VII

de variation de la longitude du Soleil, il s'ensuit que la variation de l'angle de position pendant l'éclipsé ne peut guère dépasser 2', et de là il est aisé de conclure que la plus grande erreur qui pourrait résulter de cette variation dans les distances mesurées sur la projection ne correspond qu'à un arc de 2' mesuré sur la circonférence de la projection dont le demi-diamètre s'élève à environ i° en nombre rond. Comme le demi-diamètre est égal à 3437', il suit de là que la plus grande erreur

que l'on puisse commettre est au plus ôtô-» ou 2" environ. Comme on

emploie dans la projection l'angle de position correspondant au moment de la conjonction, il en résulte que la variation de l'angle de position peut occasionner au plus une erreur de 1" dans la distance des centres, soit au commencement, soit à la fin de l'éclipsé.

Il en est de même pour ce qui concerne la variation de la déclinaison du Soleil, car la plus grande variation de celle-ci est seulement d'environ 24' pour un changement de i° dans la longitude du Soleil; par conséquent la déclinaison ne peut jamais varier de plus de 2' pendant l'éclipsé. D'ailleurs il est facile de se convaincre, d'après les principes des projections, que la plus grande erreur qui puisse résulter de là, relativement à la distance des centres, ne s'élève qu'à 2' sur la circonférence du cercle de projection. Il suit de là, comme ci-dessus, que cette erreur ne peut altérer de plus d'une seconde de degré la distance des centres au commencement ou à la fin de l'éclipsé.

Ces deux circonstances ne se rencontrent jamais ensemble, car c'est lorsque la variation de la déclinaison du Soleil est la plus petite que l'angle de position varie le moins, et réciproquement. Ou peut donc, en toute sécurité, négliger ces deux corrections dans le Problème qui nous occupe, car elles ne feraient que rendre la construction plus pénible sans en augmenter la précision d'une manière appréciable.

[Astronomisches Jahrbuch odcr Ephemeriden fur das Jalir 1782 ; Berlin, 1779.)

Les observations sont d'accord avec la théorie pour prouver que l'obliquité de l'écliplique va en diminuant; mais elles ne le sont ni entre elles ni avec celle-ci sur la quantité de cette diminution.

Si l'on compare les plus anciennes observations que Ptolémée nous ait transmises avec celles qu'on a faites dans ce siècle, on trouve une diminution d'environ 23' dans l'espace de dix-neuf siècles et demi; les observations d'Albatenius, du ixe siècle, ne donnent qu'une diminution de 7' dans huit siècles et demi ; celles de Tycho Brahé, de l'année 1 587, donnent environ 2' dans un espace de cent soixante ans; enfin les observations faites vers la fin du dernier siècle ou au commencement de celui-ci, et comparées avec les plus récentes, ne donnent qu'environ \ seconde par an de diminution; mais, si l'on compare à ces dernières colles qu'on n'a faites que depuis trente ans, on ne trouve pour cet

(*) Ce Mémoire a été lu par l'Auteur à l'Académie des Sciences de Berlin, le a6 février 1778. Il a été traduit en allemand par Schulze, et inséré dans les hphémérides de Berlin pour l'année 1787.. Nous reproduisons ici le Mémoire original en français, retrouvé dans les papiers de Lagrange qui sont déposés à la Bibliothèque de l'Institut de France.

(Note de V Editeur.)

intervalle de temps qu'une diminution de 10" à n", ce qui ne donnerait qu'environ 33" pour la diminution séculaire.

On voit par la que la diminution séculaire est toujours moindre à mesure qu'on la déduit d'observations moins distantes entre elles; et, si l'on pouvait compter entièrement sur l'exactitude de ces résultats, il s'ensuivrait que la diminution est variable, et l'on pourrait même en déterminer la loi jusqu'à un certain point; mais, d'un côté, les observations anciennes, surtout celles qui ont été conservées par Ptolémée, sont reconnues pour trop peu exactes; de l'autre, l'intervalle de temps écoulé entre les observations modernes est trop peu considérable, et l'erreur inévitable des observations influe trop pour qu'on puisse rien conclure de certain ni des unes ni des autres sur la vraie quantité de la diminution séculaire, et moins encore sur la variation de cette diminution ; ainsi la théorie paraît le seul moyen sûr que l'on ait jusqu'à présent de fixer cet élément important.

M. Euler est le premier qui ait démontré la diminution de l'obliquité de l'écliplique, en faisant voir que la rétrogradation des nœuds de l'orbite de la Terre sur l'orbite de chacune des planètes principales, causée par l'action de ces planètes, doit nécessairement diminuer l'angle de l'écliptique et de l'équateur, du moins dans la disposition actuelle de ces orbites, disposition qui doit aussi changer à la longue par l'action mutuelle de toutes les planètes.

M. Euler trouve les quantités suivantes

pour les rétrogradations séculaires des nœuds de l'orbite de la Terre sur les orbites de Saturne, Jupiter, Mars, Vénus et Mercure; de là, en multipliant respectivement ces quantités par les sinus des inclinaisons et par ceux des longitudes des nœuds descendants des orbites des mêmes planètes par rapport à l'écliptique, il conclut la diminution séculaire de l'obliquité de l'écliptique due à l'action de chaque planète, et ne tenant compte que des actions de Jupiter et de Vénus, vis-à-vis desquelles les autres sont presque nulles, il trouve cette diminution de ki'\- {Voyez les Mémoires de cette Académie pour l'année 17Ô4O

M. Euler donne les résultats précédents sans démonstration ; il avertit seulement, à l'égard des masses des planètes, que, pour celles de Saturne, Jupiter et la Terre, il a adopté les déterminations de Newton, fondées sur une valeur de la parallaxe du Soleil égale à 10", et que, pour celles des autres planètes, savoir : Mars, Vénus et Mercure, il les a déduites de l'hypothèse que les densités des planètes soient en raison inverse des racines carrées de leurs temps de révolutions périodiques, hypothèse qui se vérifie à peu près à l'égard des densités connues de Saturne, Jupiter et la Terre.

La démonstration que M. Euler a supprimée a été restituée par M. de Lalande, qui, en partant des mêmes données, est parvenu à trèspeu près aux mêmes résultats, dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris pour l'année 1758.

Les masses adoptées par M. de Lalande sont (en prenant celle de la Terre pour l'unité) 5G,o3G pour Saturne, 1 58, Gb pour Jupiter, 0,018 pour Mars, 0,42 pour Vénus, 0,04 pour Mercure et 1G9282 pour le Soleil, et les mouvements séculaires des nœuds de l'orbite de la Terre sur celle de chacune de ces planètes trouvés d'après ces masses sont respectivement

d'où M. de Lalande conclut la diminution séculaire de l'obliquité de

l'écliptique duc à ces planètes de

i",54, i5", 75, o",23, 2y",25, o", 4o, ce qui donne, pour la diminution totale en vertu de leur action réunie,

M. de Lalande, dans un autre endroit de ces Mémoires, remarque ensuite que la détermination de la masse de Vénus = 0,42 dépend de la supposition que le volume de cette planète ne soit qu'un tiers de celui de la Terre, supposition démentie par le passage de 1761; il fait voir que les observations de ce passage donnent (en faisant la parallaxe du Soleil de 9") 0,917 pour le diamètre de Vénus exprimé en parties de celui de la Terre, et de là 0,77 1 pour son volume, celui de la Terre étant = 1 ; or l'hypothèse de M. Euler sur les densités donne, pour celle de Vénus, i,32, en faisant celle de la Terre =1; de sorte que, en multipliant le volume 0,771 par la densité i,3a, il vient, à très-peu près, 1 pour la masse de Vénus. Ainsi, comme les mouvements des nœuds et la diminution de l'obliquité de l'écliptique qui en résulte sont proportionnels ayx masses qui les produisent, il faut augmenter dans le rapport de 0,42 à 1 la diminution séculaire 29", 25 trouvée ci-dessus en vertu de l'action de Vénus, ce qui la réduira à 69", 64; ainsi il faudra ajouter à la diminution totale de 47", 2 l'excès de 69", 64 sur 29", 25, c'est-à-dire 4o">39, moyennant quoi on aura pour la diminution séculaire de l'obliquité de l'écliptique, dans l'hypothèse que la masse de Vénus soit égale à celle de la Terre, la quantité 87", 6. M. de Lalande, dans son Astronomie, donne 70", 19 pour la diminution de l'obliquité de l'écliptique due à Vénus, ce qui supposerait la masse de cette planète = 1,0078. De là il conclut la diminution totale de i'28",ii, et c'est le résultat qu'il a adopté ensuite dans la Connaissance des Temps.

Tel étail l'état de ce Problème important d'Astronomie physique, lorsque j'ai entrepris, il y a cinq ans, de le résoudre avec toute la rigueur et la généralité dont il est susceptible, ne me bornant pas, ainsi qu'on l'avait fait avant moi, à donner les formules différentielles qui n'expriment que les variations instantanées, mais en intégrant ces formules pour avoir des résultats applicables à tous les temps, intégration qui avait jusqu'alors échappé aux efforts des géomètres. Mes Recherches sur ce sujet sont imprimées parmi les Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris pour l'année 1774 (*), et l'on en trouve les résultats, avec plusieurs Tables qui en dépendent, dans notre Recueil des Tables astronomiques imprimé en 1776. C'est à servir d'éclaircissement et de supplément au même Recueil qu'est destiné le présent Mémoire.

Dans les Recherches dont je viens de parler, j'ai adopté les déterminations des masses des planètes que M. de Lalande a trouvées d'après le dernier passage de Vénus, en supposant la parallaxe du Soleil de 8"^, et qu'il a publiées dans la Connaissance des Temps de 1774 et des années suivantes. Ces masses sont (en prenant toujours celle de la Terre pour l'unité) : 106,90 pour Saturne, 34o,oo pour Jupiter, 0,22 pour Mars, 1,17 pour Vénus, 0,1 4 pour Mercure, 3G54i2 pour le Soleil, et j'ai trouvé que la diminution séculaire de l'obliquité de I'écliplique dans ce siècle, due à l'action de ces masses, doit être de 56", 07. Comme les planètes qui ont le plus d'influence dans celte diminution sont Jupiter et Vénus, et que les masses précédentes de ces planètes sont plus grandes que celles qui ont servi de données dans les calculs de M. de Lalande, on doit être surpris de voir q*ue mes résultats, au lieu d'être plus forts que les siens, le sont au contraire beaucoup moins : c'est pourquoi je crois devoir rendre raison de celle contradiction apparente pour lever les doutes qu'on pourrait peut-être se former sur l'exactitude de mes calculs.

(*) Œuvres de Lagrange, t. VI, p. G

VII ï.

Pour cet effet, je remarque que le mouvement des nœuds d'une planète pendant une de ses révolutions, causé par l'action d'une autre planète, est exprimé en général par une fonction du rapport des distances moyennes de ces planètes au Soleil, multiplié par le rapport de la masse de la planète qui produit ce mouvement à la masse du Soleil; de sorte que, le rapport des distances au Soleil demeurant le même, si celui des masses change, le mouvement séculaire des nœuds variera dans la raison directe de ce dernier rapport. Or le rapport des distances, ne dépendant que de celui des temps périodiques, doit être encore à très-peu près le même que celui que Newton a déterminé; mais il n'en est pas ainsi du rapport de la masse d'une planète à celle du Soleil; ce dernier rapport est, comme l'on sait, en raison directe triplée de celui de la distance moyenne du satellite de la planète à la distance moyenne de la planète au Soleil, et en raison inverse doublée de celui du temps périodique du satellite au temps périodique de la planète. Les rapports des temps périodiques des satellites et des planètes principales n'ont guère subi de correction depuis Newton; mais ceux des distances ont été beaucoup changés, du moins pour la Lune et la Terre. En effet, le rapport entre la distance de la Lune a la Terre et la distance de la Terre au Soleil étant le même que celui de la parallaxe du Soleil à celle de la Lune, il s'ensuit que ce rapport a dû diminuer par la diminution de la parallaxe du Soleil, que Newton avait supposée de 10", et que les dernières observations du passage de Vénus ont réduite à 8"i; à l'égard de la parallaxe de la Lune, les dernières déterminations différent peu de celle de Newton; ainsi la diminution de la parallaxe du Soleil a dû influer principalement sur le rapport de la masse de la Terre à celle du Soleil, en le diminuant dans la raison triplée : c'est pourquoi, la masse de la Terre étant prise pour l'unité, celle du Soleil est devenue plus du double plus grande. Quant aux rapports entre les distances des satellites

de Jupiter et de Saturne à leurs planètes principales et les distances de ces planètes au Soleil, ces rapports sont mesurés par les plus grandes élongalions des satellites à leurs planètes principales dans le temps des quadratures de ces planètes, et les observations les plus récentes les ont diminuées un peu, ce qui a dû diminuer aussi, dans la raison triplée, les rapports entre les masses de Jupiter et de Saturne et celle du Soleil; mais la différence entre les dernières déterminations et celle de Newton n'est pas, à beaucoup près, aussi considérable pour ces masses que pour celles de la Terre et du Soleil.

Puis donc que le mouvement des nœuds de l'orbite de la Terre et la diminution séculaire de l'obliquité de l'écliptique qui en résulte ne sont pas simplement proportionnels à la masse absolue de là planète qui les produit, mais au rapport de cette masse à celle du Soleil, il faut, pour réduire les résultats de M. de Lalande du n° V à ce qu'ils doivent être, en employant les masses qu'il a données dans la Connaissance des Temps de 1774» les multiplier respectivement par les rapports entre les dernières masses et les premières, mais en prenant dans l'évaluation de ces masses celle du Soleil pour l'unité, et non pas celle de la Terre, comme on le pratique ordinairement.

Or (la masse du Soleil étant = 1) je trouve, pour les masses de Saturne, Jupiter, Mars, Vénus et Mercure, telles que M. de Lalande les a employées dans ses premiers calculs, les nombres

o,ooo33io2, 0,00093722, 0,000000106, 0,000002481, 0,000000236,

et pour les mêmes masses, telles qu'elles résultent des dimensions données dans la Connaissance des Temps de 177/1» c°ux-ci

0,00029255, 0,00093047, 0,000000602, o,ooooo32o3, o,oooooo388.

Ainsi il faudra multiplier respectivement les nombres (n°Y)

1 " , 5 4 » '5", 75, o",23, 29", 25, o", jo

52i SUR LA DIMINUTION

par les suivants

o,8838i, 0,99281, 5,G59?., 1,2913, 1,6442, ce qui donnera ceux-ci

i",3Gi, i5",637, i",3oi, 35", 770, o'^GS1;,

qui exprimeront donc la diminution séculaire de l'obliquité de l'écliptique due à chacune de ces planètes; en sorte que la diminution totale sera de 56", 726, à très-peu près comme nous l'avons trouvé, et, si l'on remarque encore que nous avons négligé dans notre calcul l'action de Mercure comme trop petite et trop incertaine, il faudra, pour faire une comparaison exacte des résultats précédents avec les nôtres, retrancher de la quantité 56", 726 la diminution due à Mercure, savoir o",657; lp reste sera 56", 069, ce qui s'accorde parfaitement avec le résultat de notre calcul.

Après avoir montré l'accord de nos résultats avec ceux que M. de Lalande aurait dû trouver s'il avait employé, ainsi que nous l'avons fait, ses propres déterminations des masses des planètes, il est à propos d'examiner aussi les changements que ces résultats devraient éprouver si l'on changeait les valeurs des masses de Vénus et de Mars, sur lesquelles il y a encore beaucoup d'incertitude.

Supposons, en général, que la masse de Vénus doive être augmentée dans la raison de 1 '.m, et celle de Mars dans la raison de 1 : n; il faudra, dans les calculs de notre Mémoire (*), multiplier par m les nombres (o,3), (i,3), (2,3), (4.3), et par n les nombres (o,4), (i,4). (2»4)> (3,4)» et refaire en conséquence toute la suite des calculs d'après les valeurs qu'on voudra donner à m et n; mais si, au lieu de formules générales telles que celles que nous avons trouvées, on veut se contenter de formules approchées qui n'aient lieu,àlavérité,que pendant un temps limité, mais qui soient cependant suffisantes pour tout le temps durant

(*) (JE iwrcs de Lagrange, t. VI, p. 647.

lequel l'Astronomie a été cultivée, on cherchera les valeurs des quantités s et u exprimées par des séries qui procèdent suivant les puissances du temps t; et, pour cela, on emploiera les formules générales connues

dl) ' + [dp ) 1 *" [dp) T. 3 + ' ■ " fdu\ [d:!u\P (d3u\ P

u=W+[d7)t + [w)ï + [dp)^+--->

les quantités (s), (-tt)' ••■■> {u), (77)' ••• exprimant les valeurs de s,

-7-1 •■■•> u, -7-, • •> qui répondent à t = o. Or les valeurs de (s) et de (u) sont données par les Tables pour toutes les planètes, et l'on trouvera

celles de (-77)' (777)' de (777)' ("777)' "" au moyen des équations différentielles du n° 16 de notre Mémoire (*), en substituant successivement, dans ces équations et dans les différences des mêmes équations, les valeurs données par les Tables.

De cette manière, j'ai trouvé les valeurs suivantes, en prenant, comme dans le Mémoire cité, l'année 1760 pour époque, et réduisant tout en secondes :

Pour Jupiter.

du \

Pour Saturne.

8391", \Ji)— °">2263>

(*) OEuvres <lr Lagrange, t. VI, p. <m;

Pour la Terre.

— o",o?8G + o", \o5om -+- o",oi 16/?,

Pour dénies

ds di

du di

= — o", 1910 -4- o", oo3i /?, — o",5a64 -4- o",oi7i n.

Powr Mars.

Et de la j'ai trouvé pour la Terre

d's de

Ainsi

: o", 00000 1951 + o", 000035701 m + o", 00000 1021 n + o", 0000 12221 /»• -4- o", 00000 1 791 mn -4- o",ooooooo3i/i2,

: o", 00000 1 85 1 4- o", 000008901 m -4- o", 00000 i4oi n -+- o",ooooo338i ni* -4- o", 00000057 1 mn -4- o", ooooooo3 1 /j2.

l'on aura les valeurs suivantes approchées de a et v, savoir :

( — o",o2.84 + o",io5o/« + o",oi i6n) t

o", 00006097 1 -4- o", 000017851 m -+- o",oooooo5oi n 4- o", 0000061 1 1 m7 + o", 000000891 mn -+- o", 000000021 n2

o", 000000921 -4- o", ooooo445 1 m -4- o", 000000701 n o", 000001691 m2 ■+- o", 00000028/77/1 -+- o", 00000002

d'où l'on tirera celles de a' et de v' par les formules de la page 279 du tome II des Tables astronomiques, et l'on aura, par ces mêmes formules, les variations qui en résultent dans l'obliquité de l'écliptique, dans la précession des équinoxes et dans les positions des étoiles fixes, t éi;:;ii le nombre des années tropiques comptées depuis le commencement de 1760.

Pour avoir les variations pour le premier siècle, on fera t = 100, et dans ce cas on pourra négliger les termes affectés de t- comme ne donnant que des décimales de seconde.

On aura donc pour lors

<t= — 2", 84 + io",5om -+- i", iOm, ■j = —17", 02 — 3r",q3m — 1", ?.-n,

et, comme 5o",3 x 100 = i°23'5<>", dont le sinus est 0,02438 et le cosinus est 0,99970, on aura, sans erreur sensible,

<j' = 7 et y'= u,

de sorte que la diminution séculaire de l'obliquité de l'écliptique sera exprimée par la valeur précédente de — v, savoir

Si l'on fait m = 1 et n = 1 , on a

ce qui s'accorde avec ce que donne la Table VI, page 288, en prenant le milieu entre les deux valeurs de v' qui répondent au premier siècle avant et après 17G0.

On voit par la formule précédente que, si l'on devait réduire à 33" la diminution de l'obliquité de l'écliptique pour le siècle courant, ainsi

que le prétendent de très-grands astronomes d'après leurs observations, il faudrait que l'on eût celte équation

savoir

donc

d'où il s'ensuit que la masse de Vénus devrait être moindre de la moitié que celle que nous avons adoptée d'après la Connaissance des Temps.

Or, comme la masse d'une planète est en raison directe composée de son volume et de sa densité, et que le volume de Vénus est assez bien connu d'après les observations des derniers passages (ce volume ayant été déterminé par M. de Lalande de 0,91822, en prenant celui de la Terre pour l'unité), il faudrait diminuer la densité de cette planète dans la raison de 1 : m. Mais la densité adoptée par M. de Lalande, d'après l'hypothèse de M. Euler, est de 1,2760, en prenant celle de la Terre pour l'unité; donc cette densité deviendrait 0,53716 — 0,04269^,

c'est-à-dire < 0,53716 < -^ de celle de la Terre, ce qui serait hors

de toute vraisemblance, puisque Vénus, étant plus près du Soleil que la Terre, semble au contraire devoir être plus dense que la Terre, ou du moins d'une densité peu différente.

Quoi qu'il en soit, si la diminution de l'obliquité de l'écliptique était bien connue par les observations, on en pourrait conclure la masse de Vénus au moyen de la formule générale du numéro précédent; car, pour ce qui est de la masse de Mars d'où dépend le nombre n, il est clair qu'elle n'a que très-peu d'intluence sur la diminution dont il s'agit, en sorte qu'on peut en faire abstraction sans erreur sensible; et ce moyen de déterminer la masse de Vénus d'après la diminution de l'obliquité de l'écliptique est, au défaut d'un moyen direct, tel que serait celui d'un

satellite qui tournerait autour de cette planète, peut-être le plus exact que l'Astronomie puisse fournir; mais, en attendant que des observations sûres et continuées au moins pendant un ou deux siècles nous mettent en état de profiter du moyen que nous venons de proposer pour connaître un élément si important du système du monde, nous allons examiner ce qui résulte de quelques autres phénomènes qui peuvent conduire aussi à la même connaissance, parce qu'ils dépendent en grande partie de l'action de Vénus.

Le premier et le plus important de ces phénomènes est le mouvement d'apogée du Soleil, qui parait assez bien déterminé et que les dernières Tables de Mayer font de i'6" par an. Il n'est pas douteux que ce mouvement ne soit dû à l'action des planètes sur la Terre, parmi lesquelles Jupiter et Vénus sont celles qui doivent produire le plus grand effet, la première à raison de sa grosseur, et la seconde à raison de sa proximité. M. de Laplace, qui a calculé cet effet dans un Mémoire imprimé parmi ceux des Suçants étrangers de l'année 1773, trouve, pour le mouvement annuel de l'apogée du Soleil par rapport aux étoiles fixes, en vertu des actions réunies de Jupiter et de Saturne, la quantité

en représentant par \x le rapport de la masse de Vénus à celle du Soleil. Faisant donc cette quantité =66"— la précession annuelle des équinoxes qui, suivant Mayer, est de 5o",3, on a l'équation

d'où l'on tire

quantité qui n'est que tant soit peu plus petite que celle que nous avons employée dans notre théorie des mouvements des nœuds, celle-ci étant de o,ooooo32o3 (n°IX).

De là on trouvera

de sorte que la diminution séculaire de l'obliquité de l'écliptique en deviendra moindre de o",4o6, quantité insensible.

Au reste, nous nous proposons d'examiner cet objet plus à fond dans une autre occasion.

L'autre phénomène qui peut servir à connaître la masse de Vénus est une petite inégalité de la longitude du Soleil dépendante de la distance de Vénus au Soleil, que M. l'abbé de la Caille a le premier introduite dans ses Tables solaires d'après le calcul de M. Clairaut, et que M. Mayer a conservée dans les siennes, mais en la réduisant aux deux cinquièmes. Cette inégalité est celle qui est contenue dans la Table IX, page 2.58 du premier volume de nos Tables, sous le titre de : Équation produite par Vénus, et dont l'argument n'est autre chose que la longitude moyenne de Vénus, moins celle de la Terre (qui est plus grande de six signes que la longitude du Soleil), en supposant la circonférence du cercle divisée en iooo parties.

En nommant a cet argument, et désignant par \x le rapport de la masse de Vénus à celle du Soleil, on a, d'après les calculs de M. Clairaut {Mémoires de 1 754» P- 555), pour l'inégalité dont il s'agit, la formule

^(9,6475 si na — 1 1,1 i74sin2« — 1, 3597 sin3« — 0,4089 sin4« •

Pour déterminer la valeur de p. d'après la Table de Mayer, il ne s'agit que de comparer deux valeurs répondant à un même argument quelconque; faisons donc, dans la formule précédente, a = 900; elle donnera 11,0072/jL; ce qui, étant réduit en secondes (en multipliant par 206264", 8, valeur du rayon en secondes), donne 2270400"^. pour la valeur de l'équation qui répond au quart de cercle; or dans la Table

citée, la valeur qui répond à l'argument 200 est de 3", 9; on aura donc

l'équation

d'où l'on tire

Cette valeur de [i est presque la moitié moindre que celle que nous avons trouvée plus haut d'après le mouvement de l'apogée du Soleil; il y a donc lieu de croire qu'elle est beaucoup trop petite et que, par conséquent, l'équation de Vénus dans les Tables de Mayer l'est aussi. Si, au contraire, on s'en tient aux Tables de l'abbé de la Caille, lesquelles donnent 9", 4 pour la valeur de cette équation lorsque l'argument est de 900, on trouve

valeur d'un tiers plus grande que celle que donne le mouvement de l'apogée du Soleil, et qui doit, par conséquent, être regardée comme trop forte.

Si maintenant on prend le milieu entre les deux Tables de la Caille et de Mayer, il en résultera pour f/, une valeur qui sera moyenne arithmétique entre les deux précédentes, et qui sera par conséquent = 0,0000029290; cette dernière valeur de \x est, comme l'on voit, un peu plus petite que celle qui résulte du mouvement de l'apogée du Soleil; mais la différence est moindre qu'un dixième, en sorte qu'on peut la négliger et regarder ces deux valeurs comme à peu près égales.

Je crois donc pouvoir conclure de tout ce que je viens de dire que la détermination de la masse de Vénus, qui a servi de base à ma Théorie de la diminution de l'obliquité de l'écliptique, et qui a donné celte diminution de 5G" pour le siècle courant, est aussi plausible qu'on peut le désirer : 1" parce que cette détermination est fondée sur l'hypothèse

très-naturelle que la densité de Vénus soit tant soit peu plus grande que celle de la Terre; 20 parce qu'elle s'accorde très-bien avec celle qui résulte du mouvement très-connu de l'apogée du Soleil; 3° parce qu'elle s'accorde aussi à très-peu près avec le milieu pris entre les deux équations de Vénus dans les Tables du Soleil de l'abbé de la Caille et de Mayer.

SUR

[Astronomisches Jahrbuch oder Epliemeriden fur dos Jahr 1783. Unter Aufsicht und mil

Genehmhaltung der Konigl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin verfertisjt und /.uni Drucke befôrdert. — Berlin. 1780.)

1. La méthode des interpolations est une des plus ingénieuses et des plus utiles que l'Astronomie possède. Elle sert non -seulement pour remplir dans les Tables les lieux moyens entre ceux qu'on a calcules immédiatement, mais encore pour suppléer dans une suite d'observations a celles qui manquent. Lorsque les nombres donnés entre lesquels il s'agit d'insérer des nombres intermédiaires sont en progression arithmétique, il est naturel d'imaginer que les nombres intermédiaires cherchés doivent former aussi une même progression arithmétique avec les nombres donnés; il n'y a donc alors qu'à insérer des moyens arithmétiques entre les nombres donnés; c'est en quoi consiste la méthode des parties proportionnelles, dont l'usage paraît avoir été connu île tout temps. Mais cette méthode si simple ne peut avoir lieu que lorsque les nombres donnés croissent ou décroissent également, c'est-à-dire par des différences constantes. Si ces différences ne sont pas constantes, alors on ne peut pas supposer non plus que celles des nombres intermédiaires le soient, et la question se réduit à trouver la loi de l'augmentation ou de la diminution des nombres donnés pour pouvoir y

(') Ce Mémoire a été lu par l'Auteur à l'Académie des Sciences de Berlin, le ! septembre 1778. Il a été traduit en allemand par Schulze et inséré dans les Éphémérides de Berlin pour l'année 1783. Nous reproduisons le .Mémoire original en français, retrouvé dan- les papiers de Lagrange qui Bont déposés à la Bibliothèque de l'Institut de France.

I Vote <!<• l'Édite m .

assujettir aussi les nombres intermédiaires. C'est l'objet de la méthode «les interpolations. Ce qui se présente de plus naturel dans eette recherche, c'est d'examiner si les différences des nombres donnés forment elles-mêmes une progression arithmétique; dans ce cas il est visible que l'on peut appliquer la métbode des parties proportionnelles à la suite des différences; ensuite on pourra remonter de cette suite à celle des nombres cherchés. De même, si les différences des nombres donnés ne forment pas une progression arithmétique, mais que les différences de ces différences, qu'on appelle différences secondes de la série donnée, en forment elles-mêmes une, on pourra trouver les termes intermédiaires de cette dernière suite, et remonter de là successivement à celle des différences premières, et enfin il celle des nombres à interpoler.

C'est sur ce principe qu'est fondée la théorie ordinaire de l'interpolation, laquelle se réduit par conséquent à la solution de ce Problème :

Etant donnée une suite de nombres dont les différences d'un ordre quelconque soient constantes , trouver un nombre quelconque de termes intermédiaires qui suivent la même loi.

Les Français font honneur de cette découverte à M. Mouton, chanoine de Lyon, qui en parle dans un Ouvrage sur les diamètres apparents du Soleil et de la Lune, imprimé en 1670, à l'occasion d'une Table des déclinaisons du Soleil insérée dans cet Ouvrage. C'est le même qui a calculé les logarithmes des sinus et des tangentes pour toutes les secondes des quatre premiers degrés et des quatre derniers, jusqu'à dix décimales, dont l'Académie des Sciences de Paris possède le manuscrit, et qu'on a publié depuis peu, mais seulement jusqu'à sept décimales dans la nouvelle édition des Tables de Gardiner, faite à Avignon.

Il paraît néanmoins que la découverte dont il s'agit doit être beaucoup plus ancienne, et il est bien naturel de penser qu'elle n'a pu échapper aux premiers calculateurs des Tables trigonométriques et logarithmiques, à cause des secours immenses qu'elle offre dans ces sortes de calculs. Aussi je trouve que Henri Briggs, qui a calculé le premier

les logarithmes des nombres naturels depuis i jusqu'à 20000 et depuis 90 jusqu'à 100 mille, propose, pour remplir cette lacune, une méthode d'interpolation fondée sur la considération des différences successives, qu'il dit avoir déjà employée avec succès dans la construction du canon trigonométrique pour les sinus et tangentes des degrés et des centièmes de degré. {Voir son Arithmetica logarithmica, Chap. XIII, et sa Trigonomelria Britannica, Chap. XII.)

Cette méthode, dont Briggs ne donne point la démonstration, et dont aucun des auteurs qui sont venus après lui n'a fait mention que je sache, me paraît très-directe et très-ingénieuse; elle a été généralisée depuis par Cotes dans sa Canonitechnia, sive constructio Tabularum per differenlias ; mais cet auteur a également supprimé la démonstration de ses formules, et je ne sache pas que personne jusqu'ici ait entrepris d'y suppléer, ce qui vient vraisemblablement de ce que l'usage de cette méthode a été entièrement abandonné depuis que Newton en a proposé une autre plus simple, fondée uniquement sur la considération des courbes.

Newton regarde les termes donnés comme autant d'ordonnées d'une courbe de genre parabolique, et il cherche l'équation d'une courbe de celte espèce qui passerait par tous les points donnés. Ayant cette équation, on a évidemment la loi de toute la courbe, et par conséquent la valeur de toutes les ordonnées intermédiaires, qui sont les termes à interpoler.

2. Comme l'analyse de Newton est très-connue, je ne la rappellerai point ici. Elle conduit, comme l'on sait, à cette formule très-simple et très-générale

dans laquelle B, C, D, ... sont les différences premières, secondes, troisièmes, etc. de la suite donnée A, A,, A2, A,, . . . , qu'il s'agit d'interpoler; en sorte que

B = A, — A, C = AS— aA, -f-A, D = A, — 3A.-+-3A, — A,

Cette formule sert donc, comme on voit, à trouver la valeur d'un VIL 68

terme quelconque Ax intermédiaire entre deux termes quelconques de la série donnée, et pour cela il n'y a qu'à faire x égal a la fraction qui exprime la distance du terme cherché au premier terme A. Mais, pour en faciliter l'usage dans l'interpolation des lieux de la Lune et des planètes, on a donné jusqu'ici, dans nos Éphêmêrides, une Table qui donne

les valeurs des coefficients x, — — U ■■■■> en supposant x exprimé en

parties de o.l\ heures, et cette Table est calculée de 10 en 10 minutes. On trouve de plus, dans le volume des Éphémérides pour 1778, une autre Table qui donne les valeurs des mêmes coefficients en parties d'une heure ou de Go minutes, et qui est calculée de 10 en 10 secondes. La première de ces Tables sert pour interpoler les lieux calculés de jour en jour, comme on les trouve dans les Éphémérides. La seconde pourrait servir pour interpoler des lieux calculés d'heure en heure; mais son principal usage consiste à interpoler des quantités qui ne seraient données que de degré en degré. Enfin, il y a dans le Recueil des Tables logarithmiques et trigonométriques de M. Schulze une nouvelle Table qui donne les valeurs des coefficients dont il s'agit, pour chaque centième partie de l'unité, c'est-à-dire en faisant successivement x = 0,01, = 0,02, . . . , =1; de sorte que par le moyen de cette Table on pourra aisément interpoler entre les premiers termes A et A, d'une suite donnée quatre-vingt-dix-neuf termes intermédiaires placés à distances égale?.

3. La formule précédente est la plus usitée, et c'est d'ailleurs presque la seule que les Astronomes connaissent. Il y en a cependant une autre non moins simple, et qui est même préférable à quelques égards : c'est celle qui résulte de la troisième Proposition de la méthode différentielle de Newton, et qui a fourni les Tables placées à la fin du Traité de Cotes : De conslructione Tabularum. La voici ;

4. Soit la suite des ternies équidistants à interpoler continuée de part et d'autre ainsi

.... ,A, 2A, ,A, A, A,, Aj, A3, . . .,

qu'on en prenne successivement les différences premières, secondes,

troisièmes, ..., en les écrivant, pour plus de commodité, comme on

le voit ici,