EXTRAITES DES MANUSCRITS DE LAGRANGE

Par M. POISSON.

{Journal de l'École Polytechnique, XXIe Cahier, t. XIII, i832. )

Les manuscrits de Lagrange, déposés à la bibliothèque de l'Institut, renferment des recherches sur les mouvements simultanés du boulet, du canon et de la poudre réduite en gaz, dont la rédaction n'est pas achevée, et qui n'ont point été publiés. Le résultat auquel l'Auteur parvient ne satisfait pas complètement à toutes les conditions de la question; mais il prouve que la solution qu'on donne ordinairement de ce Problème est inexacte ; et d'ailleurs ce travail de Lagrange contient des vues nouvelles que j'ai cru utile de faire connaître. Il paraît qu'il a été entrepris en 1793 par ordre du Gouvernement. Une loi de cette époque obligeait les étrangers de sortir de France; pour que Lagrange pût rester, on obtint un arrêté du Comité de Salut public qui le chargeait de traiter des questions de théorie, propres à éclairer la pratique, et l'on croit que ce fut là l'origine des recherches dont je vais donner une sorte de commentaire.

1. A l'origine du mouvement, la densité du gaz est la même en tous ses points, et égale à celle de la poudre. Le fluide se dilate ensuite, et pousse le boulet et le canon en sens contraire l'un de l'autre; mais sa force de ressort est en même temps employée à transporter sa propre masse dans l'intérieur de la pièce, d'où l'on peut déjà conclure que la vitesse acquise par le boulet, quand il est parvenu à la bouche du canon, doit être moindre que si la unisse du gaz était insensible, et qu'il eût cependant la même force de ressort. Pour parvenir à une détermination exacte de cette vitesse, il était donc nécessaire de considérer simultanément le mouvement du gaz et du projectile. C'est ce qu'on ne fait pas ordinairement, et ce que Lagrange a essayé de faire, ainsi qu'on va le voir.

On supposera qu'à chaque instant la vitesse, la densité et la pression sont les mêmes pour tous les points d'une même tranche du gaz, infiniment mince et perpendiculaire à l'axe du canon; au bout du temps quelconque t, compté depuis l'origine du mouvement, on repré.-en-

tcra ces trois quantités par u, p, p, relativement à la tranche dont la distance à un plan fixe et perpendiculaire à l'axe est actuellement z et était x à l'origine du mouvement; en sorte que m, p, p, z soient des inconnues qu'il s'agira de déterminer en fonctions de x et t. On a d'abord

dz

L'épaisseur de la tranche que l'on considère était dx à l'origine du mouvement: elle es!

dz devenue -p dx au bout du temps t ; son volume a changé dans le môme rapport, et sa densité en raison inverse; si donc on appelle D la densité de la poudre ou du gaz à l'origine, on aura

'dz , dx .

D'après la loi de Mariotte, on prend ordinairement la pression p proportionnelle à p; mais, pour plus de généralité, Lagrange la représente par une puissance n de la densité; d'où il résulte qu'on a

/. étant la force élastique du gaz à l'origine du mouvement, laquelle force est rapportée à l'unité de surface, et peut être exprimée par un poids gHh, en désignant par g la gravité et par // une ligne d'une très-grande longueur.

Il ne restera donc plus que l'inconnue z à déterminer. Or, si l'on appelle A l'aire de la section intérieure du canon, perpendiculaire à son axe, la force motrice de la couche fluide qui

répond à z sera -yy BAdx, puisque sa masse est DAdx comme à l'origine du mouvement;

d'ailleurs la pression qui la pousse dans le sens de z étant kp, celle qui la pousse en sens contraire s'en déduira, abstraction faite du signe, en y mettant x -+- c Ix à la place de x, et

sera conséquemment A ( p ■+- -j- dx \ ; on aura donc

— — DAdx = A p — A ( p h — {- dx ) , dt' ' y dx J

ou simplement

r/Jz i dp

7F + D dï =°'

pour l'équation d'où dépendra la valeur de z. En substituant la valeur de p et faisant, pour abréger,

ni . a

elle deviendra

d*z 2d'zfdz\-"dtÀ dx'1 \ dx ,

Ces différentes équations sont indépendantes de l'état initial du fluide, et auront encore lieu lorsqu'à l'origine du mouvement ses différentes couches ont reçu des vitesses et éprouvé

des déplacements quelconques ; en sorte que les valeurs de z et -^ qui répondent à t — o

soient des fonctions quelconques de x. On peut vérifier, en effet, qu'elles s'accordent avec

les équations connues du mouvement dans une colonne d'air dont les couches ont des vitesses

et éprouvent des variations de densité qui ne sont pas supposées très-petites. Dans le cas dos

/ <•/-. \ - "- ' déplacements très-petits, z diffère très-peu de x; et, en réduisant le facteur I -r- \

à l'unité dans le second membre de l'équation (i), elle devient l'équation de la propagation du son dans un tuyau cylindrique.

2. Pour déterminer simultanément les mouvements du gaz, du boulet et du canon, il faudra joindre à l'équation (i) celles du mouvement de ces deux derniers corps. On supposera que l'action du gaz sur l'un et sur l'autre s'exerce dans une étendue égale à la section intérieure du canon, dont l'aire sera rrc2, en désignant par c son rayon. Si donc on appelle m la masse du boulet et m' celle du canon, y compris l'affût qu'il entraine avec lui; si de plus on représente par y et w, y' et w' ce que deviennent z et p relativement aux deux couches extrêmes du gaz, les équations du mouvement du boulet et du canon seront

d'y . ,<Py' . ,

m —~ = TTC ■ -a, m — ~ = — 77c- ci . dt' df

Les valeurs de zs et rs' se déduiront de celle de p du numéro précédent, en y mettant y et y' à la place de z; et, en les substituant dans ces équations, nous aurons

dt' \dx

, rfV „/rfrV"

m —h dt1

dr'

•le compterai les distances .r et s à partir de la position initiale de la culasse; alors y et -—-

rlz se déduiront de z et — •> en y faisant x = o; et, si l'on représente par a la longueur de la

charge, y et ~- se déduiront de zet yj en y faisant x = o..

On admet généralement qu'à l'origine du mouvement les vitesses du boulet et du canon sont nulles ou infiniment petites. C'est aussi ce que Lagrange suppose pour ces deux vitesses initiales et pour celle de la poudre réduite en gaz. Toutefois il ne serait pas impossible que, quand la masse entière du boulet commence à se mouvoir, son centre de gravité eût déjà reçu une vitesse de grandeur finie, et même une très-grande vitesse. En effet, quelque dure que soit la matière du boulet, la pression de la poudre commence d'abord par comprimer un tant soit peu sa partie postérieure; une partie adjacente se comprime ensuite, puis une autre, et de proche en proche le mouvement parvient à la partie antérieure. Celle propagation du mouvement a lieu dans une très-petite fraction de seconde, que l'on peut évaluer ,î 5 cent-millièmes, par exemple, en supposant la vitesse du son dans la matière du boulet sextuple de celle du son dans l'air, et prenant 1 décimètre pour le calibre. Or, pendant cet intervalle de temps, le centre de gravité du projectile reçoit la même vitesse que si la pression y était immédiatement appliquée et que sa masse entière y fût concentrée; par conséquent, lorsque cette masse enlière commencera à se déplacer, le centre du boulet aura déjà acquis une vitesse de grandeur finie. L'effet de la pression, pendant ce temps extrêmement court, est ce qu'on appelle un choc ou une percussion, c'est-à-dire une quantité de mouvement imprimée presque instantanément, et sans que le mobile se soit sensiblement déplacé. La ques-

tion est donc de savoir si l'on peut négliger, comme on le fait ordinairement, la vitesse initiale du boulet ainsi produite, ou bien si cette vitesse est une partie sensible de celle que le projectile a acquise quand il a atteint la bouche du canon. On ne peut pas décider a priori que ce dernier cas soit impossible, et c'est l'expérience seule qui nous apprendra s'il a réellement lieu; car, pour qu'il arrivât, il suffirait, par exemple, que l'état d'incandescence du gaz de la poudre ne subsistât que pendant les premiers instants qui suivent l'inflammation, et que, dans cet état, l'action du gaz compensât son peu de durée par la grandeur de son intensité, de sorte que dans un temps qui serait, pour fixer les idées, la centième partie de la petite fraction de seconde pendant laquelle le boulet se meut dans la pièce, l'action initiale ou la percussion du gaz incandescent pût imprimer à ce projectile une vitesse comparable, égale, ou même supérieure à celle qu'il acquiert ensuite graduellement par la pression du gaz refroidi.

M. Cazaux, officier supérieur d'artillerie, a voulu prouver l'existence d'une percussion exercée par la poudre dans les premiers instants de sa réduction en gaz. Il appuie son opinion sur des considérations différentes de celles qu'on vient d'indiquer, pour montrer seulement la possibilité de cette force initiale. C'est à cette force qu'il attribue les effets de l'explosion des mines et le refoulement du métal du canon qui s'observe à l'endroit occupé par la charge et le boulet; de cette manière, il donne une explication assez plausible de la singularité qu'ont présentée les poudres inflammables substituées à la poudre ordinaire : on a reconnu qu'elles détériorent beaucoup plus les armes à feu sans communiquer néanmoins une vitesse plus grande à la balle ou au boulet.

Quoi qu'il en soit, Lagrange n'est point entré dans cette discussion, et il a supposé nulles les vitesses de toutes les parties du système à l'origine du mouvement. Ainsi l'on aura à la

fois

dz dy dr'

t = o, z = x, —=0,, -\- = o, -^-—=0. ' dt * dt . ' dt

et le problème consistera à satisfaire en même temps à ces conditions initiales et aux équations (i) et (2).

3. On pourra, si l'on veut, remplacer les équations (2), qui sont différentielles du second ordre , par les équations qui résultent des principes généraux du mouvement et ne sont que du premier ordre.

Pour cela, j'ajoute les équations (2) après les avoir multipliées par dt; en intégrant ensuite, il vient

dy ,dr' dt dt

cette intégrale commençant avec t, ainsi que toutes les suivantes qui répondent à cette variable. L'équation (1) donne, par l'intégration relative à x,

en multipliant par dt et intégrant par rapport à t, on aura, par conséquent,

jr"î*"SjT[(*r-(S)>

et, si l'on appelle p la masse de la poudre, de sorte qu'on ait

u. = 7rc,2aD,

on conclura de ces équations

... dy ,dr' [>■ Çv-dz

(3) m-. — h m —. h- | -y- dx = o,

v ; dt de a J0 dt

ce qui résulte en effet du principe général de la conservation du mouvement du centre de gravité, appliqué au centre de gravité du boulet, du canon et de la poudre réduite en gaz.

Je multiplie la première équation (2) par 2 -j- dt et la seconde par 2 -y- dt; je les ajoute,

et j'intègre par rapport à t, ce qui donne

dy' ,dr'2 ., CVdY(dr\-" dv'fdr'Y"! ,

l'équation (1) donne aussi

dz% %nk Cite fPz(dz\-"-' dt2 ~ ~D" J dt da^\da:) (t'

par l'intégration par partie relative à x, on a d'ailleurs

"J0 dt dx'\dx) 'r— dt \dx ) dt \dx ) + J Q dtdx\7lx

à cause de z = x et -j- =?i , quand t = o, on a nous aurons donc

f'ir'è'ë^y""']"'

et. par conséquent,

l â7dx=DÏ^T)[J0 U) (lx-*\-»Jldï{dx) -■uT{i7) \'"

En multipliant celte dernière équation par '- ou 7rrJI), et l'ajoutant à l'une des précédentes.on en conclut

v 4 ' dt' dt

r*£ir»*-îs[rer*-}

résultat qui coïncide avec le principe général des forces vives. Dans le cas particulier de n = i, on supposera d'abord i — n infiniment petit, et l'on en conclura

dt'

,dr" v. ?«■<& . 2, /•«/. dz\ .

m —rr -t- m •—- — h s- / — - dx = T.izc'k I log — <7.r. dt' y. J0 de J0 \ »dx)

4. Dans la solution que Robins et d'autres auteurs ont donnée du Problème qui nous occupe, on suppose que la densité du gaz est la môme dans toute son étendue, et qu'elle ne varie qu'avec le temps. En désignant par T et T des fonctions de t, on a donc

dx

et si l'on détermine T et T' de manière qu'on ait z=y' et z = y, pour x = o et x — se, il en résultera

expression qui satisfait aussi à la condition z = x quand t = o, puisque alors on a y' = o et j = a. De plus, on néglige, dans la solution dont il s'agit, là masse de la poudre par rapport à celle du boulet. Pour obtenir cette solution, je supprime donc les termes multipliés par (i dans les premiers membres des équations (3) et (4), et je substitue cette valeur de s dans le second membre de l'équation (4); il en résulte

<ty i <iy

dt dt

dr> ,dyn

dt' dt'

et, en intégrant la première de ces deux équations, on a

my-h-my =

ce qui fera connaître l'une des deux inconnues / et y', quand l'autre sera déterminée. Pour séparer les variables dans la seconde équation (5), je fais

de sorte que O soit, à un instant quelconque, la distance du boulet à la culasse. Les équations (5) deviennent

[m — m) -r = (m -+- m ) -r- > v ' dt K ' dt

,.[dW d0'7\ .. , .M dO' zwc'xA- /6'-" \ 4V ;V^ dt ' J M ' dt dt \—n \a'-" J

en éliminant r/ô' entre elles, il vient

mm' dV __ 2 7rc2a^ /9'"" \

^ '' m-t-m' dt' ~~ \ — n \a'-" /'

d'où l'on tire

rfô

dt

(m -h m) v'0'-» ai-«

Par la méthode des quadratures, on aura donc la valeur de t relative à chaque valeur de 0. el réciproquement, ce qui fera connaître à chaque instant la position du boulet dans l'intérieur de la pièce. Si l'on appelle / sa longueur, on aura en particulier

I {i — n)mm'arn Ç,'

" V ïfr'*(/« + »i') JK

dO

pour le temps que le projectile emploie à atteindre la bouche du canon. Au bout de ce temps, si l'on désigne par V et V les vitesses du boulet et du canon, on aura, d'après les équations (5),

/// Y — ni V = o,

formules qui sont effectivement celles dont on se sert [tour déterminer ces deux vitesses.

S. Au lieu de supprimer les termes multipliés par y. dans les équations (3) et (4 ), Lagrange y subslitue, comme dans le second membre de l'équation ( 4 ) , la valeur précédente de z. savoir

ce qui change ces équations en cclles-c

. dy . , , , dy' ['» ■+■ ?/*) ji~t + ("' + •! N -%f = o,

, '/r2 , , , ,r/v'2 « dy dy' ■x-c-y.h ■ |" / ,- y'\ '-« "1 r/r " tli1 3 </* r/< i — a \\ j. )

Or, en les comparant a ix équations (5), et observant que la masse y. de la poudre est communément le tiers ou la moitié de la masse /// du boulet, on vc it combien doit être fautive la solution du numéro précédent, et combien doivent être inexactes les valeurs de V et V qui s'en déduisent. Mais, si cette comparaison suffit pour rendre sensible l'inexactitude des équations (5) , celles que nous venons d'écrire ne sont pas elles-mêmes suffisamment exactes quand on veut avoir égard a la masse de la poudre ; car, lors même qu'on M suppose très-petite et qu'on ne veut conserver que la première puissance de y. dans le calcul, il faut substitue! dans le second membre de l'équation (4) une valeur de z plus approchée que la précédente.

Pour obtenir cette valeur. Lagrange fait

ii étant une nouvelle inconnue, qu'il suppose très-pelite. Après avoir nus l'équation (i ïOus la forme

Vil. ;7

GJO FORMULES RELATIVES

il y substitue cette expression de z et il néglige les différences partielles de u dans son second membre, de sorte qu'on a

dx' ~ 7Tk\ a ) \\dt* ~ dt2 ) 7. "*" de J"

Mais les équations (2) donnent en même temps

d2r jrr'X" / y — y'\~" ~dt

d\y' dt1 =

cl en substituant ces valeurs dans l'équation précédente, et observant que 7tc'« D = y., on aura

(Pu a , / .r

D'après les conditions ; =y' et z = Jr, quand a; = o et x = x, il faut (jue « s'évanouisse pour ces deux valeurs extrêmes de x, et, cela étant, on trouve en conséquence

B tir ~r') {x—x)xfx1

valeur qui sera effectivement très-petite, ou plutôt une très-petite partie de z, lorsque la masse p sera très-petite par rapport à w. Nous aurons

( 8 ) z = ^7.— -r ■+■ 7 + — — fer

pour la valeur correspondante de z.

Ce serait donc cette expression qu'il faudrait subslituer à la place de z dans le second membre de l'équation (4); mais on voit qu'elle ne satisfait pas à la condition 3 = x quand t --- o, car pour cette valeur de t on a y' = o et y = oc, et par conséquent