DT-+-C

sD + C

eD, + C,J

Fractions décroissantes et plus grandes que a. A -+- 1 îA+i 3A + i

C+B aC + B

ac^B

dC, -t-B,'

etc.

Si la quantité a est irrationnelle ou transcendante, les deux séries précédentes iront à l'infini, puisque la série des fractions

ABC

AT' b7 c7 ■"•'

que nous nommerons dans la suite fractions principales, pour les distinguer des fractions intermédiaires, va d'elle-même à l'infini (n° 10).

Mais, si la quantité a est rationnelle et égale à une fraction quelconque ^rt nous avons vu dans le numéro cité que la série dont il s'agit

sera terminée, et que la dernière fraction de cette série sera la fraction

même =*-•, donc cette fraction terminera aussi nécessairement une des

deux séries ci-dessus, mais l'autre série pourra toujours aller à l'infini. En effet, supposons que § soit le dernier dénominateur de la fraction

continue; alors =r- sera la dernière des fractions principales, et la série

des fractions plus grandes que a sera terminée par cette même fraction

tt-; or l'autre série des fractions plus petites que a se trouvera naturel-

lement arrêtée à la fraction -fn qui précède =r-; mais, pour la conti-

Vj| -U|

nuer, il n'y a qu'a considérer que le dénominateur s, qui devrait suivre le dernier dénominateur iï, sera = ce (n°3); de sorte que la fraction

s-» qui suivrait jr dans la suite des fractions principales, serait

coD + C D

oc D, -1- C, ~~ B,*'