X — XX

Or cette valeur initiale de z n'est point applicable à la question qui nous occupe : elle suppose que les couches du fluide ont été déplacées suivant une certaine loi, ou, autrement dit. qu'elles ont été condensées et dilatées d'une certaine manière à l'origine du mouvement, ce qui n'a pas lieu dans le Problème du mouvement de la poudre réduite en gaz, où l'on suppose que la densité du fluide est constante dans toute sa longueur, et la même que celle de la poudre lorsqu'il commence à se mouvoir. La formule (8) est donc étrangère à la question; mais je ferai voir tout à l'heure qu'on peut la compléter et la rendre applicable au mouvement du gaz de la poudre, en supposant toujours la masse de ce fluide peu considérable par rapport à celle du projectile.

Cette formule se compose des deux premiers ternies d'une série ordonnée suivant les puissances de [/, qu'on peut représenter par

AU MOUVEMENT DU BOULET, Gl !

En la substituant dans l'équation (1), et égalant ensuite les coefficients des mêmes puissances de p dans les deux membres, on formera une série d'équations d'après lesquelles on pourra déterminer successivement les coefficients Z, Z', Z". . . ., au moyen les uns des autres, et du

premier dont la valeur est [y — r') — h j'; mais ces équations seront très-compliquées, et,

encore plus les valeurs de Z, Z', Z", .... Lagrange a aussi essayé de développer la valeur de z en série ordonnée suivant les puissances de x; mais ces différents développements no l'on! conduit à aucun résultat satisfaisant. Il a ensuite reconnu qu'on peut satisfaire en même temps aux équations (î) et (î) par certaines valeurs de z, y, y', qui ne dépendent que des quadratures: et, quoique cette solution ne remplisse pas non plus la condition z — x quand t = o, je crois cependant utile de la faire connaître.

fi. Soit X une fonction inconnue de .r, et supposons qu'on puisse avoir exactement

Il faudra d'abord que X s'évanouisse avecr, et qu'on ait X = x quand x — x, afin que les valeurs extrêmes de z soient y' et y. Je désignerai par S' et 6 les valeurs de - — qui répondent à x = o et x = a, et alors, après avoir substitué cette expression de z dans les équations (i) et (2), on aura

" cPX /rfX dx2 \ dx

(d'y d\y'\ X d'y' \dt2 dl2 Je dil

nk / y

de2 " mt>" \ a. )

d2 y' ttc2 A / r — v'\~'

de2 ' m'è'" \ x )

Au moyen de ces deux dernières équations et de p. = 7rc2xD, la première devient 1 „ 1 ,„ n-j? d2X /dX\-'-<

m6"X+ /n'6'"(X '^~~ p dx

el, comme elle ne renferme plus que X et x, il s'ensuit déjà la possibilité de la forme de z qu'on a supposée.

Je multiplie cette équation par ->.dX, et j'intègre do manière que les deux membres s'éva-

rfX

nouissent pour x = 0, X = 0, -. —

= 6'; il vient

(10) J-X'-H-^tX'-

■ 2 xX) =

.... „ c/X Kn faisant x = a, X = x, -r— =

= 6, on aura

1 ïti

III tj" III

' ii'" ~ (1 — n ) p

'rfX

pour l'une des deux équations qui devront servir à déterminer S et §'. En résolvant l'équation (10) par rapport à dx, on a

■xnm ■/.-'■,'■ 7.nni'a?&" J

d'où l'on déduira, par les quadratures, les valeurs dex d'après celle de X, et réciproquement. Si l'on intègre cette formule depuis X = o jusqu'à X — a, cette intégrale définie devra être égale à se, ce qui fournira la seconde des équations d'où dépendront les valeurs de 6 et '■'>'. Dans le cas de n=\ ces formules changent de forme, et, par exemple, l'équation (10) devient

d'où l'on tire

-^X'+ -73, (X'-2aX) = — log (g