q2,... seront ]3, i, en dénotant par p le nombre enlier qui tombera
entre - et i.
On voit par là que le premier cas aura lieu lorsque a est un nombre plus grand que l'unité, et que le second aura lieu lorsque a sera moindre que l'unité.
Connaissant ainsi les deux derniers termes correspondants des séries P>Pi>Pi>-t q, q,, ?2>---» on pourra, par les formules données plus haut, trouver successivement, en remontant, tous les termes de ces séries qui résolvent le Problème proposé.
25. Il est plus commode de considérer ces séries à rebours, en commençant par les derniers termes. Ainsi nous avons deux séries croissantes,
54 ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÈBHE D'EULEK.
que nous représenterons, pour plus de commodité, de cette manière
p», p<, Pu Pu- •> <1^> 'l'y Qi> ?>»■••»
et pour lesquelles nous avons les déterminations suivantes :
Si « > i ,
si a < i ,
ensuite
Pi = p*p* + Pi, q3 = pi Ja-t-flu
pt = p.,/;, -4- />2, </4 = p-3 f/s -f- </„
et pour la détermination de j*n jjl2, f/3 les conditions
/?„ — ar/0 /?o — ^7„ • ' "" «</, — /;, «7, — p,
<£Lzg2i>^-^1,
/>, — flg, p,— «q, aq-i — pi aqs — p3
Il est bon de remarquer encore que le second cas rentre dans le premier; car, en supposant dans les formules du premier cas a< 1 , on aura
nécessairement
donc
p, = i, />, = o, qa = o, q, = i,
et de là
de sorte qu'ici yo,, /?2 et gr,, ^2 seront ce que seraient p0, /?,, </0, ^, dans
ANALYSE INDETERMINEE. 55
les formules du second cas; et les ternies suivants seront par conséquent les mêmes dans les deux cas.
On peut donc établir, en général, quel que soit le nombre a, les déterminations suivantes :
p, — [j., g. = ii
p*= p-i/?i + i, qi = [M,
p3 = pi pt -h pi, qz — ^iq^ + q,,
p< = f/.3^3 -+- p2, qk = ft, q, + q,,
Ensuite
p, — aqv i
aq,
v,<nq'
lh<]H-
- aq.
[M<P'~ aq>
-aq-,
—Pt
u < ng"
¥4<pt-
-aq*
où le signe ■< dénote le nombre entier qui est immédiatement moindre que la valeur de la quantité placée après ce signe.
On trouvera ainsi successivement toutes les valeurs de p et </ qui pourront satisfaire au Problème, ces valeurs ne pouvant être que les termes correspondants des deux séries p0, pit p3, p3 , . . . et yn, <y,. q», 7:,,....
Corollaire 1.
