AX = P+Q, XA = P-Q

20 Que les termes affectés des puissances paires de x sont séparés et indépendants de ceux qui contiennent les puissances impaires, la somme P étant composée uniquement des premiers et la somme Q uniquement des seconds, ce qui est plus analogue à la nature des fonctions que l'on a à interpoler dans l'Astronomie, ces fonctions étant ordinairement composées de sinus et de cosinus dont les uns ne donnent que des puissances impaires de l'arc, les autres que des puissances paires.

3° Si les termes de la suite des différences A, B, C, D, ... vont en décroissant et deviennent enfin nuls, c'est une marque que la série proposée est algébrique. Alors la formule qui exprime le terme général Ax se trouve finie et exacte; ainsi elle donnera rigoureusement la valeur d'un terme quelconque intermédiaire. Mais, si les termes de la suite dont il s'agit ne vont pas en diminuant, l'expression de Ax ne se terminera pas et ne sera pas même convergente; elle sera donc fautive et ne pourra pas être employée pour trouver les termes intermédiaires. Cet inconvénient a également lieu dans la formule ordinaire d'interpolation que nous avons rapportée plus haut, et vient en général de ce qu'alors la série n'est pas algébrique, comme on le suppose.

SUR LES INTERPOLATIONS. 5il

6. Parmi les cas qui échappent à ces méthodes d'interpolation, un des plus étendus et des plus importants dans l'Astronomie est celui où la série à interpoler est composée de sinus ou de cosinus d'angles qui varient uniformément, mais dont les variations d'un terme à l'autre de la série sont trop grandes pour qu'on puisse suhstituer à ces sinus ou cosinus leurs valeurs exprimées par des puissances des arcs. Dans ce cas, les différences successives sont très-irrégulières : elles vont tantôt en augmentant, tantôt en diminuant, et changent même souvent de signe, ce qui ne peut que rendre fautive la valeur de A^ dans les formules connues d'interpolation. Ces formules ne peuvent donc être d'aucun usage dans ces sortes de séries; il est néanmoins d'autant plus intéressant d'avoir une méthode pour interpoler les séries de cette forme que toutes les irrégularités des mouvements des corps célestes s'y rapportent, et qu'en général l'art de construire des Tables des planètes d'après les observations en dépend. Cette considération m'a engagé, il y a quelques années, à chercher une méthode particulière pour cet objet, et j'ai donné le résultat de mes recherches sur cette matière dans un Mémoire imprimé parmi ceux de l'Académie des Sciences de Paris pour l'année 1772 (*); mais j'ai remarqué depuis qu'on peut simplifier beaucoup la méthode de ce Mémoire en employant la série des différences successives A, B, C, ... de la seconde formule d'interpolation donnée ci-dessus (n°4). C'est ce que je vais développer; je tâcherai en même temps d'ajouter quelques autres simplifications à la méthode dont il s'agit.

7. La question considérée dans toute sa généralité se réduit à celle-ci :

Supposons que ion ait une suite dont le terme gênerai \x soit de la forme suivante

Aj = a sin [«■+■ x<p) ■+■ 6sin({3 + xd) ■+ csinfy + xty) +. . .;

et que l'on eonnaisse plusieurs valeurs successives, telles que

(*) OE iwrcs de Lngrnrige, t. VI, p. 507.

répondant à

OC . . . y O y ' "2- y ~ I j O j \ y 2 y Oj . . • f

il s'agit de déterminer les coefficients a, b,c, ... ainsi que les angles a, ,3, y, ..., o, 0, 6, ....

Supposons, pour plus de simplicité, que la valeur de A^. ne renferme qu'un seul terme a sin(a -f- a?y); en donnant successivement h x les valeurs précédentes, on aura

..., 3A=asin(a — 3<p), 2A = asin(a — 29), ,A = a sin(« — 9), A = a sina, A, = «sin(a + 9), A2= asin(a -+- 29), A3=asin(a + 3<p), ....

De là on trouvera, en prenant les différences successives et employant les réductions connues

B = 2 «sin - cos \ oc — (2 h — jo , ,B = ia sin - cos « — ( t -\ — ) 9 ,

,B r= 2a sin - cos (a — - ) ■>

© / 9 B,= 2«sin- cos a -+- -

B2= 2a sin - cos

B3 = Siasin- cos

C = — 4«sin2^ sin (a — 29), C = — 4 «sin2- sin (a — 9),

oïS

C = — 4a sin - sinar,

C,^= — 4«sin2 - sin [a-+- a)

o C2= — 4a sin2- sin (a + 2<p),

2D = — 8a sin3 - cos

iD = — Sa sin3 - cos ( a -

8a sin3- cos ( a -t- - ),

I),.— — 8a sin3 - cos a -+- ( i +

,E = i6a sin* - sin (a. — o)

E = i6a sin5 - sina,

E,= i6a sin4 - sin (a -+■ o),

De sorte qu'on aura

A == a sin a,

R = ia sin - cos - cosar,

C = — 4a sin2* sin a,

D= — 8a sin3 - cos - cosa,

E ibasin4 - sin a,

F = 32rtsinr' - cos - cosx,

Donc, puisque ssin- cos- = sin-p, si l'on partage la série pécédente en deux, on aura ces deux suites

A = a sina,

C = — a sina ( ?.sin -

E = a sina ( 2sin - ) >

G = — a sina ( 2sin - j »

B = a cosa sin<p,

D= - a cos a sin<p ( 2sin - ) »

F = acosasintp l2sin- j s H = — acosasinç ( 2sin - ) »

lesquelles sont évidemment deux progressions géométriques qui ont la même raison — psin-

8. De la il est facile de conclure que, si l'expression de A^ contient plusieurs termes tels que

a sin [a -+- xy) -4- b sin((3 + x9) -+- csin(y -+- xty) -4-. . .,

la série A, C, E, ... sera composée d'autant de progressions géométriques dont les premiers termes seront

asina, 6sin(3, csiny, ...,

et dont les raisons seront

-(2Si4)

l ? l 2sin- J -, l 2sin— )

et que, de même, la série B, D, F, ... sera composée d'autant de progressions géométriques dont les premiers termes seront

«cosasino, 6cos(3sin(9, ccosysinip, ••-,

et dont les raisons seront les mêmes que pour la série A, C, E, ....

Ces deux séries seront par conséquent toujours du genre de celles que l'on nomme récurrentes, et dont la propriété est qu'il y a constamment la même relation entre un certain nombre de termes successifs; cette relation étant la même que celle des puissances successives de l'inconnue dans une équation qui aurait pour racines les raisons des différentes progressions géométriques qui composent la série récurrente, ainsi qu'il est démontré dans plusieurs Ouvrages.

9. Lors donc qu'on aura formé la série des différences successives A, B, C, D, . . ., on examinera d'abord si cette série va en diminuant, auquel cas on pourra faire usage de la formule du n° 4.

Si l'on voit que cette série n'est pas décroissante, on la partagera en ces deux A, C, E, . . . , B, D, F, . . . , et l'on examinera si elles sont des progressions géométriques qui ont la même raison. Alors, nommant q cette raison, c'est-à-dire le quotient d'un terme quelconque divisé par le précédent, on aura

d'où

Ensuite on aura d'où l'on tire

2sin|]

• ? v/ — q , sm - =

asina-=A, rtcosasina = B, a=\/A

B2 A si no

tanga —

sin*<p ° B

par où l'on connaîtra le coefficient a, ainsi que les deux angles a et f;

ainsi l'on aura

Ax = a sin(a -4- x<f),

pour expression du terme général de la série primitive donnée. VII. 6g

10. En général, lorsque les séries A, C, E, ..., B, D, F, ... sont composées de différentes progressions géométriques, il est facile de s'apercevoir qu'elles doivent dégénérer peu à peu en progressions géométriques simples, qui aient pour raison la plus grande des quantités

?.s\n- ) » — I asin - 5 — I 2Sin — ) ■> • • • •>

parce que les termes des progressions dont les raisons sont moindres doivent aller en diminuant vis-à-vis de ceux de la progression qui a la plus grande raison.

Donc, si l'on a un grand nombre de termes de ces séries, il n'y aura qu'à examiner si les derniers termes sont entre eux dans un rapport constant ou à peu près constant, et qui soit le même pour les deux séries. Si cela n'est pas, on en conclura d'abord que l'expression du terme général Ax n'est pas composée de sinus d'arcs qui croissent uniformément. Mais supposons que la condition dont il s'agit ait lieu ; alors, nommant q le quotient d'un des derniers termes divisé par celui

qui le précède, on aura sin - = — — '-•> l'angle y étant celui de tous les

angles <p, 0, <\>, ... qui approchera le plus de i8o°. Et cette détermination de f sera d'autant plus exacte que' la série approchera le plus d'être une progression géométrique. De plus, si l'on divise un de ces termes par qm~\ m étant le quantième de ce terme, à compter du premier A ou B, on aura à très-peu près les valeurs de a sin a et acosacoso, par où l'on connaîtra l'angle a et le coefficient a. On pourra donc connaître par ce moyen, du moins par approximation, un des termes, tel que asin(a -+- xo) de l'expression de Ax.

11. Si maintenant on reprend la série primitive et qu'on y prenne seulement les termes de deux en deux comme

ou de trois en trois comme

• • • , ôA, 3A, A, A3, A,;, . . . ,

ou, en général, de a en [i comme

..., j^A, jjA, A, Apu, Asu, ••-,

série que nous représenterons simplement ainsi

il est visible que le terme général (A)^ de cette série sera le même que le terme général Ax de la première série, en mettant dans celui-ci p.9,

p.6, [ity, ..., à la place de 9, 0, ty,

Si donc on cherche les différences successives de cette dernière série, et qu'on en déduise les deux séries (A), (C), (E), ... et (B), (D), (F), ..., on y pourra appliquer les raisonnements du numéro précédent et en déduire par la même méthode la valeur approchée de l'angle fxy qui sera le plus près de 1800. Ainsi l'on connaîtra par ce moyen celui

des angles ç>, 0, ty, ..., qui approchera le plus de — ; ou plutôt,

comme sin^ est un maximum lorsque p.<p — (2/1-1- 1) 1800, n étant

un nombre entier quelconque positif ou négatif, l'angle 9 qu'on trouvera par la méthode précédente sera celui qui sera le plus près de

1800, ce qui fournira différents moyens de connaître à peu près

les différents angles y, ô, ty, ... qui entrent dans l'expression du terme général Ax.

12. Mais, pour trouver les valeurs exactes de ces angles ainsi que des autres constantes qui entrent dans l'expression du terme général Ax, il faut considérer la question dans toute sa généralité et traiter les séries A, C, E, ..., B, D, F, ..., comme des séries récurrentes d'ordre quelconque. La méthode que j'ai donnée pour cet objet dans le Mémoire cité plus haut est peut-être ce qu'il y a de plus direct pour cette recherche; mais, comme cette méthode est fondée sur la théorie des fractions continues, qui n'est peut-être pas assez familière aux Astronomes, nous allons en proposer une autre qui a l'avantage de ne demander que des opérations élémentaires.

Celte méthode est fondée sur la propriété générale des séries récurrentes dont nous avons parlé plus haut (n° 8).

On prendra un nomhre indéfini d'inconnues que nous dénoterons, pour plus de simplicité, par (o), (i), (2), (3), ..., et l'on formera les équations suivantes, dont la loi est assez évidente,

A (o) +C (i)4-E(2)-t-... = o, B (o)+D(i)+F(a)+...= o, C (o)+E(i) + G(a) +...= 0, D(o)+F(i)-bH(a)+...= o, E(o) + G(i) 4-L(a)-f-... = o, F fo)-+-H(i)+K(2)+... = o,

On divisera d'ahord chacune de ces équations par le coefficient de la première inconnue (o); ensuite on les soustraira successivement l'une de l'autre; on aura de nouvelles équations de la même forme, mais qui ne contiendront plus l'inconnue (o). On divisera de nouveau ces équations par les coefficients de la première inconnue (1), et on les retranchera l'une de l'autre, ce qui produira de nouvelles équations où les deux inconnues (o), (1) ne se trouveront plus. On continuera ainsi tant qu'il y aura des équations et des inconnues.

Maintenant, si la loi des séries peut être représentée par deux termes, il faudra que, dans les équations ci-dessus, toutes les inconnues puissent être nulles, hors les deux premières (o), (j).

Par conséquent il faudra que, dans la seconde suite d'équations sans l'inconnue (o), l'autre inconnue (1) disparaisse d'elle-même, c'est-à-dire que les coefficients de cette inconnue soient nuls. Si cette condition a lieu, on prendra une quelconque des premières équations, on y fera (2) = 0, (3) = o, ..., et l'on déterminera par là la valeur de (1) en supposant, pour plus de simplicité, (o) = 1. Alors, nommant en général T, T deux termes quelconques successifs de la série A, C, ..., ou de l'autre série B, D, .. ., on aura cette relation constante

Th-T'(i)=o,

d'où l'on formera cette équation en z du premier degré

Si la condition précédente n'a pas lieu, il faudra savoir si la loi des séries récurrentes peut être représentée par trois termes. Pour cela il faudra que, dans la troisième suite d'équations sans les inconnues (o) et (i), la troisième inconnue (2) s'en aille d'elle-même, afin que l'on puisse y supposer nulles toutes les autres inconnues (3), (4),

Si celte dernière condition a lieu, on prendra une quelconque des premières équations et une quelconque des équations sans (o); on y fera (3) = 0, (4) — o, . . . , et l'on aura deux équations qui serviront à déterminer les inconnues (1) et (2), et où l'on pourra supposer, pour plus de simplicité, (o) = r .

Alors nommant T, T', T" trois termes consécutifs de l'une ou de l'autre série A, C, ..., B, D, ..., on aura cette relation constante

d'où l'on formera cette équation en z du second degré

Mais, si la condition dont il s'agit n'a pas lieu, la loi des séries ne pourra pas être représentée par trois termes, et il faudra voir si elle peut l'être par quatre, et ainsi de suite.

13. Supposons à présent que l'on ait reconnu que cette loi peut être exprimée par n-M termes, en sorte que l'on ait cette relation entre les termes successifs T, T', T", . . . ,

On formera de là l'équation en z de degré n

dont les racines seront les raisons des différentes progressions géomé-

triques qui composent les séries A, C, ..., et B, D, ..., et par conséquent seront égales à (n° 8)

2SinxJ 5 — lasin- ? — (2sin^

On aura donc non-seulement le nombre des sinus qui entrent dans l'expression du terme général Ax de la série proposée (n° 7), mais aussi les valeurs des angles y, Q, ty, . . . , et il ne restera plus qu'à déterminer les coefficients a, b, ..., ainsi que les angles a, /3, ..., ce qu'on fera par la comparaison d'autant de termes de la série donnée. On pourrait aisément donner des formules générales pour cet objet, mais elles seraient, dans la pratique, moins commodes que l'opération ordinaire de l'élimination.

Pour faciliter cette opération, on prendra d'abord les sommes et les différences des termes équidistanls de part et d'autre du terme A, et l'on formera ces n équations

A = a sin a -+- b sin (3 -+- c sin y -+- . . . ,

=asinacos9 -4- « sinp cos& -4- csiny cos^ -4-...,

— — = a sin a cos2cp + 6sinf3cos2Ô -+- csiny cos2^ + . . .,

ainsi que les n équations

= acosasin9 + />eos(3sinô -+- ccosy sin^ -+-..., = a cosa sin 2 cp -4- b cos(3 sin 2 0 + c cosy sin 2^ +. . ., = a costx sin 3cp -4- b cos(3sin30 -4- ccosy sin 3^ -4- . . . ,

Les premières serviront à déterminer les n inconnues asina, 6sin/3,

csiny, ..., et les dernières serviront à déterminer les inconnues acosa, &cos]3, ccosy, ..., d'où l'on déduira ensuite les valeurs de a, b, c, ... et des angles a, /3, y, —

li. On voit donc, d'après tout ce qui précède, que, pour que la série primitive donnée soit formée d'un certain nombre de sinus d'angles croissant uniformément, il faut que l'équation en z trouvée par les règles ci-dessus ait toutes ses racines réelles inégales et comprises entre ces limites o et 4; autrement on ne pourra déterminer les différents angles

<p, 9, <]>, Cependant, lorsque quelqu'une de ces conditions n'a pas lieu,

on peut également avoir l'expression du terme général Aa.. Parcourons les différents cas qui peuvent arriver. Et d'abord supposons que toutes les racines soient comprises entre les limites assignées, mais qu'il y en ait deux d'égales entre elles, en sorte que l'on ait 0 = <p. Alors, au lieu du terme 6sin(/3 -+- xQ) de l'expression de Ax, il faudra substituer un terme de cette autre forme xbs\n(fi -\-xcp); par conséquent, dans les équations ci-dessus, il faudra changer 0 en y, et multiplier en même temps chaque terme par le coefficient de l'angle 0.

Si trois racines sont égales, en sorte que, outre 0 = o, on ait encore vj> = f, alors il faudra de plus changer le terme csin(y -f- xty) en un autre de cette forme x2cs'm(y -+- xrp); par conséquent, dans les équations précédentes il faudra changer aussi <J> en <p et multiplier les termes respectifs par les carrés des coefficients de l'angle ty, et ainsi de suite.

Cela peut se démontrer de plusieurs manières, et surtout par la considération des quantités évanouissantes, en supposant que les angles p, 5, ty, au lieu d'être absolument égaux, diffèrent entre eux par des quantités infiniment petites; mais ce n'est pas ici le lieu d'entrer dans ce détail.

On doit conclure de là que, dans le cas des racines égales, l'expression de Ax contiendra toujours la quantité x en coefficient, et élevée à la première puissance pour deux racines égales, à la seconde pour trois racines égales, et ainsi de suite, ce qui donnera des équations séculaires de différents ordres.

15. Supposons maintenant que, parmi les racines de l'équation en z, il y en ait une q qui tombe hors de ces limites o et — 1\. Alors il est visible

que l'équation — (asin M = q ne pourra pas donner pour ? un angle

réel; cet angle deviendra donc imaginaire, et ses sinus et cosinus se transformeront en sinus et cosinus hyperboliques. Pour résoudre ce

cas, on fera donc

et, employant les exponentielles, on aura

ce

qui

donnera

l'équation

qui, étant résolue par les logarithmes, donnera toujours une valeur réelle de w tant que q sera > o ou <— f\.

Ayant trouvé w, on mettra, à la place du terme Asin(a -h a??) de l'expression de A^, deux termes de cette forme

M et N étant des coefficients qu'on déterminera par la comparaison des termes.

Les expressions — et — - sont ce qu'on appelle cosinus

et sinus hyperboliques du secteur — ? et l'on en trouve une Table toute

calculée dans les Additions publiées par M. Lambert aux Tables logarithmiques et trigonométriques . Dans ce cas donc, l'expression de Ax. contiendra la quantité x en exponentielle, d'où résultera une autre espèce d'équations séculaires; mais il ne paraît pas qu'il y ait de telles équations dans le système du monde.

16. Enfin si, parmi les racines de l'équation en z, il y en avait d'imaginaires, alors les angles o et 0, correspondant à deux racines imaginaires de la forme q -+- r\J— i , q ■*- ry/— i , deviendraient aussi de la même forme, et il en résulterait, après les réductions dans l'expression de Ax, des termes où x serait à la fois en exponentielle et en sinus et cosinus. Comme ce cas est peut-être encore plus étranger au système du monde que le précédent, nous nous dispenserons de l'examiner en détail, d'autant plus que les difficultés qu'il présente peuvent être résolues par les méthodes connues.

17. En finissant ce Mémoire, je ne dois pas oublier de faire remarquer que toute suite formée de sinus d'angles croissant en progression arithmétique a celte propriété que, si l'on n'en prend les termes que de deux en deux, ou de trois en trois, ou etc., on aura encore des suites de même nature, et que la même chose aura lieu pour toutes les suites qu'on pourra former par l'addition d'un certain nombre de termes successifs de la suite proposée, même en multipliant chacun de ces termes par un coefficient donné. C'est de quoi on peut se convaincre par une analyse facile, que nous supprimons ici pour ne pas passer les bornes que nous nous sommes prescrites. Cette remarque peut être surtout d'une grande utilité lorsqu'il s'agira d'appliquer la méthode de ce Mémoire aux résultats déduits des observations, puisqu'on pourra prendre également, à la place de chaque résultat particulier, le milieu entre un certain nombre de résultats successifs, ce qui rendra les résultats plus sûrs et l'emploi de la méthode plus avantageux.

Je me propose de donner quelque jour l'application de la méthode de ce Mémoire à la recherche de la loi des erreurs des Tables de Halley dans les oppositions de Saturne et de Jupiter.