Comme, dans le cas présent, l'équation

a deux racines réelles irrationnelles, il faudra les réduire l'une et l'autre en fractions continues. Cette opération peut se faire avec la plus grande facilité par une méthode particulière que nous avons exposée ailleurs, et que nous croyons devoir rappeler ici, d'autant qu'elle se déduit naturellement des formules du n° 25, et qu'elle renferme d'ailleurs tous les principes nécessaires pour la solution complète et générale du Problème proposé.

Dénotons donc par a la racine qu'on a dessein de convertir en fraction continue, et que nous supposerons toujours positive, et soit en même temps b l'autre racine; on aura, comme l'on sait,

d'où

y/jS2 — 4AC

ou bien, en faisant, pour abréger, B2 — 4AC — E,

où le radical \JE peut être positif ou négatif: il sera positif lorsque la racine a sera la plus grande des deux, et négatif lorsque cette racine sera la plus petite; donc

Maintenant, si Ton conserve les mêmes dénominations du n° 25, il n'y aura qu'à substituer à la place de a la valeur précédente, et la difficulté ne consistera qu'à pouvoir déterminer facilement les valeurs entières approchées [j.,, p.2, [xs,

Pour faciliter ces déterminations, je multiplie le haut et le bas des

fractions— — —-, a^' ~ p' , P'~a^\... respectivement par A (bqi — /?,), aql — pl pi — aq-, aq3—p3 l * 7 '

A {p* — bq2), A (bq3 — />,),..., et, comme on a

A{p„ — aq<,)(p0 —bqe) = A,

Aiqa, — pt) [bq, — p,) == Api — A (a 4- b)p^qy 4- habq] = Ap\ 4- B />,</, -4- CgJ,

A(p2 — aq,) {p2 — bq2) = Ap\ — A (a -+- b) p2q, 4- A«i</^ = Ap?4- Bp2</, 4- Cç',

A(/»,— aç,)(6g,— pt)= — f*A— |B— ^^1,

A{aql—pl){p2 — bq2) = — Apip2-\-Aap2ql-hAbplq2— Aabq,q2

= — Aplpi — Cqlq2 — jB{plq2-hqip2)+{2 \j E(p2q—q2p>), A {p2 — «çr, ) ( 6g3 — />3 ) = — A/?3/>3 + A «/>3 </2 4- A bp2 q3 — A abq2 q3

= — Ap2p3 — Cq2q3 — {B{p2q3-hq2p3) + ^E(p3q2—q3p2),

et ainsi de suite, je fais, pour abréger,

Vl = Ap] + Bplq, -hCq% Pa = A/>* -+- Bp2q2 -h Cql, $3 = Api + Bp3q3 + Cq\,

Q2 = A/>, /?„ 4- jB(/>, ç2 4- </, />2) 4- Cç, ^2, Q3 = Ap2p3 -h ±K{p2q3 -h q2 p3) 4 Cqr,^,

J'aurai, à cause de

/>»</• ~ ?»/»■ = '> Ihq> — q%p2 = — i, P4q3 — q,pi=i, •••,

les formules suivantes

Or, si dans l'expression de Q2 on met pour p2 et q2 leurs valeurs H,pt -+- 1 et fx,, elle deviendra jx, P, -t- Q,; de même, si l'on substitue dans l'expression de Q3 pour p3 et g3 leurs valeurs p.2/?2 + />i et f-2^2 + <7m elle se changera en /x2 P2 -h Q2, el ainsi du reste; de sorte

que l'on aura

Qi = /*lP, + Qlf

Pareillement, si l'on substitue dans l'expression de P2 les valeurs de p2 et q2, elle deviendra

(i) P, 4-2fi,Q,-»-A;

et, si l'on substitue les valeurs de p3 et q3 dans l'expression de P3, elle

deviendra