VII
i()<) ADDITIONS AUX ELEMENTS D'ALGEBRE D'EULER.
On prendra donc pour v, un nombre entier, tel que n2 ne soit pas > — ? abstraction faite
il s'ensuit de l'équation
> — % abstraction faite des signes; et, comme B n'est pas > A,, (hyp.),
que A3 sera < A2; ainsi l'on pourra faire derechef les mêmes raisonnements que ci-dessus, et l'on en tirera des conclusions semblables, et ainsi de suite.
Maintenant, comme les nombres A, A,, A2, A3,... forment une suite décroissante de nombres entiers, il est visible qu'en continuant cette suite on parviendra nécessairement a un terme moindre que le nombre donné B; et alors, nommant ce terme C, on aura, comme nous l'avons
vu ci-dessus, la formule
Bjî + C
à rendre égale a un carré; de sorte que, par les opérations que nous venons d'exposer, on sera toujours assuré de pouvoir ramener la formule h y'1 -h Bà une autre plus simple, telle queBjJ -+- C, au moins si le Problème est résoluble.
55. De même qu'on a réduit la formule AyJ -\- B à celle-ci Bjj -+- C, on pourra réduire cette dernière à cette autre-ci
Cj; - 1),
où D sera moindre que C, ainsi de suite; et, comme les nombres A, B, C, D,... forment une série décroissante de nombres entiers, il est clair que cette série ne pourra pas aller à l'infini, et qu'ainsi l'opération sera toujours nécessairement terminée. Si la question n'admet point de solution en nombres rationnels, on parviendra à une condition impossible; mais, si la question est résoluble, on arrivera toujours à une équation semblable à celle du n° 53, et où l'un des coefficients, comme A,, sera carré, en sorte qu'elle sera susceptible des méthodes connues; cette
ANALYSE INDETERMINEE. 107
équation étant résolue, on pourra, en rétrogradant, résoudre successivement toutes les équations précédentes, jusqu'à la première
Xp,-i-Bq,= z1.
Éclaircissons cette méthode par quelques Exemples.
Exemple I.
56. Soit proposé de trouver une valeur rationnelle de x, telle (pie la
formule
devienne un carré . {Voyez Chapitre IV, n" 57 du Traité précédent.)
On aura donc ici a — 7, h = i5, c = i3; donc
4o=4-'3, et />' — 4ac = — l^9>
de sorte que, en nommant/ la racine du carré dont il s'agit, on aura la formule
qui devra être un carré; ainsi l'on aura A = 4«i3 et B = — i3c), où l'on remarquera d'abord que A est divisible par le carré 4» de sorte qu'il faudra rejeter ce diviseur carré et supposer simplement A = i3; mais on se souviendra ensuite de diviser par 2 la valeur qu'on trouvera pour y (n° 50).
. On aura donc, en faisant y = -, l'équation
ou bien, à cause que'i'^est > i3, on fera y = "> pour avoir
équation qu'on écrira ainsi
On fera (n° 52) z = nq — ï'^q,, et il faudra prendre pour n un nombre entier non > —s c'est-à-dire <. 70, tel que n- — i3 soit divisible par 139; je trouve n = 41, ce qui donne w2 — i3 — 1G68 = 1 39. 12; de sorte que, en faisant la substitution et divisant ensuite par — i3g, on
aura l'équation
p1 = — 1 2 q2 + 2.41 qq 1 — 1 3p «7 , .
Or, comme — 1 2 n'est pas un carré, cette équation n'a pas encore les conditions requises; ainsi, puisque 12 est déjà moindre que i3, on multipliera toute l'équation par — 12, et elle deviendra
de sorte qu'il faudra que i3^2— \ip2 soit un carré, ou bien, en fai-
sant — =7), que
1 3j"ï — 12 en soit un aussi.
On voit ici qu'il n'y aurait qu'à faire j, = 1; mais, comme ce n'est que le hasard qui nous donne cette valeur, nous allons poursuivre le calcul selon notre méthode, jusqu'à ce que l'on arrive à une formule qui soit susceptible des méthodes ordinaires. Comme 12 est divisible par 4. je rejette ce diviseur carré, en me souvenant que je dois ensuite multiplier la valeur de j, par 2; j'aurai donc à rendre carrée la formule
i3j2 — 3, ou bien, en faisant y, = - (on suppose que ;• et s sont des
nombres entiers premiers entre eux, en sorte que la fraction - soit déjà
réduite à ses moindres termes, comme la fraction — ), celle-ci
soit la racine s,, j'aurai
et ie ferai z-, = ms — \Zs., ni étant un nombre entier non > — -, c'està-dire < 7, et tel que/n2 -+- 3 soit divisible par i3; or je trouve m = (i,
ce qui donne m- + 3 = 39 = i3 .3; donc, substituant la valeur de z, et divisant toute l'équation par i3, on aura
r2 = 3 s2 — 2 . 6 ss, -+- i3s].
Comme le coefficient 3 de s2 n'est ni carré, ni moindre que celui de 57 dans l'équation précédente, on fera (n° 54) s = v.s, + s2, et, substituant, on aura la transformée
r'= 3s] — 2(6 — 3^)s2*i 4- ( 3ju' — 2.6^/ -+- 1 3 )*j ;
on déterminera y. en sorte que 6 — 3/x ne soit pas > -» et il est clair
qu'il faudra faire p. = 2, ce qui donne G — 3p.= o; et l'équation deviendra
r2=3sl -h s],
laquelle est, comme l'on voit, réduite à l'état demandé, puisque le coefficient du carré de l'une des deux indéterminées du second membre est aussi carré.
On fera donc, pour avoir la solution la plus simple qu'il est possible,
s.2 = o, s, = 1 et /• = 1 ; donc s = \j, = 1, et de là r, = -==-; mais nous
avons vu qu'il faut multiplier la valeur de y, par 2; ainsi l'on aura y,= 1;
donc, en rétrogradant toujours, on aura - =1; donc g,=p; donc
l'équation
donnera
donc
donc
(- i7.q+^p)2 = p2; \?.q -\- /\i p = p, c'esl-à-dire 1 2 <y = 40/7 ;
mais, comme il faut diviser la valeur de y par 2, on aura y — =5 ce sera le côté de la racine de la formule proposée 74- 1 5ar -h i'5x-; ainsi, t'ai-
110 ADDITIONS AUX ELEMENTS D'ALGEBRE DEULEH
sant celte quantité = — > on trouvera, par la résolution de l'équation,
<l ou
On aurait pu prendre aussi
et l'on aurait eu y — — = -~-> et divisant par 2, y = — : faisant donc
on trouvera
donc
jr- OU = — 7'
Si l'on voulait avoir d'autres valeurs de x, il n'y aurait qu'à chercher d'autres solutions de l'équation
laquelle est résoluble, en général, par les méthodes connues; mais on peut aussi, dès qu'on connaît une seule valeur de x, en déduire immédiatement toutes les autres valeurs satisfaisantes de x, par la méthode expliquée dans le Chapitre IV du Traité précédent.
Remakque.
• 57. Supposons, en général, que la quantité a -+- bx ■+- ex2 devienne égale a un carré g-, lorsque x— f, en sorte que l'on ait
ANALYSE INDÉTERMINÉE. Ilî
donc
a = g2-bf-cf>;
de sorte que, en substituant cette valeur dans la formule proposée, elle
deviendra
Qu'on prenne g -+■ m (x — f) pour la racine de cette quantité, zrcétant un nombre indéterminé, et l'on aura l'équation
g*-f- b {x — f) + c(x2—f'') = g2 + img(x — f) + m2 [x —f)2,
c'est-à-dire, en effaçant g2 de part et d'autre, et divisant ensuite par
b + ci x -\-f) — img -f- ni1 (x —f),
d'où l'on tire
„ f™* — 2 8'n + b + cf
Et il est clair qu'à cause du nombre indéterminé m cette expression de x doit renfermer toutes les valeurs qu'on peut donner à x pour que la formule proposée devienne un carré; car, quel que soit le nombre carré auquel cette formule peut être égale, il est visible que la racine de ce nombre pourra toujours être représentée par g -+- m {x —/) , en donnant km une valeur convenable. Ainsi, quand on aura trouvé par la méthode expliquée ci-dessus une seule valeur satisfaisante de .r, il n'y aura qu'à la prendre pour/, et la racine du carré qui en résultera pour g; on aura parla formule précédente toutes les autres valeurs possibles de x.
Dans l'Exemple précédent on a trouvé y = - et a: = — =; ainsi l'on
fera g = ~ et / = -^ et l'on aura
c'est l'expression générale des valeurs rationnelles de x, qui peuvent rendre carrée la quantité 7 -+- 1 *>.r 4- i'$x2.
Exemple II.
58. Soit encore proposé de trouver une valeur rationnelle de y, telle que 23 y- — 5 soit un carré.
Comme 23 et 5 ne sont divisibles par aucun nombre carré, il n'y aura aucune réduction à y faire. Ainsi, en faisant y — - > il faudra que la formule 2'd/r — 5q- devienne un carré z- , de sorte qu'on aura l'équation
On fera donc z = nq — 2'5qt, et il faudra prendre pour n un nombre
entier non > —■> tel que n- + 5 soit divisible par 23. Je trouve n= 8,
ce qui donne n- -+- 5 = 23.3, et celte valeur de n est la seule qui ait les conditions requises. Substituant donc Sq— 23 «7, à la place de z, et divisant toute l'équation par 23, j'aurai celle-ci
p1=Zq'— o..Sqql-h iZq ],
dans laquelle oh voit que le coefficient 3 est déjà moindre que la valeur de B, qui est 5, abstraction faite du signe.
Ainsi l'on multipliera toute l'équation par 3, et l'on aura
3/>2=(3?-8tf,)2 + 5^;
de sorte qu'en faisant— = y, il faudra que la formule
soit un carré, où les coefficients 5 et 3 n'admettent aucune réduction.
Soit donc y, = - (rets sont supposés premiers entre eux, au lieu que q, et p peuvent ne pas l'être), et l'on aura à rendre carrée la quantité
— 5r2 + 3s2; de sorte qu'en nommant la racine z{ on aura
et de là
On prendra donc 5, = ms -f- 5*,, et il faudra que m soit un nombre
entier non > -» et tel que m2 — 3 soit divisible par 5; or c'est ce qui
est impossible, car on ne pourrait prendre que m= i ou = 2, ce qui
donne m2 — 3 = — 2 ou =1. Ainsi l'on en doit conclure que le Problème n'est pas résoluble, c'est-à-dire qu'il est impossible que la formule iZy2 — 5 puisse jamais devenir égale à un nombre carré, quelque nombre que l'on substitue à la place de y.
Corollaire.
59. Si l'on avait une équation quelconque du second degré à deux inconnues, telle que
a -4- bx -4- cy -f- dx7-h exy +fy2 = o,
et que l'on proposât de trouver des valeurs rationnelles de x et y qui satisfissent à cette équation, on y pourrait parvenir, lorsque cela est possible, par la mçthode que nous venons d'exposer. En effet, si l'on tire la valeur de y en x, on aura
ify-\- ex-\-c = \l(c-\-exy— ^f{a -f- bx-h dx1), ou bien, en faisant a = c2 — l\af2, |3 = -i.ee — [\bf, y = e2 — [\df,
if y -+- ex -4- c = v'a-f- (3.r-f- yx2;
de sorte que la question sera réduite à trouver des valeurs de x qui rendent rationnel le radical \J et -k- $ x -\- -/x2.
