Or il est facile de se convaincre, par la Géométrie, que

est égale a l'aire du triangle qui est la projection sur l'écliptique du triangle formé dans le plan de l'orbite de la comète parles deux rayons vecteurs menés du Soleil aux deux lieux observés, et par la corde rectiligne qui joint ces deux lieux et qui sous-tend, par conséquent, l'arc parcouru dans l'intervalle des deux observations; de plus, si l'on nomme A l'aire de ce dernier triangle, on prouvera aisément, par la

Géométrie, que A : = i : cosrç, yj étant l'inclinaison du plan

de l'orbite sur celui de l'écliptique (3), de sorte qu'on aura

mais

tangvj = y/a2 -4- (32,

POUR DÉTERMINER L'ORRITE DES COMÈTES. klZ

et par conséquent

COSVÎ =

donc on aura, après les substitutions,

. [G a — H(3 -t- tang/j' tang/i sin [s — s)~\ rr' ^i + a'4- (32

~ 2(langA'+ « cosg' — (3 sin g-') (lang/i -+- a cosg — $ sin g)

7. Or, comme s est la longitude du Soleil dans le temps de la première observation, et 5' sa longitude dans le temps de la seconde observation, il s'ensuit que s'— s sera l'angle décrit par le Soleil autour de la Terre, ou, ce qui revient au même, l'angle décrit par la Terre autour du Soleil, dans l'intervalle des deux observations; mais r est la distance de la Terre au Soleil dans la première observation, et r' la distance de la Terre au Soleil dans la seconde observation; donc l'aire du triangle, formé au centre du Soleil par les deux rayons vecteurs /•, r', et par la corde de l'arc parcouru par la Terre dans l'intervalle des deux observations, sera exprimée par - s-, ainsi qu'on le démontre en Géométrie.

Donc le rapport de l'aire triangulaire A, décrite par la comète dans l'intervalle des deux observations, à l'aire triangulaire décrite par la

Terre dans le même temps, sera exprimé par ■ . . , , T> c'est-à-dire,

1 l l rr sin [s —s)

en substituant la valeur ci-dessus de A, et faisant

. tang/t'cos*'sin(g — s) — tang/< coss sin {g'— s' )

Slll (S — S \

R lang/t' sin*' sin {g — s) — tang/t sin* sin {g'— s')

sin [s' — s)

par la formule

tang/* tangA'-h A x — H ) v 1 -4- a2 -4- S2

i.Hig/i -+- a cosg-— (3 singj ( tang/t'-f- x cosg'— fi sing' |

8. Je remarque maintenant que, si l'intervalle entre les deux obser- VII. 60

kl't. NOUVELLE METHODE

valions est fort petit, les arcs parcourus par la comète et par la Terre autour du Soleil se confondront à très-peu près avec leurs cordes, et par conséquent les secteurs triangulaires, dont nous venons de déterminer le rapport, pourront être pris, sans erreur sensible, pour les véritables secteurs curvilignes décrits par la comète et par la Terre. Or on sait, par la théorie des forces centrales, que, dans les sections coniques décrites autour d'un même foyer et par une même force, qui varie dans la raison inverse du carré des distances, les aires des secteurs décrits dans le même temps sont entre elles comme les racines carrées des paramètres des sections; donc, si l'on nomme zs le demi-paramètre de l'ellipse décrite par la comète autour du Soleil, et II le demi-paramètre de l'orbite de la Terre, qui est à très-peu près égal à la distance moyenne du Soleil, on aura, dans l'hypothèse que les deux observations soient très-proches, l'équation

tangA langA'-t- Aa— B(3 l~ m

(tangA -+- acosg — (3 sing) (tang/t' -+- a. cosg' — (3 sing' ) \ (i -\- x2 -h (32jll

laquelle sera d'autant plus exacte que l'intervalle entre les deux observations sera plus petit.

9. L'équation précédente contient, comme l'on voit, trois inconnues a, fi et zs\ ainsi il faudra trois équations semblables pour déterminer ces inconnues, et, comme le second membre demeure le même, on éliminera d'abord l'inconnue zs en retranchant simplement une équation de l'autre, et l'on aura deux équations entre les deux inconnues a et ]3, dans lesquelles ces inconnues ne monteront qu'au troisième degré; en sorte que l'équation finale en a ou |3 ne pourra surpasser le neuvième degré. Ayant trouvé les valeurs de « et (3, on connaîtra d'abord la position du plan de l'orbite de la comète (3); ensuite l'une des trois équations donnera la valeur du paramètre ts, et l'on déterminera les autres éléments par les méthodes connues.

Cette méthode demande donc six observations de la comète, faites de manière que les intervalles de temps, entre la première et la seconde,