Étant proposée la quantité

A/r-f- Bpm-'<j + C/»m-Y + . . .+\q"',

dans laquelle A, B, C,... sont des nombres entiers donnés, positifs ou négatifs, et oùp et q sont des nombres indéterminés, qu'on suppose devoir être entiers et positifs, on demande quelles valeurs on doit donner à p et q,pour que la quantité proposée devienne le plus petite qu'il est possible.

Soient a, j3, y, ... les racines réelles, et /* ± v \!— \ , & ± p\l — i,. . . les racines imaginaires de l'équation

kxm + Bar-' -4- Cxm-2-h. . . + \= o; on aura, par la Théorie des équations,

kpm -+- B//"-' q ■+■ Cpm-7q2 ■+■'...•+• \qm

= A(p — ccq){p-^q){p — yq)...[p-(^ + vs/-i)q]

X [p — (f* — v sj~) q] [p — {m -+- p s]— i ) q] [p — (w — psT1 7) q] . . . = A{p-^q){p-Pq)(p-yq)...[(p-My-h^q^[(p-Tnq?+p'q']....

Donc la question se réduit à faire en sorte que le produit des quantités/?— c/.q,p — Pq, p—/q,... et (p — {J.q)2-hv'2q2 , (p — v>q)2-hp2q2,... soit le plus petit qu'il est possible, tant que p et q sont des nombres entiers positifs.

Supposons qu'on ait trouvé les valeurs de p et q qui répondent au minimum; et, si l'on met à la place de p et q d'autres nombres moindres, il faudra que le produit dont il s'agit acquière une valeur plus grande. Donc il faudra nécessairement que quelqu'un des facteurs augmente de valeur. Or il est visible que, si a, par exemple, était négatif, le facteur p — aq diminuerait toujours, lorsque p et q décroîtraient; la VII. 8

58 ADDITIONS AUX ELEMENTS D'ALGEBRE D'EULEK.

même chose arriverait au facteur (p — [j.qf -+- v-q~ , si jx était négatif, et ainsi des autres; d'où il s'ensuit que, parmi les facteurs simples réels, il n'y a que ceux où les racines sont positives qui puissent augmenter de valeur; et, parmi les facteurs doubles imaginaires, il n'y aura que ceux où la partie réelle de la racine imaginaire sera positive qui puissent augmenter aussi; de plus, il faut remarquer, à l'égard de ces derniers, que, pour que {p — p.qf -+- v-q2 augmente, tandis que p et q diminuent, il faut nécessairement que la partie {p — p-qf augmente, parce que l'autre terme v2q2 diminue nécessairement, de sorte que l'augmentation de ce facteur dépendra de la quantité p — p.q, et ainsi des autres.

Donc les valeurs de p et q, qui répondent au minimum, doivent être telles que la quantité p — aq augmente, en donnant à p et q des valeurs moindres, et prenant pour a une des racines réelles positives de l'équation

kxm + Bx"-' + Cxm-2+ . . . -f-V=o,

ou une des parties réelles positives des racines imaginaires de la même équation, s'il y en a.

Soient r et s deux nombres entiers positifs moindres que p et q; il faudra donc que r — as soit >> p — aq (abstraction faite du signe de ces deux quantités). Qu'on suppose, comme dans le n° 23, que ces nombres soient tels que ps — qr = ± i , le signe supérieur ayant lieu lorsque p — aq est positive, et l'inférieur lorsque p — aq est négative; en sorte que les deux quantités p— aq etr — as deviennent de différents signes, et l'on aura exactement le cas auquel nous avons réduit le Problème précédent (n° 24), et dont nous avons déjà donné la solution.

Donc (n° 26) les valeurs de p et q devront nécessairement se trouver parmi les termes des fractions principales convergentes vers a, c'està-dire vers quelqu'une des quantités que nous avons dit pouvoir être prises pour a. Ainsi il faudra réduire toutes ces quantités en fractions continues (ce qu'on pourra exécuter facilement par les méthodes enseignées ailleurs), et en déduire ensuite les fractions convergentes dont il

ANALYSE INDETERMINEE. 59

s'agit, après quoi on fera successivement/? égal à tous les numérateurs de ces fractions, et q égal aux dénominateurs correspondants, et celle de ces suppositions qui donnera la moindre valeur de la fonction proposée sera nécessairement aussi celle qui répondra au minimum cherché.

Remarque I.

29. Nous avons supposé que les nombres/? et q devaient être tous deux positifs; il est clair que, si on les prenait tous deux négatifs, il n'en résulterait aucun changement dans la valeur absolue de la formule proposée; elle ne ferait que changer de signe dans le cas où l'exposant m serait impair, et elle demeurerait absolument la même dans le cas où l'exposant m serait pair; ainsi il n'importe quels signes on donne aux nombres/? et q lorsqu'on les suppose tous deux de même signe.

Mais il n'en sera pas de même si l'on donne à/? et q des signes différents; car alors les termes alternatifs de l'équation proposée changeront de signe, ce qui en fera aussi changer aux racines a, (3, y, ... , (j,±vv'-i, s> ± p \J — i , . . . , de sorte que celles des quantités a, |3, y,..., (x, 73, . . . qui étaient négatives, et par conséquent inutiles dans le premier cas, deviendront positives dans celui-ci, et devront être employées à la place des autres.

De là je conclus, en général, que, lorsqu'on recherche le minimum de la formule proposée sans autre restriction, sinon que/? et q soient des nombres entiers, il faut prendre successivement pour a toutes les racines réelles a, (3, y,... et toutes les parties réelles \x, ar,... des racines imaginaires de l'équation

Ax'" -f- B.r'"^' + Cx'"-* -+- ... H- V = o,

en faisant abstraction des signes de ces quantités; mais ensuite il faudra donner à p et q les mêmes signes ou des signes différents, suivant que la quantité qu'on aura prise pour a aura eu originairement le signe positif ou le signe négatif.

Remarque II.

30. Lorsque, parmi les racines réelles a, /3, y,..., il y en a de eommensurables, alors il est clair que la quantité proposée deviendra nulle

en faisant ^ égal à une de ces racines; de sorte que dans ce cas il n'y aura pas, à proprement parler, de minimum ; dans tous les autres cas il sera impossible que la quantité dont il s'agit devienne zéro, tant que p et q seront des nombres entiers; or, comme les coefficients A, B, C,... sont aussi des nombres entiers (hypothèse), cette quantité sera toujours égale à un nombre entier, et par conséquent elle ne pourra jamais être moindre que l'unité.

Donc, si l'on avait à résoudre en nombres entiers l'équation

Spm-+- BpM-'<7 -+- Cpm-'2q'i + . .-f-Vçr = ±i,

il faudrait chercher les valeurs de p et q par la méthode du Problème précédent, excepté dans les cas où l'équation

Axm -+- Bx'"-' + Cx"1-2 -h. . . -+- V= o

aurait des racines ou des diviseurs quelconques commensurables; car alors il est visible que la quantité

pourrait se décomposer en deux ou plusieurs quantités semblables de degrés moindres; de sorte qu'il faudrait que chacune de ces formules partielles fût égale à l'unité en particulier, ce qui donnerait pour le moins deux équations qui serviraient à déterminer/? et q.

Nous avons déjà donné ailleurs [Mémoires de l'Académie de Berlin pour l'année 1768 (*)] une solution de ce dernier Problème; mais celle que nous venons d'indiquer est beaucoup plus simple et plus directe, quoique toutes les deux dépendent de la même Théorie des fractions continues.

(*) OEiwres de Lagi-angc, t. II, p. 538 et 58i.

ANALYSE INDÉTERMINÉE. Gl

Problème III.

31 . On demande les valeurs de p et de q qui rendront la quantité

Sp* + Bpq -hCq2

le plus petite qu'il est possible, dans l'hypothèse qu'on n'admette pour p et q que des nombres entiers.

Ce Problème n'est, comme l'on voit, qu'un cas particulier du précédent; mais nous avons cru devoir le traiter en particulier, parce qu'il est susceptible d'une solution très-simple et très-élégante, et que d'ailleurs nous aurons dans la suite occasion d'en faire usage dans la résolution des équations du second degré à deux inconnues, en nombres entiers.

Suivant la méthode générale, il faudra donc commencer par chercher

les racines de l'équation

lesquelles sont, comme l'on sait,

— B + ^-4 AC 2A Or:

i° Si B2 — 4 AC est égal à un nombre carré, les deux racines seront commensurables, et il n'y aura point de minimum proprement dit, parce que la quantité A/?2 + \$pq -h C^2 pourra devenir nulle.

a° Si B2 — 4AC n'est pas carré, alors les deux racines seront irrationnelles ou imaginaires, suivant que B2 — 4AC sera > ou <o, ce qui fait deux cas qu'il faut considérer séparément; nous commencerons par le dernier, qui est le plus facile à résoudre.

Premier cas, lorsque B2 — 4AC -< o.

32. Les deux racines étant, dans ce cas, imaginaires, on aura — pour la partie toute réelle de ces racines, laquelle devra par conséquent être prise pour a. Ainsi il n'y aura qu'à réduire la fraction ^^

02 ADDITIONS AUX ELEMENTS D'ALGEBRE D'EULEH.

(en faisant abstraction du signe qu'elle peut avoir) en fraction continue par la méthode du n° 4, et en déduire ensuite la série des fractions convergentes (n° 10), laquelle sera nécessairement terminée; cela fait, on essayera successivement pour /; les numérateurs de ces fractions, et pour q les dénominateurs correspondants, en ayant soin de donner à/>

et q les mêmes signes ou des signes différents, suivant que - -^ sera un

nombre positif ou négatif. On trouvera de cette manière les valeurs dep et q, qui peuvent rendre la formule proposée un moindre.

Exemple.

Soit proposée, par exemple, la quantité

fyp' — z38pq + 2go<72.

On aura donc ici A = 49» B = — 238, C = 290; donc

B'— 4AC= — 19b, —-. — -—. — -L .

Opérant donc sur cette fraction de la manière enseignée dans le n° 4, on trouvera les quotients 2, 2, 3, à l'aide desquels on formera ces fractions (n° 20)

De sorte que les nombres à essayer seront 1,2, 5, 17 pour/), et o, 1, 2, 7 pour q; or, désignant, par P la quantité proposée, on trouvera

d'où l'on voit que la plus petite valeur de P est 5, laquelle résulte de ces suppositions p = 5 et q = 2 ; ainsi l'on peut conclure en général que

ANALYSE INDETERMINEE. 63

l'a formule proposée ne pourra jamais devenir plus petite que 5, tant que p et q seront des nombres entiers; de sorte que le minimum aura lieu lorsque/? = 5 et q= i.

Second cas, lorsque B2 — l\ AC ^> o.