SIGNOR CONTE DA FAGNANO

(corne chiunque se ne pub accertare, differenziando tali quanti ta, una, due, tre volte secondo il grado dell'integrazione, pigliando perb sempre il dx per costante); dunque sostituiti questi valori nella série ultimaînente trovata, e posti secondo 1' usanza dy, d2y, d3y,... in luogo di y\ y2,y3,...,.essa sarà in fine

x2dy x!'diy xUPy xbd*y f ,

idx 2.3 dx2 2.3.4 dx% 2. 3-4-5 dx11

La quai série particolare dalla mia universal derivala, vedc benissimo V. S. Illustriss., che non è altra che quella stessa tanto celebrata, che di già scopri il Chiarissimo Sig. Giovanni Bernoullio, e pubblicb poscia negli Atti degli Erudili del mese di novembre 1694.

Del resto, non solo a' ditTerenziali di primo grado s' estende questa mia série, ma bensi ad integrar con una sola operazione eziandio quelli di qualunque ulterior grado. Ricercbisi 1' intégral secondo di dydx, fatto dunque m = — 2, e supposlo x = dx, ed y — dy otterremo la seguente série

dx-^dy" — 2dx~3dy' -+- Sdx-'dy2 — ^dx—^dy^-h- . . . , la quai corne 1' altra ridotta dà

x^dy ?.x3d2y 3x*d3r ^xidiy V* , ,

~ïdx~ " 2.3 dx* + 2.34dx3 ~ V34.5dx* + J X *'

eguale ancora ad / ydx, e per conseguenza ail' altra poco fa trovata, la

quai egualità, sebbene apertamente non si manifesti, tuttavia si pub vedere, differenziando e I' una, e 1' altra due volte, posto il dx costante, conciosiachè distruggendosi vicendevolmente tutti gl' altri termini, altro non vi resta in amenduc, che il dydx.

Moite altre considerazioni, che mi occorrerebbono per ora le ometto, e corne non del tutlo necessarie, e corne poco dicevoli alla intenzionc mia, onde anzi che annojarla, con dilungarmi in cose a Lei superflue, bramo unicamente di atteslarle il mio ossequiosissimo rispetto.

588 LETÏERA ALL* 1LLUSTRISSIM0, ECC.

Dunque ringraziandola del gradimento, che V. S. lllustriss. s' è eompiaciuta significarmi di questa mia tenuissima cosa, non meno che del prezioso regalo, che mi fa délia dotlissima sua lettera ultimamente impressa; e pregandola istantemente a continuarmi le sue pregiatissime grazie, ho 1' onore di protestarmi con tutta la maggior stima, et con la più umile riverenza, ecc.

P. S. — Rileggendo V. S. lllustriss. questa mia formola, non potranno ail' acutezza del suo ingegno non occorrere sopra di essa qualcune importanti, ed utili retlessioni; supplico per tanto la somma di Lei bontà, e cortesia, che di già ho avuta la sorte di esperimentare, a volermi far la grazia di comunicarmele, e di bel nuovo sono

Di V. S. lllustriss.

Devotiss. ed obligatiss. Servitor,

Luigi De La Grange.

Torino, il 23 Luglio 1754.